（凝聚态物理专业论文）可调光子晶体偏振无关光子晶体及光子晶体量子阱结构的理论研究.pdf

摘要 本论文从光子晶体的应用角度出发 研究了可调光子晶体的性质 偏振无关 光子晶体的性质和含有负折射率材料光子晶体量子阱结构的性质 第一章 简单讲述了光子晶体的一般性质 介绍了近几年光子晶体及相关领 域的一些进展 并介绍了当前另一个研究热点 特异材料的具体性质 第二章 介绍了进行光子晶体理论计算时主要采用的两类方法 平面波展开 方法和传输矩阵方法 并对倒空间以平面波展丌为基础的传输矩阵法作了详细的 阐述 第三章 首先介绍了以往的一些实现可调光子晶体的方法 接着介绍了我们 提出的一种新型的通过外加磁场进行调节的可调光子晶体 对它的原理和调节性 能进行介绍 并把它与其他的可调光子晶体进行优缺点的比较 然后 在这种可 调光子晶体的基础上 进一步介绍了一种全新概念的光子晶体 外激光子晶 体 讲述了这种新型光子品体的理论与应用意义 并基于前面的可调光子晶体的 原理 介绍了一个外激光子晶体的模型 对其性质进行详细的阐述 第四章 介绍了偏振无关的光子晶体 首先讲述了这种光子晶体的应用价值 并介绍了他人实现偏振无关光子晶体的与法 然后介绍我们提出的实现偏振无关 光予晶体的方法 包括理论上的阐述 程序模拟的结果 并给出了采用特异材料 制作偏振无关光子晶体的例予 第五章 介绍了一种含有负折射率材料的光子晶体量子阱结构 首先介绍了 传统光子晶体量子阱结构的性质 指山其存在的缺陷 我们提出了利用特异材料 得到的零平均折射率光子禁带来改善传统光子晶体量子阱的性能 得到了对入射 光的角度和偏振态不敏感 并且不受结构尺度和无序效应影响的光子晶体量子阱 结构 关键词 可调光子晶体 外激光予晶体 特异材料 偏振无关 光子晶体量子阱 结构 a b s t r a c t i i lt h i st h e s i s f r o mm ev i e wo fa p p l i c a t i o n w es t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h et u n a b l e p h o t o n i cc r y s t a l s p o l a r i z a t i o n i n d 印e n d e n tp h o t o n i cc r y s t a l s a n dt h e p h o t o n j c q u a i l t u m w e us t m c t u r e sc o n t a i l l i n gn e g a t i v e i n d e xm a t e r i a l s t h et h e s i sc o s i s t so f f i v ec h a p t e r s i i lt h ef i r s tc h 印t e r w ef i r s t l yi n t r o d u c et h eg e n e r a lp r o p e r t i e so fp h o t o n i cc r y s t a l s a 1 1 dt h ed e v e l o p m e n to ft h er e s e a r c ho fp h o t o n i cc r y s t a l si nt h e s ev e a r s t h e w e i n t r o d u c et h ec o n c f e t ep r o p e r t yo fa n o t h e rr e s e a r c hl l i g l l l i 曲卜 m e t a m a t e r i a l s 1 1 1t h es e c o n dc h a p t e r t w oi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t l l o d so fc a l c u l a t i n gp h o t o n i c b a n ds t m c t u r e sa i l dt r a n s m i s s i o n sa r ep r e s c n t e d t h ep l a n e w a v ee x p a n s i o nm e t h o d a n dt h et r a n s f e r m a t r i xm e t h o d w ei n v e s t i g a t ei nd e t a i lt h ep l a n e w a v eb a s e d t r a n s f 色r m a 伍xm e t 王1 0 d i nt h et