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广西工业职业技术学院 教案首页 顺序号（ ）课程名称数学模型系、部教研室主讲教师职称授课班级及时间授课方式理论课（ ）习题课（ ）实践课（ ）教学手段常 规（ ）多媒体（ ）语音室（ ）本次课教学标题和提纲2.双层玻璃的功效一、问题提出二、问题分析三、模型假设四、符号说明五、模型建立六、模型求解七、模型分析八、模型应用本次课教学重点、难点重点：建立数学模型说明双层窗比单层窗能有效减少热量的流失难点：建立热量流失的数学模型布置作业课后记注：教案按两学时为单元填写，每次授课均应编写一份教案。2.双层玻璃的功效一、问题提出冬天，北方室外温度低，室内供暖以便生活工作，为了保暖，即减少室内向室外的热量流失，从而节约能源，常将单层玻璃窗改为双层玻璃窗，即窗户上装两层厚度为的玻璃夹着一层厚度为的空气，如下图2.1所示。试建立数学模型说明，当建筑物室内外的热传递处于一个热力学平衡状态时，双层玻璃窗比单层玻璃窗更能有效地减少热量的流失，并问两层玻璃之间的距离多少为好？室内 T1室外 T2室内 T1室外 T2图2.1图2.2 二、问题分析1热力学的相关知识为了解决这个问题，首先应想到这是一个属于哪个领域里的问题？应涉及哪些数学知识和相关领域里的知识？此属于热力学的问题，涉及到热传导的理论。由热力学知道，热量的传递主要有三种方式：热传导、热对流和热辐射。热传导 : 温度高的物体通过接触将热量传递给温度低的物体的热传递方式，例如汽车发动机的散热。热传导方式局限于固体和液体，气体之间能量的传递称为热扩散。热传导的基本公式为“”。其中是传导的热量；为材料的热传导系数，是两物体的接触面积，是两端的温度差，是两端的距离。因此，从公式我们就可以发现，热量传递的大小同热传导系数、热传热面积成正比，同距离成反比。热对流 :流体(气体或液体)与温度高的固体的表面接触，流动的流体从固体表面将热带走的热传递方式。例如电脑机箱的散热。 热对流的公式为“”。其中是热量，也就是热对流所带走的热量；为热对流系数，则代表热对流的有效接触面积；代表固体表面与区域流体之间的温度差。可以看出，在热对流传递中，热量传递的数量同热对流系数、有效接触面积和温度差成正比关系；热对流系数越高、有效接触面积越大、温度差越高，所能带走的热量也就越多。热辐射 : 热辐射是一种可以在没有任何介质的情况下，不需要接触，就能够发生热交换（将热能从热源向外界发散出去）的传递方式，热辐射是以波的形式进行热交换。例如太阳辐射。这三种散热方式都不是孤立的，在日常的热量传递中，这三种散热方式一般都是同时发生，共同发挥作用的。为简便起见，这里只考虑热传导。 2热传导平衡的含义为了比较单、双层玻璃的保温效果，可只考虑室内、外温度衡定的情况。这时，热量流经空间的每一点处的温度都是衡定的，热量的流动呈稳定状态，即稳流，就像水在管子里流动一样不会堆积。 图2.3图2.43热传导过程中的温度分布图图2.3为室内温度为、室外温度为时单层玻璃的温度分布图。图2.4为室内温度为、室外温度为时，双层玻璃的温度分布图。 4所要解决的问题双层玻璃的保温功效是显然的，如果不建立数学模型，就无法定量地说清楚。这个问题的已知条件是室内温度高于室外温度，室内外有温度差；热传导处于平衡状态。要解决的问题是：我们要建立一个数学模型来描述热量通过窗户的热传导（即流失）过程，即将流失的热量写成其他量的函数或表达式。并将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层玻璃窗（如图2.2，玻璃厚度为）的热量传导进行对比，对双层玻璃窗能够减少多少热量损失给出定量分析结果；并分析两层玻璃之间应取多大的距离，效果最佳。三、模型假设1热量的传播过程只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃之间的空气是不流动的、干燥的；2室内温度和室外温度保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数；3玻璃材料均匀，热传导系数是常数。四、符号说明室内温度 室外温度 单层玻璃厚度 两层玻璃之间的空气厚度 内层玻璃的外侧温度 外层玻璃的内侧温度 热传导系数 热量损失五、模型建立由物理学知道，在上述假设下，热传导过程遵从下面的物理规律：厚度为的均匀介质，两侧温度差为，则单位时间由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与成正比，与成反比，即 （1）其中为热传导系数。 1双层玻璃热量流失的数学模型记双层窗内窗玻璃的外侧温度为，外层玻璃的内侧温度为，玻璃的热传导系数为，空气的热传导系数为，由（1）式单位时间单位面积的热量传导（热量流失）为（三次传导的热量相等）： （2）由及可得，再代入就可将（2）中、消去，变形可得： （3）2单层玻璃热量流失的数学模型对于厚度为的单层玻璃窗户，容易写出热量流失为（只有一次传导）： （4）3双层玻璃窗和单层玻璃窗热量流失的比较模型比较（3）（4）有： （5）显然，。4双层玻璃窗比单层玻璃窗减少热量流失的数学模型单位时间、单位面积双层玻璃比单层玻璃窗减少热量流失的量为 （6） 六、模型求解1模型（5）求解为了获得更具体的结果，我们需要的数据，从有关资料可知，不流通、干燥空气的热传导系数（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的热传导系数（焦耳/厘米.秒.度），于是在分析双层玻璃窗比单层玻璃窗可减少多少热量损失时，我们作最保守（选取热传导系数最小的玻璃）的估计，即取，由（3）（5）可得： （7）2模型（6）求解， （8）七、模型分析1模型（7）分析0.060.030.02hQ1/Q24206图2.5比值反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与有关，图2.5给出了的曲线，当增加时，迅速下降，减少热量流失效果明显，值选得小，则没有物尽其用；而当超过一定值（比如）后下降缓慢，减少热量流失效果不明显，可见不宜选得过大以免浪费。 2模型（8）分析 下面用关于的图形来说明随着双层玻璃窗之间的空气厚度与玻璃厚度的比的增加，的变化情况。 从图2.6明显地看出，随着的增加，的值逐渐增加，且越来越接近1，说明减少热量流失的效果较好。这与我们平常想到的是一致的，但是，这个比值大于4以后效果就不明显了。所以一般取4倍，这就大大地节省了空间和造价，同时采光效果也有显著的提高。图2.6八、模型的应用这个模型具有一定的应用价值。制作双层玻璃窗虽然工艺复杂会增加一些费用，但它减少的热量损失却是相当可观的。通常，建筑规范要求。按照这个模型，即双层玻璃窗比用同样多的玻璃