陕西省西安交大苏州附中高三数学下学期期中模拟试卷（含解析）.doc

陕西省西安交大苏州附中2015 届高三下学期期中数学模拟试卷一、填空题1函数f（x）=lnx+的定义域为x|0x1考点：函数的定义域及其求法 专题：函数的性质及应用分析：根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出f（x）的定义域解答：解：函数f（x）=lnx+，解得0x1；函数f（x）的定义域为x|0x1故答案为：x|0x1点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，从而求出定义域，是基础题2已知复数z1=2+i，z2=a+2i（i为虚数单位，ar）若z1z2为实数，则a的值为4考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件即可得出解答：解：=（2+i）（a+2i）=2a2+（a4）i为实数，a4=0，解得a=4故答案为：4点评：本题考查了复数的运算法则和复数为实数的充要条件，属于基础题3若函数f（x）=sin（x+）（）的图象关于直线对称，则=考点：正弦函数的图象 专题：三角函数的图像与性质分析：利用正弦函数的对称性知+=k+，kz，而0，于是可求得的值解答：解：函数f（x）=sin（x+）的图象关于直线x=对称，+=k+，kz，=k+，kz，又0，=，故答案为：点评：本题考查正弦函数的对称性，求得=k+（kz）是关键，考查理解与运算能力，属于中档题4已知等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为2考点：等比数列的性质；等差数列的性质 专题：计算题；等差数列与等比数列分析：由等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，可得（a1+2d）2=a1（a1+6d），利用d0，可得a1=2d，即可求出的值解答：解：等差数列an的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，（a1+2d）2=a1（a1+6d），d0，a1=2d，=2，故答案为：2点评：本题考查等差数列的通项，考查等比数列的性质，比较基础5若loga1，则a的取值范围是（4，+）考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：根据对数的性质，先求出a1，然后根据对数函数的单调性，解不等式即可解答：解：要使对数有意义，则，即a1，不等式等价为a，即12a（a1），即a2a120，即a4或a3，a1，a4，故答案为：（4，+）点评：本题主要考查对数不等式的解法，利用对数函数的性质是解决本题的关键6函数f（x）=asin（x+）（a，为常数，a0，0，0）的图象如图所示，则f（）的值为1考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式 专题：三角函数的图像与性质分析：根据顶点的纵坐标求a，根据周期求出，由五点法作图的顺序求出的值，从而求得f（x）的解析式，进而求得f（ ）的值解答：解：由图象可得a=2，t=，解得=2再由五点法作图可得2+=2，（0），=，故f（x）=2sin（2x+），故f（）=2sin（2+）=2sin=1，故答案为：1点评：本题主要考查由函数y=asin（x+）的部分图象求函数的解析式，属于中档题7已知函数f（x）对任意的xr满足f（x）=f（x），且当x0时，f（x）=x2ax+1，若f（x）有4个零点，则实数a的取值范围是（2，+）考点：函数奇偶性的性质 专题：函数的性质及应用分析：由f（x）=f（x），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x0时函数f（x）有2个零点，即可得到结论解答：解：f（x）=f（x），函数f（x）是偶函数，f（0）=10，根据偶函数的对称轴可得当x0时函数f（x）有2个零点，即，解得a2，即实数a的取值范围（2，+），故答案为：（2，+）点评：本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键8已知正实数x，y满足（x1）（y+1）=16，则x+y的最小值为8考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：变形利用基本不等式即可得出解答：解：正实数x，y满足（x1）（y+1）=16，x+y=8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号x+y的最小值为8故答案为：8点评：本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题9函数y=exlnx的值域为故答案为：专题：等差数列与等比数列分析：设等差数列an的公差为d，可得d0，由数列bn为等比数列，可得b22=b1b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比解答：解：设等差数列an的公差为d，由a1a2可得d0，b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，数列bn为等比数列，b22=b1b3，即（a1+d）4=a12（a1+2d）2，（a1+d）2=a1（a1+2d） 或（a1+d）2=a1（a1+2d），由可得d=0与d0矛盾，应舍去；由可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，数列bn的公比q=3+2，综上可得数列bn的公比q=3+2，故答案为：3+2点评：本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题13在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，则当a0时，实数b的最小值是1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：计算题；导数的概念及应用分析：设出曲线上的一个切点为（x，y），利用导数的几何意义求切线的坐标，可得b=alnaa，再求导，求最值即可解答：解：设出曲线上的一个切点为（x，y），由y=alnx，得y=，直线y=x+b是曲线y=alnx的切线，y=1，x=a，切点为（a，alna），代入y=x+b，可得b=alnaa，b=lna+1a=0，可得a=1，函数b=alnaa在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，a=1时，b取得最小值1故答案为：1点评：本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数的运算求出切线斜率，根据切线斜率和导数之间的关系建立方程进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力14设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的导函数为f（x）对任意xr，不等式f（x）f（x）恒成立，则的最大值为22考点：二次函数的性质 