h i r dc h a p t e r w ef i r s t l yi n t r o d u c es e v e m lk i n d so ft l l n a b l ep h o t o n i c 臼y s t a l s t h e nw ep r o p o s ean e wk i n do ft u n a b l ep h o t o n i cc r v s t a l s t h eb a i l ds t r u c t u r e so fw h i c h c a nb et u n e db vm e a n so fa ne x t e m a lm a g n e t i cf i e l dd u et ot h em a g n e t o o p t i c a le f f e c t t h i si ss h o w nb vc a l c u l a t i n gt h ep h o t o n i cb a n ds t r u c t u r eo fag a a s b a s e d t w o d i m e n s i o n a lp h o t o n j cc r v s t a lw i t has q u a r eo rt r i a i l g u l a r l a t t i c eo fc v l i n d r i c a la 打 h 0 1 e s w ea i s oc o m p a r ei tw i t ho t h e rk i n d so ft u n a b l ep h o t o n i cc r y s t a l s w ef u r t h e r p r o p o s e t h ec o n c e p to fe x t r i n s i cp h o t o n i cc r y s t a l s s h o w i n gt h es i g n i f i c a n c eo ft h i s n e wk i n do fp h o t o n i cc r y s t a l si nt h e o r ya n da p p l i c a t i o n w ep r e s e n tam o d e lo f e x t r j n s i c 口h o t o n i cc r v s t a l sb a s e do nt h eu p p e rt u n a b l ep h o t o n i cc r y s t a l sa n di n t r o d u c e 1 t sc o n c r e t ep r o p e r t l e s ht h ef o u r t hc h a p t e r t h ep o l a r i z a t i o n i n d e p e n d e n tp h o t o n i cc r y s t a l sa r ei n t r o d u c e d w ef i r s t l vs h o wt b em e r i to ft h i sh n do fp h o t o n i cc r y s t a i sa n dt h em e t h o dt or e a l i z ei t b vo t h e r s t h e nw ej n t r o d u c eo u rm e t h o dt or e a l i z et h ep 0 1 a r i z a t i o n i n d e p e n d e n t p h o t o n i cc r v s t a l s i n c l u d i n 卫t h et h e o r e t i c a lp r e s e n t a t i o na n ds i m u l a t i o nr e s u l t s w e a l s os h o wh o wt og e tt h i sk i n do fp o l a r i z a t i o n i n d e p e n d e mp h o t o n i cc r y s t a i sw i t ht h c m e t a m a t e r i a i s i nt h ef i f t hc h a p t e r w ei n t r o d u c eap h o t o n i cq u a n t u m w e l is t r u c t u r cc o n t a i n i n g n e g a t i v e i n d e xm a t e r i a l s