污水处理费用的合理分担模型.doc

实验报告实验课名称： 数学模型 指导教师： 朱学生姓名：9实验名称： 污水处理厂效益的合理分配 实验日期： 2007 年 9 月 18 日 实验成绩： 实验目的确定建厂方案与建厂后各城镇如何分担建厂的费用实验内容一 、问题重述沿河有三城镇1，2，和3，污水必须经过处理后方能排入河中，三城镇既可以单独建立污水处理厂，也可以联合建厂，用管道将污水集中处理（污水应由河流的上游城镇向下游城镇输送）。用Q表示污水量（单位：t/s），L表示管道长度（单位：km），按照经验公式，建立处理厂的费用为P1=73Q0.712千元，铺设管道费用为P2=0.66Q0.51L千元。已知三城镇污水量为Q1=5，Q2=3，Q3=5，L的数值如图1所示。试从节约总投资的角度为三城镇制定污水处理方案。如果联合建厂，各城镇如何分担费用。 20km 38km321二、问题分析 考虑到问题中提到三个城镇可以单独建立污水厂，也可以联合建立污水厂以及在何处建厂这三个方面，提出以下五种建厂组合，分别是三个城镇单独建厂；城镇1，2合作，在城镇2建厂；城镇2，3合作，在城镇3建厂；城镇1,3合作，在城镇3建厂；三城合作，在城镇3建厂。根据提出的五种建厂组合分别求出在Shapley值、协商解、均衡解、最小距离解、Raiffa解下各个城镇应该承担的建厂费用。三、模型假设1、三个城镇都在一条沿河的直线上；2、河没有支流；3、河水不会逆流而上，每个城镇只能在当地建立处理厂或者将河水运往下游处理；4、不考虑地形气候问题给河流带来的影响。四、符号说明污水量管道长度管道费用建厂费用总投资城镇分担费用Q（t/s）L(km)P1（千元）P2（千元）D（千元）Nd其中建立处理厂的费用为P1=73Q0.712千元，铺设管道费用为P2=0.66Q0.51L千元。三城镇污水量为Q1=5，Q2=3，Q3=5五、模型建立和解决5.1 Shapley值5.1.1三个城镇分别建厂C（1）=73*50.712=230C（2）=160C（3）=230总投资D=C（1）+C（2）+C（3）=620。5.1.2城镇1，2合作 在城镇2建厂 投资为：C（1，2）=73*（5+3）0.712+0.66*30.51*38=350总投资D2=C（1，2）+C（3）=5805.1.3城镇2，3合作 在城镇3建厂 投资为：C（2，3）=73*（3+5）0.712+0.66*30.51*38=365总投资D3=C（1）+C(2,3)=5955.1.4城镇1,3合作，在城镇3建厂 投资为：C（1，3）=73*（5+5）0.712+0.66*50.51*58=463C(1)+C(2)=460这个费用超过了1，3分别建厂的费用，合作没有效益，因此后面不考虑这种方法。5.1.5三城合作在城镇3建厂总投资为:D(5)=C(1,2,3)=73*(5+3+5)+0.66*50.51*20+0.66(5+3)0.51*38=556比较可得联合建厂D5=556千元最小，所以选择联合建厂方案，下面的问题的如何分担费用D（5）。D(5):建厂费：D1=73*(5+3+5)0.712=453 12管道费：D2=0.66*50.51*20=30 23管道费：D3=0.66*(5+3)0.51*38=73城3建议：D1按5:3:5分担 D2，D3由城1，城2担负城2建议：D3由城1，城2按5:3分担，D2由城1担负城1计算：城3分担D1*5/13=174C(3)城2分担D1*3/13+D3*3/8=132C(2)城1分担D1*5/13+D3*5/8+D2=250C(1)特征函数V(S):联合建厂比单独建厂节约的投资V()=0 V(1)=V(2)=V(3)=0V(12)=C(1)+C(2)-C(1，2)=230+160-350=40V(23)=C(2)+C(3)-C(2，3)=160+230-365=25V(13)=0V(I)=C(1)+C(2)+C(3)-C(1,2,3)=230+160+230-556=64X=(X1，X2，X3) 