2014年高考试题(全国课标Ⅰ卷)数学(文科)试卷及答案(含评分标准).pdf

1 2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国年普通高等学校招生全国统一考试全国课标课标 文科数学 一 一 选择题 本大题共选择题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 12 31 xxBxxM 则MB A 1 2 B 1 1 C 3 1 D 3 2 2 若0tan 则 A 0sin B 0cos C 02sin D 02cos 3 设i i z 1 1 则 z A 2 1 B 2 2 C 2 3 D 2 4 已知双曲线 0 1 3 2 2 2 a y a x 的离心率为 2 则 a A 2 B 2 6 C 2 5 D 1 5 设函数 xgxf的定义域为R 且 xf是奇函数 xg是偶函数 则下列结论中 正确的是 A xgxf是奇函数 B xgxf 是奇函数 C xgxf是偶函数 D xgxf是奇函数 6 设FED 分别为ABC 的三边ABCABC 的中点 则 FCEB A BC B AD 2 1 C AD D BC 2 1 7 在函数 2 cosxy cos xy 6 2cos xy 4 2tan xy中 最小正周期 为 的所有函数为 A B C D 8 如图 网格纸的各小格都是正方形 粗实线画出的事一个几何体的三视图 则这 个几何体是 A 三棱锥 B 三棱柱 C 四棱锥 D 四棱柱 9 执行右面的程序框图 若输入的 a b k分别为 1 2 3 则输出的M A 20 3 B 7 2 C 16 5 D 15 8 10 已知抛物线 C xy 2 的焦点为F yx A 0 0 是 C 上一点 x FA 0 4 5 则 x0 A 4 B 2 C 1 D 8 2 11 设x y满足约束条件 1 xya xy 且zxay 的最小值为 7 则a A 5 B 3 C 5 或 3 D 5 或 3 12 已知函数 32 31f xaxx 若 f x存在唯一的零点 0 x 且 0 0 x 则a的取值范围是 A 2 B 1 C 2 D 1 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 13 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行 则 2 本数学书相邻的概率为 14 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过A B C三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过B城市 乙说 我没去过C城市 丙说 我们三人去过同一城市 由此可判断乙去过的城市为 15 设函数 1 1 3 1 1 x ex fx xx 则使得 2fx 成立的x的取值范围是 16 如图 为测量山高MN 选择A和另一座山的山顶C为测量观测点 从A点测得 M点的仰角 60MAN C点的仰角45CAB 以及75MAC 从C点 测得60MCA 已知山高100BCm 则山高MN m 三 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 n a是递增的等差数列 2 a 4 a是方程 2 560 xx 的根 I 求 n a的通项公式 II 求数列 2 n n a 的前n项和 18 本小题满分 12 分 从某企业生产的某种产品中抽取 100 件 测量这些产品的一项质量指标值 由测量表得如下频数分布表 质量指标值 分组 75 85 85 95 95 105 105 115 115 125 频数 6 26 38 22 8 I 在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图 II 估计这种产品质量指标值的平均数及方差 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 III 根据以上抽样调查数据 能否认为该企业生产的这种产品符合 质量指标值不低于95的产品至少要 占全部产品的80 的规定 3 19 本题满分12分 如图 三棱柱 111 CBAABC 中 侧面CCBB 11 为菱形 CB1的中点为O 且 AO平 面CCBB 11 1 证明 1 ABCB 2 若 1 ABAC 1 60 1 BCCBB 求三棱柱 111 CBAABC 的高 20 本小题满分 12 分 已知点 2 2 P 圆C 08 22 yyx 过点P的动直线l与圆C交于BA 两点 线段AB的中点为M O为坐标原点 1 求M的轨迹方程 2 当OMOP 时 求l的方程及POM 的面积 4 21 本小题满分 12 分 设函数 2 1 ln1 2 a f xaxxbx a 曲线 11yf xf 在点 处的切线斜率为 0 1 求 b 2 若存在 0 1 x 使得 0 1 a f x a 求 a 的取值范围 请考生在第请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 解答时请写清题号题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 解答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 四边形ABCD是O 的内接四边形 AB的延长线与DC的延长线交于点E 且CBCE I 证明 DE II 设AD不是O 的直径 AD的中点为M 且MBMC 证明 ADE 为等边三角形 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线1 