f i r s tw es h o wt h el i m i t a t j o no ft h ec o n v e n t i o n a lp h o t o n i c q ua i l t u m w e l l s t r u c t u r e s w i t ht h e u n i q u ep r o p e r t y o ft h ez e r o 门 g a p o f o n e d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sc o n t a i l l j n gn e g a t j v e i n d e xm a t e r i a i s w ep r o p o s ea n e wt y p eo fp h o t o l l i cq u a n t l l m w e l ls t r u c t u r e s t h i st y p eo fp h o t o i i i cq u a n t u m w e l l s t r u c t u r e sc a nb eu s e da sap o l a r i z a t i o n j n d e p e n d e n tm u l t i p l ec h a l l n e l e df i l t e r t h a ti s n e a r l yi n d e p e n d e n to ni n c i d e n ta n 9 1 e s a n di n v a r i a n tw i t hs c a l i n ga n dd i s o r d e r k e yw o r d s t u n a b l ep h o t o n i cc r y s t a l s e x t r i n s i cp h o t o n j cc r y s t a l s m e t a l n a t e r i a l s p 0 1 a r i z a t i o n i n d e p e n d 朋t p h o t o n i cq u a n t u m w e l ls t r u c t u r e s 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外 不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果 其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意 作者签名 三刍 薤日期 丛161 坚 西 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留 送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论文的全部或部分内 容 可以采用影印 缩印或其它复制手段保存论文 保密的论文在解密后遵守此 规定 作者签名 1 1 光子晶体简介 第一章序言 在固体物理里我们都知道电子在周期性晶格中传播时 由于电子波受到原子 的周期性势场的布拉格散射作用 会形成复杂的能带结构 原来分立的能级过渡 成能带 能量处在能带范围的电子波可以通过晶体 而带与带之间可能存在带隙 如果电子波的能量落在带隙中 其传播是禁止的 从上世纪五十年代开始的以半 导体为代表的电子带隙材料导致了微电子革命 我们所处的时代从某种意义上说 是半导体时代 半导体的出现给我们的日常生活带来巨大的变化 然而由于电子 的特性 集成的极限在可以看到的将来会出现 而相对电子来说 光子有着电子 所没有的优势 速度更快 没有相互作用 0 k 空间 图1 1 a 一维 二维和三维光 子晶体示意图 b 光子晶体能 带结构和态密度 阴影部分代表 光子蔡带 1 9 8 7 年y a b n o l o v i t c h 1 和j o b n 2 在讨论如何抑制自发辐射和光子局域时 分别把能带的概念拓展到光波或电磁波中来 提出了光子晶体的概念 相对来说 半导体可以称为电子晶体 如果将不同介电常数或者磁导率的材料构成周期结构 如图1 1 a 所示 电磁波在其中传播时由于受到布拉格散射 电磁波会受到调 制而形成能带结构 这种能带结构叫做光予能带 p h o t o n i cb a n d 光子能带之问 可能出现带隙 即光子禁带 p h o t o n i cb a i l d g a p 简称阳g 如图1 1 b 所示 具有光子禁带的周期性结构就是光子晶体 3 5 p h o b d n i cc r y s t a l s 或叫做光予 带隙材料 p h o