专题：函数的性质及应用分析：由已知可得ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，即=（b2a）24a（cb）=b2+4a24ac0，且a0，进而利用基本不等式可得的最大值解答：解：f（x）=ax2+bx+c，f（x）=2ax+b，对任意xr，不等式f（x）f（x）恒成立，ax2+bx+c2ax+b恒成立，即ax2+（b2a）x+（cb）0恒成立，故=（b2a）24a（cb）=b2+4a24ac0，且a0，即b24ac4a2，4ac4a20，ca0，故=22，故答案为：22点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，导函数，恒成立问题，最值，基本不等式，是函数方程不等式导数的综合应用，难度大二、解答题（共6小题，满分60分）15已知向量=（cos，sin），=（2，1）（1）若，求的值；（2）若|=2，求的值考点：平面向量数量积的运算；同角三角函数基本关系的运用 专题：平面向量及应用分析：（1）由，可得=2cossin=0，求得tan=2，从而求得= 的值（2）把已知等式平方求得 =1，即2cossin=1，平方可得4cos24sincos+sin2=1，求得 tan=再利用同角三角函数的基本关系求得cos 和sin 的值，从而求得 =sin+cos的值解答：解：（1）若，则=2cossin=0，tan=2，=（2）|=1，|=，若|=2，则有 2+=4，即 12+5=4，解得 =1，即 2cossin=1，平方可得4cos24sincos+sin2=1，化简可得 3cos24sincos=0，即 tan=再利用同角三角函数的基本关系sin2+cos2=1，求得cos=，sin=，=sin+cos=点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，属于中档题16在abc中，设角a，b，c的对边分别为a，b，c，且（1）求角a的大小；（2）若，b=4，求边c的大小考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，再利用内角和定理及诱导公式变形，根据sinc不为0求出cosa的值，即可确定出a的度数；（2）由a，b，cosa的值，利用余弦定理求出c的值即可解答：解：（1）利用正弦定理化简acosc+c=b，得：sinacosc+sinc=sinb，sinb=sin（a+c）=sinacosc+cosasinc，sinacosc+sinc=sinacosc+cosasinc，即sinc=cosasinc，sinc0，cosa=，a为三角形内角，a=；（2）a=，b=4，cosa=，由余弦定理得：a2=b2+c22bccosa，15=16+c24c，即c24c+1=0，解得：c=2点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键17设数列an的前n项和为sn，点的图象上（1）求数列an的通项公式；（2）设对所有nn*都成立的最小正整数m考点：数列与函数的综合；等差数列的通项公式；数列的求和 专题：计算题分析：（1）由点在y=3x2的图象上，得=3n2，即sn=3n22n；由an=snsn1可得通项公式，须验证n=1时，an也成立（2）由（1）知，bn=；求和tn=，可得；令；即，解得m即可解答：解：（1）依题意，点在y=3x2的图象上，得=3n2，sn=3n22n；当n2时，an=snsn1=（3n22n）=6n5 ；当n=1时，a1=s1=3122=1，适合式，所以，an=6n5 （nn*）（2）由（1）知，bn=；故tn=；因此，使成立的m，必须且仅须满足，即m10；所以，满足要求的最小正整数m为10点评：本题考查了数列与函数的综合应用，用拆项法求数列前n项和以及数列与不等式综合应用问题，属于中档题18某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点o为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点o的两条直线段围成按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（弧度）（1）求关于x的函数关系式；（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？考点：基本不等式在最值问题中的应用 专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：（1）利用扇形的弧长公式，结合环面的周长为30米，可求关于x的函数关系式；（2）分别求出花坛的面积、装饰总费用，可求y关于x的函数关系式，换元，利用基本不等式，可求最大值解答：解：（1）由题意，30=x+10+2（10x），=（0x10）；（2）花坛的面积为=（10x）（5+x）；装饰总费用为x9+109+2（10x）4=9x+90+8（10x）=170+10x，花坛的面积与装饰总费用的比为y=令17+x=t，则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，=，当x=1时，y取得最大值点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查扇形的弧长公式，考查基本不等式的运用，确定函数模型是关键19（16分）设数列an的首项不为零，前n项和为sn，且对任意的r，tn*，都有=（1）求数列an的通项公式（用a1表示）；（2）设a1=1，b1=3，bn=（n2，nn*），求证：数列log3bn为等比数列；（3）在（2）的条件下，求tn=考点：数列的求和；等差数列的性质；等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（1）由已知条件推导出，由此能求出数列an的通项公式（2）由已知条件推导出，由此能证明数列log3bn是首项为1，公比为2的等比数列（3）由（2）推导出由此能求出tn=解答：（1）解：因为a1=s10，令t=1，r=n，则，得，即2分当n2时，an=snsn1=a1（2n1），且当n=1时，此式也成立故数列an的通项公式为an=a1（2n1）5分（2）证明：当a1=1时，由（1）知an=a1（2n1）=2n1，sn=n2依题意，n2时，7分于是，且log3b1=1，故数列log3bn是首项为1，公比为2的等比数列10分（3）解：由（2）得，所以12分于是15分所以16分点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的证明，考查数列的前n项和求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用20（16分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线c（1）当a=2时，求函数f（x）的单调减区间；（2）设函数f（x）的导函数为f（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）已知点a为曲线c上的动点，在点a处作曲线c的切线l1与曲线c交于另一点b，在点b处作曲线c的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2问：是否存在常数，使得k2=k1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：压轴题；导数的综合应用分析：（1）先求原函数的导数，根据f（x）0求得的区间是单调减区间，即可；（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f（x0）=0同时成立，则存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，就把问题转化为求函数最值问题；（3）假设存在常数，依据曲线c在点a处的切线l1与曲线c交于另一点b，曲线c在点b处的切线l2，得到关于的方程，有解则存在，无解则不存在解答：解：（1）当a=2时，函数f（x）=x3+x22x+b则f（x）=3x2+5x2=（3x1）（x+2）令f（x）0，解得2x，所以f