Alqdbn《数学分析》6具有某些特性的函数.doc

秋风清，秋月明,落叶聚还散,寒鸦栖复惊。授课章节：具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。教学重点：函数的有界性、单调性。教学难点：周期函数周期的计算、验证。教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成。教学程序：u 引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数。其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下。与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数。一、 有界函数 有上界函数、有下界函数的定义定义 设为定义在上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为上的有上（下）界函数，称为在上的一个上（下）界。注：（）在上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（）又若为在上的一个上（下） 界，则任何大于（小于）的数也是在上的上（下）界。所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，是其一个上界，下界为，则易见任何小于的数都可作为其下界；任何大于的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：在上有界是一个有界集在上既有上界又有下界在上的有上界函数，也为上的有下界函数。2有界函数定义定义 设为定义在上的函数。若存在正数，使得对每一个有，则称为上的有界函数。注：（）几何意义：为上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（）在上有界在上既有上界又有下界；例子：；（3）关于函数在上无上界、无下界或无界的定义。3例题例证明为上的无上界函数。例设为上的有界函数。证明：（）；（）.二、 单调函数 定义 设为定义在上的函数， （）若，则称为上的增函数；若，则称为上的严格增函数。（）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。例证明：在上是严格增函数。例讨论函数在上的单调性。例讨论函数在上的单调性。注：）单调性与所讨论的区间有关。在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调。所以要会求出给定函数的单调区间；）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分。更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。总结得下面的结论：定理设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。例讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关。例证明：当时在上严格增，当时在上严格递减。三、 奇函数和偶函数定义. 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有（），则称为上的奇函数；（），则称为上的偶函数。注：（）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；（）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性。（）从奇偶性角度对函数分类：；（）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。四、 周期函数 定义设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。 几点说明：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一。如。因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，