t o n i cb a n d g a pm a t c r i a l s 在随后的十几年中 围绕着光子禁带 又 发现了许多新奇的物理现象和物理应用 6 6 3 操纵光波的流动是人类多年的梦想和追求 全球高新技术领域的科学家与企 业家都期待着新的带隙材料对光波的操纵 从科学技术的角度可以预言 这一目 标一旦实现 将对人类产生不亚于微电子革命所带来的深刻影响 因此 光子晶 体也被科学界和产业乔称为 光半导体 或 未来的半导体 光子晶体将引发 一场二十一世纪的光子技术革命 1 2 光子晶体研究现状 光子晶体是一门正在蓬勃发展的 很有前途的新学科 它从理论 到实验 再到应用器件的设计 吸引了包括经典电磁学 固体能带论 半导体器件物理 量子光学 纳米结构和材料科学等领域的科学家们的广泛兴趣 论文数目里指数 增长 光子晶体的研究从上世纪八十年代末提出发展至今 取得了很大的进展 最初人们研究光子晶体 考虑的是如何利用光子禁带 相关的应用有抑制自 发辐射 1 6 增强微波天线的发射效率 7 随后 人们又考虑了在周期结构 中引入缺陷后 禁带中出现的缺陷态 如利用点缺陷 得到了阈值很小的半导体 激光器 8 和传输效率更高的光纤 9 利用线缺陷 实现了波导中的大角度拐 弯 1 0 1 2 类似s 1 m 中的隧穿效应 禁带中的超快隧穿 1 3 一1 6 1 9 也被发现 了 此外还发现了以前未曾发现的缺陷态的超慢效应 1 7 一1 9 2 图1 2 波导中的大角度拐弯 位移电场在直线和转角光子晶体波导中传播 时的分布 为计算结果 图中 亮和暗分别代表高和低 图1 3 光子晶体光纤的扫描电子显微镜照片和光场分布 最近几年 人们发现在禁带附近的导带 光子晶体也有许多奇特的性质 集 中表现在异乎寻常的折射现象 2 0 3 4 上 真空中的平面波 进入光子晶体后将 变成布洛赫波 折射时 频率和波矢的切向分量要相等 由于周期结构带来的强 散射 布洛赫波的波矢方向将不再与能流方向重合 甚至有可能会反向 同时波 矢的长度可能也会与真空中的相差很大 2 8 3 0 这样就带来了许多奇特的折射 现象 如折射率n o 时的负折射 2 2 2 3 n 棚时的超折射 2 9 3 4 利用负折射 可以制成突破传统衍射极限的完美透镜 3 2 3 3 可以实现没有能量下限的反常 切伦柯夫辐射 3 7 利用超折射 可以提高发光二极管的发射效率 3 8 4 1 可 以实现电磁波的定向发射 3 4 可以得到波长分辨能力极高的超棱镜 2 9 3 5 3 6 3 图1 0 光子晶体负折射成像 就光子晶体自身来说 也有很多种 从材料来看 有介质型光子晶体 1 2 4 2 有金属型光子晶体 4 3 4 4 特别是后者 除了有一般的布拉格散射 还包含了本征的等离子体共振 这也带来了更加丰富的物理现象和实际应用 最 基本的就是与晶格常数无关的被称为零平均折射率的光子禁带 勰r d 一忍g a p 4 5 这也是一个前沿问题 许多内容都在探索之中 翱嬲 图1 5 金属型光子晶体 4 此外 从光子晶体禁带对光的反射及结构无序对光子的局域作用出发 人们 研究了自然界的结构色彩现象 4 审5 1 1 如蛋白石 孔雀 蝴蝶 某些甲壳虫的美 丽而炫目的色彩都源于其内部的微观结构 如图1 6 所示 与色素色彩相比 结 构色有很多优点 如反射率高 不易褪色等 这为人工合成结构色彩奠定了基础 同时这些研究丰富和深化了人类对自然界的认识 图1 6 自然界中的结构色 分别为蛋白石 蝴蝶 孔雀羽毛 的图片和微观结构电镜照片 光子晶体是使光波受到周期性的调制 人们展开思维想到 其它的波受到周 期调制后也可能出现带隙和新现象 这一研究已被拓宽到声波 5 2 5 5 等离子体 波 5 6 5 8 磁子波 5 9 水波 6 0 6 1 和液体表面波 6 2 6 5 中来 并且发现了一些新 的物理现象和新的应用 5 1 3 特异材料简介 特异材料 m e t 锄a t e r i a l s 是近几年提出的一种新型的人工材料 它和传统 的天然的材料相比具有完全不同的电磁性质 它通过特殊的微结构设计 使之具 备负的等效介电常数或负的等效磁导率 也可以两者皆为负值 即得到负的折射 率 从而实现负折射现象 这在传统光学中是无法实现的 这也引发出了许多新 的物理内容和新的应用可能 比如实现平板棱镜的完美成像 可以消除像差达到 更高的分辨率 下面我们对特异材料的性质作一个介绍 考虑电磁波在某一材料中传播的情形 一般来说电磁波的波长都远大于组成 材料的原子j 拘大小 因此人们在处理材料对电磁波的响应时 可以把材料内原子 对电磁波的响应作一平均近似 即用一个包含两个参数 介电常数和磁导率的 均匀材料来处理电磁波和材料的相互作用 而实际上不只是材料本身的原子会对 电磁波的作用有响应 