三城从节约投资中V(I)得到的分配计算城1从节约投资中得到的分配X1S112131V(S)040064V(S1)00025V(S)-V(S1)040039|S|1223W|S|1/31/61/61/3W(|S|)V(S)-V(S1)06.7013X1=19.7 X2=32.1 X3=12.2三城在总投资556中的分担城1 C(1)-X1=210.4城2 C(2)-X2=127.8城3 C(3)-X3=217.85.2 协商解:以n-1方合作的获利为下限目前的我们只知道全体合作的获利，记作bi=v(Ii)表示无i参加时n-1方合作的获利以及B=V(I)全体合作的获利记作b=(b1,b2,bn) 模型 xi=Bxi-x1b1 AXTbT xi-xnbn求解 AX=bT Xi=1/n-1bi-b1 xi的下限 将剩余获利B-X.i平均分配 Xi=xi+1/n(B-X.i)=1/nbi-b1+B/n例如b=(4,5,6) B=11Xi=(4,3,1) B-xi=3X=Xi+(1,1,1)=(5,4,2)5.2 Nash解设各方能接受的利益分配点为d=（d1,d2,dn）,可看作谈判的威慑点，在此基础上均衡地分配全体合作的利益B。根据n个数的和一定时，当他们相等时乘积最大原理，该模型为Maxi=1n(xi-di) s.t. i=1nxi=B i=（1,2，n）可得到 xi=di+1n(B-i=1ndi)当取d=0时，各方平均分配利益x1=643，x2=643，x3=643所以城镇1的费用为：C1=230-643=208.7.所以城镇2的费用为：C2=160-643=138.7.所以城镇3的费用为：C3=230-643=208.7.5.3 最小距离解设存在一个各方理想分配的上限，记作为X=（x1,x2,xn）,追求分配结果与这个上限的距离最小，模型为：mini=1n(xi-xi)2s.t. i=1nxi=B,xixi,(i=1,2,n)计算得到：xi=xi-1n（i=1n xi-B）i方的理想上限若取为xi=B-bi，看作i方对全体合作的“贡献”或i方的边际效益，对其整理可得Xi=Bn+1ni=1nbi-bi,iI1，2，n将已有数据带入即可算出三人的合理分配的效益：x1=543,x2=1293,x3=93.所以城镇1的费用为：C1=230-543=212.所以城镇2的费用为：C2=160-1293=117.所以城镇3的费用为：C3=230-93=227.5.4 Raiffa解1. 按照n个n-1方合作的获利得到各方分配的下限，即协商解中的X，作为分配的基础；2. 当j方加入n-1方合作时计算获利的增长，即j方的边际效益，是最小距离解中上限Xj=B-bj；3. 按两步分配Xj：先由j方和j加入前的n-1方平分，然后n-1方在等分，即：Xj=Xj2，Xi=Xi+Xj2（n-1）,，i=1,2,n，ij其中n-1方是在Xj的基础分配；4. j取1，2，n,重复第三步，然后求和、平均，得出最终分配为Xi=Bn+2n-32（n-1）1ni=1nbi-bi，i=1，2，n将已有数据带入即可算出三人的合理分配的效益：x1=22612,x2=45112,x3=9112.所以城镇1的费用为：C1=230-22612=211.7.所以城镇2的费用为：C2=160-45112=122.4.所以城镇3的费用为：C3=230-9112=222.4.实验内容六、模型优缺点以及改进优点： 1)该方案简单易行,原理清晰,依据可靠,论证有力,结论最优； 2)该模型将现实中的污水处理问题用简单的线性规划问题进行分析计算，结构简单，计算方便；3)此问题所建立的模型是从一般问题到特殊问题的过渡，所用的数学方法为线性规划，易于用多种数学软件编程求解。缺点： 1)该模型在处理此问题时有假设与理想化的思想，与实际问题的求解还有一定的距离； 2) 模型只从费用单方面考虑，忽略了处理厂与江水流量变化等的实际问题，使得模型的建立偏离一定实际，从而计算结果不准确。改进：考虑更多有可能会影响污水处理厂建设及污水处理有关的变量，排除无关变量，考察与之有关但在本次实验中未考虑的变量，找到更加客观合理的解决方案七、参考文献姜启源、谢金星、叶俊编 高等教育出