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2012 中考数学压轴题及答案中考数学压轴题及答案 40 例 例 7 28 如图 Rt ABC 的顶点坐标分别为 A 0 B C 1 0 3 2 1 2 3 ABC 90 BC 与 y 轴的交点为 D D 点坐标为 0 以点 D 为顶点 y 轴为 3 3 对称轴的抛物线过点 B 1 求该抛物线的解析式 2 将 ABC 沿 AC 折叠后得到点 B 的对应点 B 求证 四边形 AOCB 是矩形 并判 断点 B 是否在 1 的抛物线上 3 延长 BA 交抛物线于点 E 在线段 BE 上取一点 P 过 P 点作 x 轴的垂线 交抛物 线于点 F 是否存在这样的点 P 使四边形 PADF 是平行四边形 若存在 求出点 P 的 坐标 若不存在 说明理由 解 1 抛物线的顶点为 D 0 3 3 可设抛物线的解析式为 y ax 2 1 分 3 3 B 在抛物线上 2 1 2 3 a 2 a 3 分 2 1 3 3 2 3 3 3 2 抛物线的解析式为 y x 2 5 分 3 32 3 3 2 B C 1 0 2 1 2 3 BC 22 2 3 1 2 1 3 又 B C BC OA B C OA 6 分3 AC 2 22 OCOA 22 13 AB 1 22 BCAC 22 32 又 AB AB OC 1 AB OC 7 分 四边形 AOCB 是矩形 8 分 B C OC 13 点 B 的坐标为 1 9 分3 将 x 1 代入 y x 2 得 y 3 32 3 3 3 点 B 在抛物线上 10 分 3 存在 11 分 理由如下 设直线 AB 的解析式为 y kx b 则 解得 3 2 3 2 1 b bk 3 3 b k 直线 AB 的解析式为 y 12 分33 x P F 分别在直线 AB 和抛物线上 且 PF AD 设 P m F m m 2 33 m 3 32 3 3 PF m 2 m 2 33 m 3 32 3 3 3 32 m3 3 32 AD 3 3 3 3 32 若四边形 PADF 是平行四边形 则有 PF AD 即 m 2 3 32 m3 3 32 3 32 解得 m1 0 不合题意 舍去 m2 13 分 2 3 当 m 时 2 3 33 m3 2 3 3 2 35 存在点 P 使四边形 PADF 是平行四边形 14 分 2 3 2 35 29 如图 1 平移抛物线 F1 y x 2后得到抛物线 F2 已知抛物线 F2经过抛物线 F1的顶 点 M 和点 A 2 0 且对称轴与抛物线 F1交于点 B 设抛物线 F2的顶点为 N 1 探究四边形 ABMN 的形状及面积 直接写出结论 2 若将已知条件中的 抛物线 F1 y x 2 改为 抛物线 F1 y ax 2 如图 2 点 A 2 0 改为 点 A m 0 其它条件不变 探究四边形 ABMN 的形状及其面积 并说明理由 3 若将已知条件中的 抛物线 F1 y x 2 改为 抛物线 F1 y ax 2 c 如 图 3 点 A 2 0 改为 点 A m c 其它条件不变 求直线 AB 与轴的y 交点 C 的坐标 直接写出结论 解 1 四边形 ABMN 是正方形 其面积为 2 1 分 2 四边形 ABMN 是菱形 当 m 0 时 四边形 ABMN 的面积为 当 4 3 am 0 时 四边形 ABMN 的面积为 2 分m 4 3 am 说明 如果没有说理过程 探究的结论正确的得 2 分 理由如下 平移抛物线 F1后得到抛物线 F2 且抛物线 F2经过原点 O 设抛物线 F2的解析式为 y ax 2 bx 抛物线 F2经过点 A m 0 am 2 bm 0 由题意可知 m 0 b am 抛物线 F2的解析式为 y ax 2 amx 3 分 y a x 2 2 m 4 2 am 抛物线 F2的对称轴为直线 x 顶点 N 4 分 2 m 2 m 4 2 am 抛物线 F2的对称轴与抛物线 F1的交点为 B 点 B 的横坐标为 2 m 点 B 在抛物线 F1 y ax 2上 yB a 2 5 分 2 m 4 2 am 设抛物线 F2的对称轴与 x 轴交于点 P 如图 1 a 0 BP 4 2 am 顶点 N NP 2 m 4 2 am 4 2 am 4 2 am BP NP 6 分 抛物线是轴对称图形 OP AP 四边形 ABMN 是平行四边形 7 分 BN 是抛物线 F2的对称轴 BN OA 四边形 ABMN 是菱形 