任何一个尺度远小于电磁波波长的微结构单元与电磁波相 互作用时 都可以用包含介电常数 和磁导率 这两个参数的均匀材料来描述 其中介电常数s 与磁导率p 则和微结构单元对电磁波的散射情况相关 基于这样 的想法 人们提出了一种新型的人工材料 特异材料 m c t a m a t e r i a l s 的概念 最初在1 9 9 9 年 人们提出了几种基于导电材料的微结构设计以得到在微波一 或更低频段的具有磁响应的人工材料 2 5 这种微结构是导电线圈的堆列 导 电线圈的固有电容和自感将会形成一个共振 在外加磁场的作用下这个共振被激 发时 线圈中的感生电流将和外加磁场产生很强的耦合 从而得到一个较大数值 的等效磁导率 这种磁共振频率一般低于皿厄频率 人们设计了一种缺口圆环 结构的共振单元 可以达到更高的磁共振频率 2 5 6 6 另一方面 由于晶格 振动或其他机制 几乎所有的材料都具有电响应 一般情况下电响应频率在 z 频率以上 人们设计了一种金属线的网格结构 可以降低电响应频率 折射率是人们通常用来描述材料光学性质的一个参数 它的形式为 rr 一 l 常见的材料由于介电常数和磁导率均为正值 因而折射率n 也为正 值 然而早在1 9 6 8 年 咖v c s e l a g o 就提出如果材料的介电常数和磁导率均为 负值时 将会得到负的折射率 2 0 利用特异材料的电响应和磁响应的特殊性 质 我们可以得到介电常数和磁导率均为负值的材料 那么它的折射率也将为负 值 图1 7 电磁波在正折射材料和负折射材料界面上折射的示意图 折射电磁波的相速度和群 速度方向相反 图1 7 显示了发生负折射现象时的情形 在传统的材料中 电磁波的相速度 方向和群速度的方向是相同的 而在发生负折射时 电磁波的相速度方向和群速 度的方向是相反的 而这两者的方向相反 也意味着这种材料的折射率n 为负值 早期人们一直没有发现折射率n 为负值的材料 直到2 0 0 0 年 人们才利用缺口 圆环的结构制得的特异材料实现了在某一频段介电常数和磁导率均为负值 从而 实现了负折射材料 2 1 其中负的磁导率处于高于缺口圆环共振频率的频段 负的介电常数通过在缺口圆环的晶格中插入金属导线的晶格来实现 金属线晶格 可以具有一个截止频率 在这个频率以下时介电常数为负值 2 4 可以选择合 适的参数使得这个截止频率为高于缺口圆环的共振频率的某个频率 从而使负介 电常数的频段和负磁导率的频段有一定的重合 即在这重合的频段得到介电常数 和磁导率同时为负值 在2 0 0 1 年 有人作了一个斯涅尔折射定律的实验以验证特异材料在微波频 段的负折射性质 2 3 在这个实验中 具有负折射率的特异材料 图1 8 a 所示 被制作成楔型的样品 一束在材料负折射率频段的微波入射到样品一个表 面上 通过样品并在倾斜的一面上发生折射 测量折射波的能量和折射角度 结 7 果如图1 8 b 所示 我们可以看到确实发生了负折射现象 同时斯涅尔折射定 律也仍然成立 由斯涅尔定律可知发生负折射时样品的折射率约为 2 7 后来也 有一系列的实验同样证明了利用特异材料可以实现负折射 2 7 3 3 卜h 勘n f l 辩 4 l l l l m 协 乞7 厶八7 h k 之 糙稍 o3 9 0 a n 咖黜黼嘲 他 b 图1 8 a 由缺口圆环和金属线晶格组成的具有负折射率的特异材料 样品高度为1 c m b 实验探测到能量和角度的关系 右边蓝线对应正折射率样品 左边红线对应负折射率 样品 有了负折射材料 我们需要对很多光学现象重新认识 一个重要的例子就是 棱镜成像 一般认为成像的分辨率受到所用光的波长的限制 然而利用负折射可 以突破这一限制 图1 9 是负折射材料平板成像的示意图 人们发现利用负折射 成像不仅包含了传播光的能量 也包含了近场时的衰逝波的能量f 3 2 1 如图1 9 b 所示 我们可以看到 在理想的情况下通过负折射材料的平板可以得到物 体的完美成像 负折射材料使得亚波长成像成为可能 8 留省轼 藿琶 lp菱越驾蓬鏊嚣毒ll a 0 4 雎一 1 力 毁j 八 降 8 哆 箩 卜 图1 9 利用负折射率的特异材料制作成的平板实现 a 远场和 b 近场的完美成像 这几年有关特异材料 m c t 锄a t e r i a b 和负折射现象的研究发展迅速 特异 材料的特殊性质和由此引发的新的物理内容和潜在应用引起人们的广泛的兴趣 下面两节我们将介绍特异材料应用的两个例子 即采用特异材料实现偏振无关的 光子晶体和光子晶体量子阱结构 9 参考文献 1 1 e y 抽l o n o v i 妯 h y s r c v k t t 5 8 2 0 5 9 1 9 8 7 2 s j o h n p h y s r c v b t t 5 8 2 4 8 6 1 9 8 7 3 j