94 22 yx C 直线 ty tx l 22 2 t为参数 1 写出曲线C的参数方程 直线l的普通方程 2 过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30 的直线 交l于点A 求PA的最大值与最小值 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 若 0 0 ba且ab ba 11 I 求 33 ba 的最小值 II 是否存在ba 使得632 ba 并说明理由 5 2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标 I 文科数学试卷参考答案 一 选择题 1 5BABDA 6 12 CCBDCBA 二 填空题 13 2 3 14 A 15 8 16 150 17 解析 I 方程 2 560 xx 的两根为2 3 由题意得 2 2a 4 3a 设数列 n a的公差为 d 则 42 2aad 故 d 1 2 从而 1 3 2 a 所以 n a的通项公式为 1 1 2 n an 6 分 设求数列 2 n n a 的前n项和为Sn 由 知 1 2 22 n nn an 则 2341 34512 22222 n nn nn S 34512 134512 222222 n nn nn S 两式相减得 341212 1311123112 1 2422224422 n nnnn nn S 所以 1 4 2 2 n n n S 12 分 18 解析 I 4分 II 质量指标值的样本平均数为 80 0 0690 0 26 100 0 38 110 0 22 120 0 08100 x 质量指标值的样本方差为 2222 2 200 06100 260 0 38100 22200 08104s 10 分 6 质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0 38 0 22 0 08 0 68 由于该估计值小于0 8 故 不能认为该企业生产的这种产品 质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80 的规 定 12 分 19 解析 I 连结 1 BC 则 O 为 1 BC与 1 BC的交点 因为侧面 11 BBC C为菱形 所以 1 BC 1 BC 又AO 平面 11 BBC C 故 1 BCAO 1 BC 平面ABO 由于AB 平面ABO 故 1 BC AB 6 分 II 作OD BC 垂足为D 连结AD 作OH AD 垂足为H 由于BC AO BC OD 故BC 平面AOD 所以OH BC 又OH AD 所以OH 平面ABC 因为 60 1 CBB 所以 1 CBB为等边三角形 又BC 1 可得 OD 3 4 由于 1 ABAC 所以 1 11 22 OABC 由 OH AD OD OA 且 22 7 4 ADODOA 得OH 21 14 又O为B1C的中点 所以点B1 到平面ABC 的距离为 21 7 故三棱柱 ABC A1B1C1 的高为 21 7 12 分 20 解析 I 圆C的方程可化为 2 2 416xy 所以圆心为 C 0 4 半径为 4 设M x y 则 4 CMx y 2 2 MPxy 由题设知0CM MP 故 2420 xxyy 即 22 132xy 由于点P 在圆C 的内部 所以M 的轨迹方程是 22 132xy 6 分 由 可知M 的轨迹是以点N 1 3 为圆心 2 为半径的圆 由于 OP OM 故O在线段PM的垂直平分线 上 又P 在圆N 上 从而ON PM 因为ON 的斜率为3 所以l的斜率为 1 3 直线l的方程为 18 33 yx 又2 2OMOP O到l的距离为 4 10 5 4 10 5 PM 所以POM 的面积为 16 5 12 分 7 21 解析 I 1 a fxa xb x 由题设知 1 0 f 解得 b 1 4 分 f x 的定义域为 0 由 知 2 1 ln 2 a f xaxxx 1 1 11 1 aaa fxa xxx xxa i 若 1 2 a 则1 1 a a 故当x 1 时 f x 0 f x 在 1 上单调递增 所以 存在 0 x 1 使得 0 1 a f x a 的充要条件为 1 1 a f a 即11 21 aa a 所以 2 1 a 2 1 ii 若 1 1 2 a 则1 1 a a 故当x 1 1 a a 时 f x 0 x 1 a a 时 0fx 所以f x 在 1 1 a a 上单调递减 f x 在 1 a a 单调递增 所以 存在 0 x 1 使得 0 1 a f x a 的充要条件为 11 aa f aa 而 2 ln 112 111 aaaaa fa aaaaa 不符合题意 若1a 则 11 1 1 221 aaa f a 综上 a 的取值范围为 21 211 22 解析 由题设知得 A B C D 四点共圆 所以 D CBE 由已知得 CBE E 所以 D E 5 分 设 BCN 中点为 连接 MN 则由 MB MC 知 MN BC 所以 O 在 MN 上 又 AD 不是 O 的直径 M 为 AD 中点 故 OM AD 即 MN AD 所以 AD BC 故 A CBE 又 CBE E 故 A E 由 1 知 D E 所以 ADE 为等边三角形 10 分 N 8 23 解析 曲线 C 的参数方程为 2cos 3sin x y 为参数 直线 l 的普通方程为 260 xy 5 分 2 在曲线 C 上任意取一点 P 2cos 3sin 到 l 的距离为 5 4cos3sin6 5 d 则 0 2 5 5s