初三数学：菱形.docx

菱形适用学科数学适用年级九年级适用区域全国课时时长（分钟）120知识点1、 菱形的判定与性质2、 菱形的判定3、 菱形的性质4、 菱形与面积教学目标掌握菱形的定义和性质；学会运用平行四边形，矩形和菱形的区别和联系；掌握菱形的判定；也要掌握掌握菱形与面积的应用 。教学重点重点是菱形的性质及判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形的基础。 教学难点难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中应给予足够重视。教学过程一、复习预习（1）菱形的定义，判定和性质分别是什么？（2）如何判定一个图形是菱形？（3）菱形的面积如何计算，它和边，对角线等之间的关系是什么？二、知识讲解考点/易错点1利用菱形的判定与性质求菱形的边长，对角线的长及菱形的面积和周长，有关试题出现在选择题或填空题中。考点/易错点2利用菱形的判定条件来证明菱形，有关类似问题在中考试题中出现的频率非常高，多为填空题或解答题。考点/易错点3菱形的边和对角线有不同于一般的平行四边形的性质，有关菱形的几何计算问题可以化为特殊三角形（直角三角形、等腰三角形），利用特殊三角形的性质来计算。这类题目在中考试题中常出现，主要考察学生的几何综合能力及图形转化能力。三、例题精析【例题1】【题干】已知菱形ABCD的对角线AC长为16，BD长为12求它的面积。边长AB及高。【答案】解：ABCD为菱形，ACBD，OA=OC，OD=OB又AC=16 BD=12OD=6 AO=8AB=10【解析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得的长，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，同时也等于乘边上的高即可求得高。【例题2】【题干】如图所示，在菱形ABCD中，已知E是BC上一点，且AE=AB，EAD=2BAE，求证：BE=AF【答案】菱形ABCD，ADBC，EAD=BEA，EAD=2BAE，BEA=2BAE，AE=AB，ABE=BEA，设BAE=x，则ABE=BEA=2x，则5x=180，解得x=36，BAE=36，ABE=BEA=72，菱形ABCD，AD=AB，ABD=ADB，ADBC ADB=FBE，ABD=FBE=36，BFE=72，BFE=BEA=72，BE=AF【解析】试题分析：根据菱形的性质可得ADBC，即得EAD=BEA，再结合AE=AB，EAD=2BAE，根据三角形的内角和为180即可证得结果。【例题3】【题干】如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交点，DEAC，CEDB。DE与CE相交于E求证：四边形OCED为菱形。【答案】解：DEACDEOC同理CEODOCED为平行四边形ABCD为矩形 AC、BD相交于OOA=OC OD=OB且AC=BDOD=OCOCED为菱形。【解析】由DEAC，CEDB可得OCED为平行四边形，再根据矩形的对角线相等且平分可得OD=OC，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证得结果。四、课堂运用【基础】1. 如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若ABC=60，则AC：BD等于（ ）A：1 B1：2 C：3 D1：2【解析】菱形ABCD，AB=BC，AOB=90，ABC=60，ABC是等边三角形，AO：BO=1：=：3，AC：BD=2AO：2BO= AO：BO=：3，故选C.2. 若菱形ABCD的周长为8，对角线AC=2，则ABC的度数是（ ）A120 B60 C30 D150【解析】试题分析：根据菱形的性质结合对角线AC=2，可得ABC是等边三角形，即可得到结果.菱形ABCD的周长为8，AB=BC=2，AC=2，ABC是等边三角形，ABC=60，故选B.【巩固】1. 如图，菱形ABCD中，AEBC于点E，BE=CE，AD=4cm.(1)求菱形ABCD的各角的度数；(2)求AE的长.来源:学。科。网Z。X。X。K解：(1)如图，连结AC，AEBC于点E，BE=CE，即AE垂直且平分线段BC， AC=AB(线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)， 又BC=AB(菱形的四边相等)， ABC为等边三角形，B=60， ADBC，BAD=180-60=120(两直线平行，同旁内角互补)，D=B=60，BCD=BAD=120(菱形的对角相等)，即菱形ABCD的各角的度数分别为: 60、120、60、120；(2)菱形的四边相等， BC=AB=AD=4cm， 又BE=CE， BE=2cm， 在RtABE中，由勾股定理得AE=2cm. 2. 如图，在ABC中，ABBC，若将ABC沿AB方向平移线段AB的长得到BDE.（1）试判断四边形BDEC的形状，并说明理由；（2）试说明AC与CD垂直.解：(1)四边形BDEC是菱形.ABC沿AB方向平移AB长得到BDECB/ED,CB=ED四边形BDEC是平行四边形ABBC AB=BDBDBC，四边形BDEC为菱形.（2）ACCD.证明：四边形BDEC为菱形BECDABC沿AB方向平移AB长得到BDEACBEACCD.【拔高】1. 已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于的方程的两个实数根（1）当为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；（2）若AB=2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？解: （1）若四边形ABCD是菱形则ABAD又AB、AD的长是方程的两个实数根 即 此时方程可化为： 当时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长为 （2）AB2即此时方程的一个根为2把代入得： 即此时平行四边形相邻的两边长分别为：2，平行四边形的周长为52. 动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出CAE=CAD，ACF=ACB的方法得到菱形AECF（见方案二）（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？来源:学#科#网解 ： （1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形.小明的理由：ABCD是矩形，ADBC. DAC=ACB.又CAE=CAD，ACF=ACB，CAE=CAD=ACF=ACB. AE=EC=CF=FA. 四边形AECF是菱形（2）方案一：.方案二：设BE=x，则，.由AECF是菱形，得AE2=CE2，解得.方案二小明同学所折的菱形面积较大课程小结（1）在使用菱形的判定与性质解决问题时，要熟记菱形的判定与性质，菱形的性质和判定的熟练掌握；（2）利用菱形的性质综合解决问题,要注意图形之间的转化。课后作业【基础】如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC=10，BD=24，AEBC于E，则AE的长是（ ）A D8解析：四边形ABCD是菱形，AC=10，BD=24，CO=AC=5，BO=BD=12，AOBO，解得， 故选A.【巩固】在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的点，且CE=CF(1)求证：ABEADF(2)过点C作CGEA交AF于点H,交AD于点G，若BAE=25,BCD=130,求AHC的度数。解：（1）根据菱形的性质，可以得出如下菱形ABCD，AB=CD,BC=AD,B=D又CE=CF, BE=DF根据全等三角形的判定，边角边ABEADF（2）如图：根据菱形的性质BCD=130, BAD=130, BAE=DAF=25, EAF=13050=80根据平行线的性质又CGAE, EAH=AHGAHC=180EAH=18080=100【拔高】已知，如图，在平行四边