d j o a 加o p o u l o s r d m e a d e 翘dj n w 皿 崩口加f c o 膨西 胁瑚馏觑肋h d 上劬f p 血c e t o nu 毗p r e 豁 n j 1 9 9 5 4 肋咖缸肋以g 印胁地砌b n a t o a s i e d i c e d b ycm s o u k o l l l i s 闽u w e ld o f d r e c h t 1 9 9 6 5 鼢d 枷出肋耐劬黔口以上d 叩妇f 加 n 舢盼a r w e d i t e db y c m s o u k o u l i s p l e n 啪 n c w y o r k 1 9 9 3 6 e m p u r o c n p h y s r e v 毋 6 8 1 1 9 6 4 叼e r b r o w n c d p a r l c e la n de y 曲n o l o v i 劬 j o p t s o c a m b1 0 4 0 4 1 9 9 3 8 o p a i n t e r k k as c h e r 丸y 捌v j d o b r i e n 蜘dp d d a p k i l sa n d i 1 i m 2 8 4 1 8 2 0 1 9 9 9 9 j c k n i g h j b r o c n 舀t a b i r k s a n dp s t j r u s s e n s d e n c e2 8 2 1 4 7 6 1 9 9 8 1 0 am e 虹se t p h y s r e v h t t 7 7 3 7 8 7 1 9 9 6 1 1 j d j o 砌o p o u l i s p r e 扯u v e 锄ds f 姐 n a 3 8 6 1 4 3 1 9 9 7 1 2 s y 踟 e c h o w vh i e t a l a p r e n e u v e a n dj d j o 珊o p o l i l o s s c i 曲c e2 8 2 2 7 4 1 9 9 8 1 1 3 am s t e i n b e f g p g l i a t 勰d r y o i a o p h y s r e v k 7 1 7 0 8 1 9 9 3 1 4 cs p i e h n a 仰 r s 商 船 as 妇g l 她dek m n 鸵 p h y s r c v k t l7 3 2 3 0 8 1 9 9 4 1 5 m m 0 j a h e d i e s c h m l i i o 醇u e i e g e l e r dkj m a l l o y p h y s r e v e6 2 5 7 5 8 2 0 0 0 1 6 j m b 即d i c n j p d o w l i n g 矩dm s c a i o n p h y s r e v e5 3 4 1 0 r 7 1 9 9 6 1 7 g d a g u a n n 0 m c c n t i n i m s c a l o 马c s i n i h a m j b 1 0 e 黜 c m b o w 血n j w m 璐 姐dm b e n o l o 仕i p h y s r c v e6 3 0 3 6 6 1 0 2 0 0 1 1 8 n h u u s y 孤l h o 髓柚d x h p h y s r e v e 6 5 0 4 6 6 0 7 2 0 0 2 1 9 x h h u y 最 y z u cx u x w a n g x h u u r t f u 柚dj 甄j p n j a p p l p h y s 4 2 l 1 6 5 2 0 0 3 c 加 vg 1 a g o s o v p h y s u 印 1 0 5 0 9 1 9 6 8 1 0 2 1 d r s m i t h wj p a d i l l a d c e r s e n e 蚴t n a 豁 s s c h u l 饵p h y s r c v l e t t 8 4 4 1 8 4 2 0 0 0 2 2 ra s h e l b y d r s m i m s c n e m a t n a s 鲫 s s c h l l l 拓 a p p l p h y s k n 7 8 4 8 9 2 0 0 1 团 a s h e l b d r s i i l i 血 s s c h u l 乜 s c i 曲c e 2 9 2 7 7 2 0 0 1 2 4 j b p e n d 珥aj h o l d e n w j s t c 啪r i l y o 