8 分 BN BP NP BN 2 2 am 四边形 ABMN 的面积为 OA BN m 2 1 2 1 2 2 am 当 m 0 时 四边形 ABMN 的面积为 m 9 分 2 1 2 2 am 4 3 am 当 m 0 时 四边形 ABMN 的面积为 m 10 分 2 1 2 2 am 4 3 am 3 点 C 的坐标为 0 c 参考图 2 2 2 am 30 如图 抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一个交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线上求点 M 使 MOB 的面积是 AOB 面积的 3 倍 3 连结 OA AB 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 N 使 OBN 与 OAB 相 似 若存在 求出 N 点的坐标 若不存在 说明理由 解 1 由题意 可设抛物线的解析式为 y a x 2 2 1 抛物线经过原点 a 0 2 2 1 0 a 4 1 抛物线的解析式为 y x 2 2 1 x 2 x 3 分 4 1 4 1 2 AOB 和所求 MOB 同底不等高 若 S MOB 3S AOB 则 MOB 的高是 AOB 高的 3 倍 即 M 点的纵坐标是 3 5 分 x 2 x 3 整理得 x 2 4x 12 0 解得 x1 6 x2 2 4 1 满足条件的点有两个 M1 6 3 M2 2 3 7 分 3 不存在 8 分 理由如下 由抛物线的对称性 知 AO AB AOB ABO 若 OBN OAB 则 BON BOA BNO 设 ON 交抛物线的对称轴于 A 点 则 A 2 1 直线 ON 的解析式为 y x 2 1 由x x 2 x 得 x1 0 x2 6 2 1 4 1 N 6 3 过点 N 作 NC x 轴于 C 在 Rt BCN 中 BC 6 4 2 NC 3 NB 22 32 13 OB 4 NB OB BON BNO OBN 与 OAB 不相似 同理 在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的N点 在 x 轴下方的抛物线上不存在点 N 使 OBN 与 OAB 相似 10 分 31 如图 在直角坐标系中 点 A 的坐标为 2 0 连结 OA 将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120 得到线段 OB 1 求点 B 的坐标 2 求经过 A O B 三点的抛物线的解析式 3 在 2 中抛物线的对称轴上是否存在点 C 使 BOC 的周长最小 若存在 求出点 C 的坐标 若不存在 请说明理由 4 如果点 P 是 2 中的抛物线上的动点 且在 x 轴的下方 那么 PAB 是否 有最大面积 若有 求出此时 P 点的坐标及 PAB 的最大面积 若没有 请说明理 由 1 如图 1 过点 B 作 BM x 轴于 M 由旋转性质知 OB OA 2 AOB 120 BOM 60 OM OB cos60 2 1 BM OB sin60 2 2 1 2 3 3 点 B 的坐标为 1 1 分3 2 设经过 A O B 三点的抛物线的解析式为 y ax 2 bx c 抛物线过原点 c 0 解得 3 024 ba ba 3 32 3 3 b a 所求抛物线的解析式为 y x 2 x 3 分 3 3 3 32 3 存在 4 分 如图 2 连接 AB 交抛物线的对称轴于点 C 连接 OC OB 的长为定值 要使 BOC 的周长最小 必须 BC OC 的长最 小 点 A 与点 O 关于抛物线的对称轴对称 OC AC BC OC BC AC AB 由 两点之间 线段最短 的原理可知 此时 BC OC 最小 点 C 的位 置即为所求 设直线 AB 的解析式为 y kx m 将 A 2 0 B 1 代入 得3 解得 3 02 mk mk 3 32 3 3 m k 直线 AB 的解析式为 y x 3 3 3 32 抛物线的对称轴为直线 x 1 即 x 1 3 3 2 3 32 将 x 1 代入直线 AB 的解析式 得 y 1 3 3 3 32 3 3 点 C 的坐标为 1 6 分 3 3 4 PAB 有最大面积 7 分 如图 3 过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 D