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0 m s c k 0 v a c h s 丑1 i 柚 n 如ds m g o o d m a n j e x p b i 0 1 2 0 2 3 5 0 7 1 9 9 9 钙1d o 面 柚d a d 王i a n l j e x p b i 0 1 2 0 5 2 0 1 7 0 2 4 9 ap a r k c lv lw b l c h d d 咖盯 dn m a n i i l i n a t u r c4 2 6 7 8 6 2 0 0 3 5 0 d lf b x 彳砌m f6 如曲 册l 嚣口以鼬 c 加试c d j d 坩 u n i v o fc a l 讧o m i ap m 豁 b e r k c l c y 1 9 彻 5 1 1 j 甄x y x h l l c x u x w 抽g x i j u 蛐d r f u p n a s 1 1 2 5 7 6 2 0 0 3 5 2 r m h o m i c h m k u 羽盯 s s h t 舳强 勰dc s o m 雠硌 j p h y s 1 7 5 0 9 1 9 9 7 5 3 m s k l 塔h w a l l ae ta 1 p h y s r e v k t l7 l 2 0 2 2 1 9 9 3 i b i d p h y s r e v b4 9 2 3 1 3 1 9 9 4 5 4 n 丸n 蛔r 0 v i d r c m c p h e d r a n 勰dlc b o t c e n p h y s r e v k t t 7 5 1 5 0 7 1 9 9 5 5 5m m s i g a l a s 柚d e n e c o n 0 啪u p h y s r c v k n 7 5 3 5 8 0 1 9 9 5 5 6 e p i n c c m i n 卸dj j g r c 如 j o p t s o c a m b 1 4 9 9 1 9 9 6 5 7 w l b 枷c sc ta 1 p h y s r e v b 6 2 1 9 9 6 5 8 j b p e n d 珥aj h o l d e n d j r o b b i n s 柚dw j s t e w 矾j p h y s c o n d e 眠m a t ll o 4 7 8 5 1 9 9 8 5 9 j o v a 晤辩u ld o b 硒惴虹柚db d j a f a r i r o l i h 卸i p h y s r e v b5 4 1 0 4 3 1 9 9 6 6 0 p m c i v c bj f h l i dm e c h 4 1 0 1 2 0 0 0 6 1 y k h a j e k i m h y p a r k 柚d i w l e e a p p l p h y s k 怯 薯1 1 3 4 1 2 0 0 2 f 6 2 t a l o u p h y s r e v k t l7 9 铝0 2 1 9 9 j 7 6 3 t c h o l j 凡u i dm e c h 3 6 9 3 3 3 1 9 9 8 6 4 m 1 b m s e ta i n a t i l r e3 粥 1 1 4 1 9 9 9 6 5 1 地t o r i 伪 e ta 1 p h y s r e 6 3 1 1 2 0 郇1 0 0 0 6 6 t j y e nc ta 1 s c i 3 1 4 9 4 2 0 0 4 1 2 第二章理论计算方法 2 1 平面波展开方法 平面坡展开法u 一3 j 是一种比较常用的计算光子晶体能带方法 它的基本思 想是将电磁场以平面波形式展开 可以将m a x w c l l 方程组转化成一个本征方程 求解该方程的本征值便得到传播光子倒格矢的本征频率 连接形成能带 以二维光子晶体为例 1 半径为r 的无限长圆柱形介质柱子平行排列 介 电常数为巳 背景介质的介电常数为 这些介质柱子的横截面构成一个b r a v a i s 格子 可以是正方格子或三角格子 假设电磁波沿着与介质柱子垂直的方向传播 两种不同极化方向的电磁波我们都进行讨论 磁场矢量与介质柱子方向平行 即 h 极化 电场矢量与介质柱子方向平行 即e 极化 这两种极化方向的电磁波都 能形成完全光子能带 我们把介质柱子轴线的方向定为而轴方向 并假设介质柱子都无不交迭 介 质柱子轴线与芳 平面的交点形成一个b r a v a i s 格子 格点的位置可表示为 而一幅 城 一 2 1 1 这里毛和毛是b r a v i 雒格子的基矢 乞为整数 可正可负可为零 该格子的 原胞的面积为以一恳 毛l 由于介质柱子与背景介质的介电常数不同 所以这 个合成系统的中的介电常数是位置的函数 可以表示为s 瓴 这里 焉 啦 确 是和岛分别是沿鼍和屹轴的单位矢量 s 瓴 是而的周期性函数 满足s 瓴 而 f j s 瞒 下面我们来计算置置平面上光子晶体结构的光子能带 先讨论h 极化的情 况 首先我们将电磁场表示为如下形式 厅 j f o o h 而l e 一 2 l 2 豆 茗 f 巨 屯l 易瓴 x i o e 2 l 3 返种情况fm a x w e u 方程组为 堕一亟 丝皿 2 1 4 d 麓d x c 警 等d 2 警唧易 2 孕 丝d t 丝f 瓴墁 2 1 6 d x cc 消去墨和易 将上式表示为皿的方程 毒高卦毒高卦等删 眩 为了解这个方程 我们把s 瓴 和玛瓴in 展开为如下形式 南 毒 龟垆 q l8 皿 和 么 粥i 幅 岛h 2 1 9 这里罱i 瞒 是波的二维波失 岛i 硒 i l 匠 是该格子的倒格矢 穗 和舷是两个整数 我们用庇表示 倒格子的基矢定义为 匠一詈 牲口 2 j 匠t 詈 以州 其中口 是q 的第j 个笛卡儿分量 到系数 4 毛幅i 满足的方程 2 1 1 1 将以上的展开式带入方程 2 i 7 我们得 驰埘 渊q 一和 们 等嘲q 亿1 1 2 这样就化为求一个对称矩阵的本征值问题 接下来我们讨论e 极化的情况 同理 我们将电磁场表示为 1 4 啻 j f o o 占 恐j p 一 2 1 1 3 霄 贾 f 一 风 恐i 日 瓴 屯l o e 2 1 1 4 这种情况下的m a c w e 方程组为 等一薏 一等b 一等矧历 弦1 1 5 塑 一塑鼠 2 1 1 6 c 里 丝且 2 1 1 7 戤2 c 消去 l 和日 后得到己满足的方程 南降 斟j 譬驯 2 1 1 8 为了解方程 2 i 1 8 我们仍然使用 2 i 8 式 并将岛 而p 展开为如下 形式 岛 和 b 粥妒 毛h 2 9 代回方程得到系数曰 毛幅 满足的方程为 善未 龟一训磊 q 她lg f 争 粥 2 同样的也化为一个解矩阵本征值问题 只是矩阵是非对称的 但是如果我们做如 下代换 c 蜀i ig l 一i 毛l q i l 口 七 q 2 1 2 1 就得到一个求对称矩阵的本征值问题 靳 制岛刮毛 喇懒 等c 制 2 2 我们看到s 1 而 的傅立叶系数p 岛i 对于两种极化情况下光子能带结构 都有重要影响 为了得到能带结构 我们将e 一1 嘞 写成如下形式 南 水s p 执 叫撼嚣 亿1 2 3 r 定义为介质柱子与五恐面的交界孟 并定义介质柱子轴心处毛 o 所以傅立 叶系数忙 龟 l 可以表示为 矧2 瓢嵋 粥南 鼠 爿廿2 和帕砘 其中最 后一个式子中的积分是对整个碣平面进行积分 我们利用 3 2 3 式的定义 圣 龟 丢 丢 一 岛 2 加 丢 善噶 响 和 叫掏朋桁揿砩争卦也哥钎倾将 粥卜 毒鬻 磊 弦1 2 5 i f 了贾 o 8 0b u k n o 4 a o 2 o d oz o o o o6 0 o o i i盹n s t yo fs q 伯 l d r h j t 暑l 图2 1 图2 1 是在日极化的情况下 乞一1 4 一1 填充比 0 4 3 1 时的光子 能带图 右半边图是任意晶格内的光子态密度 在计算光予态密度时 我们在三 角格子的第一b r i l l o u i n 区内等间隔的取很多毛值 然后代入方程 2 1 1 2 和 2 1 2 2 求解 图2 2 是e 极化的情况下 毛一5 1 填充比 o 1 6 9 时的光子能带图 1 7 藩 2 2 传输矩阵方法 传输矩阵方法是薄膜光学 1 d 光予晶体 4 5 2 d 的光栅理论 6 7 2 d 光子晶体 8 9 以及3 d 光子晶体经常使用的一种方法 其原理是将某一结构在 空间沿某个方向划分为若干单元 将电磁场在选取的初始单元位置展开 将麦克 斯韦方程组化成用以表示一个单元的场强与相邻的另一个单元的场强关系的传 输矩阵形式 场强可以是实空间的场强 也可以是倒空间展开得到的场强 传 输矩阵方法可以用来求解光通过光子晶体的透射率 反射率以及光子晶体能带 下面我们将分别介绍实空间一维情况的传输矩阵方法和倒空间以平面波展 开为基础的传输矩阵方法 2 2 1 实空间一维情况的传输矩阵方法 4 5 y 一 蒸 t 一 a l j 4 鬟 h j 冀 n 錾 t 羹 一 r f j 一o o 2 4 j t t q 广 4 一 t 1 j 7 0 l 羹 一 0 2 o 0 v l 硷 i 吁 7 啼 图2 3 一维光子晶体中入射光的偏振形式 y 乙 一维光子晶体 由入射光偏振方向的不同可以分为两种情况讨论 分别是电 场分量垂直于入射面的t e 波 与磁场分量垂直于入射面的t m 波 如图2 3 所示 我们考