2018中考数学专题突破导学练第11讲的应用试题.docx

第11讲 一次函数的应用【知识梳理】建模思想：解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围一次函数的最大(小)值：一次函数ykxb(k0)自变量x的范围是全体实数，图象是直线，因此没有最大值与最小值实际问题中的一次函数：自变量的取值范围一般受到限制，其图象可能是线段或射线，根据函数图象的性质，就存在最大值或最小值常见类型：(1)求一次函数的解析式；(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题如最值等【考点解析】题型一 利用一次函数进行方案选择例1. （2017宁夏）某商店分两次购进 A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示： 购进数量（件）购进所需费用（元） AB第一次30403800第二次40303200（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润【分析】（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000m）件，根据总利润=单件利润购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题【解答】解：（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据题意得：，解得：答：A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000m）件，根据题意得：w=（3020）（1000m）+（10080）m=10m+10000A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，1000m4m，解得：m200在w=10m+10000中，k=100，w的值随m的增大而增大，当m=200时，w取最大值，最大值为10200+10000=12000，当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000元【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；（2）根据数量关系，找出w与m之间的函数关系式题型二 利用一次函数解决分段函数问题例2. （2017重庆B）甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需18分钟到达终点B【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案【解答】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟，甲的速度是16=千米/分钟，由纵坐标看出AB两地的距离是16千米，设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得10x+16=16m，解得x=千米/分钟，相遇后乙到达A站还需（16）=2分钟，相遇后甲到达B站还需（10）=20分钟，当乙到达终点A时，甲还需202=18分钟到达终点B，故答案为：18【点评】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键题型三 利用一次函数解决其他生活实际问题例3“低碳环保，绿色出行”的理念得到广大群众的接受，越来越多的人再次选择自行车作为出行工具，小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆，爸爸先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分的速度到达图书馆，小军始终以同一速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）a=10，b=15，m=200；（2）若小军的速度是120米/分，求小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离；（3）在（2）的条件下，爸爸自第二次出发至到达图书馆前，何时与小军相距100米？（4）若小军的行驶速度是v米/分，且在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地），请直接写出v的取值范围【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）根据时间=路程速度，即可求出a值，结合休息的时间为5分钟，即可得出b值，再根据速度=路程时间，即可求出m的值；（2）根据数量关系找出线段BC、OD所在直线的函数解析式，联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标，再用3000去减交点的纵坐标，即可得出结论；（3）根据（2）结论结合二者之间相距100米，即可得出关于x的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）分别求出当OD过点B、C时，小军的速度，结合图形，利用数形结合即可得出结论【解答】解：（1）1500150=10（分钟），10+5=15（分钟），（22.515）=200（米/分）故答案为：10；15；200（2）线段BC所在直线的函数解析式为y=1500+200（x15）=200x1500；线段OD所在的直线的函数解析式为y=120x联立两函数解析式成方程组，解得：，30002250=750（米）答：小军在途中与爸爸第二次相遇时，距图书馆的距离是750米（3）根据题意得：|200x1500120x|=100，解得：x1=17.5，x2=20答：爸爸自第二次出发至到达图书馆前，17.5分钟时和20分钟时与小军相距100米（4）当线段OD过点B时，小军的速度为150015=100（米/分钟）；当线段OD过点C时，小军的速度为300022.5=（米/分钟）结合图形可知，当100v时，小军在途中与爸爸恰好相遇两次（不包括家、图书馆两地）题型四 一次函数的综合应用例4（2017江西）如图，直线y=k1x（x0）与双曲线y=（x0）相交于点P（2，4）已知点A（4，0），B（0，3），连接AB，将RtAOB沿OP方向平移，使点O移动到点P，得到APB过点A作ACy轴交双曲线于点C（1）求k1与k2的值；（2）求直线PC的表达式；（3）直接写出线段AB扫过的面积【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；FA：待定系数法求一次函数解析式；Q3：坐标与图形变化平移【分析】（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k1与k2的值；（2）根据平移的性质，求得C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线PC的表达式；（3）延长AC交x轴于D，过B作BEy轴于E，根据AOBAPB，可得线段AB扫过的面积=平行四边形POBB的面积+平行四边形AOPA的面积，据此可得线段AB扫过的面积【解答】解：（1）把点P（2，4）代入直线y=k1x，可得4=2k1，k1=2，把点P（2，4）代入双曲线y=，可得k2=24=8；（2）A（4，0），B（0，3），AO=4，BO=3，如图，延长AC交x轴于D，由平移可得，AP=AO=4，又ACy轴，P（2，4），点C的横坐标为2+4=6，当x=6时，y=，即C（6，），设直线PC的解析式为y=kx+b，把P（2，4），C（6，）代入可得，解得，直线PC的表达式为y=x+；（3）如图，延长AC交x轴于D，由平移可得，APAO，又ACy轴，P（2，4），点A的纵坐标为4，即AD=4，如图，过B作BEy轴于E，PBy轴，P（2，4），点B的横坐标为2，即BE=2，又AOBAPB，线段AB扫过的面积=平行四边形POBB的面积+平行四边形AOPA的面积=BOBE+AOAD=32+44=22【中考热点】（2017乌鲁木齐）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：（1）甲乙两地相距多远？（2）求快车和慢车的速度分别是多少？（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式；（4）何时两车相距300千米【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）由图象容易得出答案；（2）由题意得出慢车速度为=60（千米/小时）；设快车速度为x千米/小时，由图象得出方程，解方程即可；（3）求出相遇的时间和慢车行驶的路程，即可得出答案；（4）分两种情况，由题意得出方程，解方程即可【解答】解：（1）由图象得：甲乙两地相距600千米；（2）由题意得：慢车总用时10小时，慢车速度为=60（千米/小时）；想和快车速度为x千米/小时，由图象得：604+4x=600，解得：x=90，快车速度为90千米/小时，慢车速度为60千米/小时；（3）由图象得： =（小时），60=400（千米），时间为小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，两车相遇后y与x的函数关系式为；（4）设出发x小时后，两车相距300千米当两车没有相遇时，由题意得：60x+90x=600300，解得：x=2；当两车相遇后，由题意得：60x+90x=600+300，解得：x=6；即两车2小时或6小时时，两车相距300千米【达标检测】1. （2017深圳）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x0）交于A（2，4），B（a，1），与x轴，y轴分别交于点C，D（1）直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=（x0）的表达式；（2）求证：AD=BC【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题【分析】（1）先确定出反比例函数的解析式，进而求出点B的坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）由（1）知，直线AB的解析式，进而求出C，D坐标，构造直角三角形，利用勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）将点A（2，4）代入y=中，得，m=24=8，反比例函数的解析式为y=，将点B（a，1）代入y=中，得，a=8，B（8，1），将点A（2，4），B（8，1）代入y=kx+b中，得，一次函数解析式为y=x+5；（2）直线AB的解析式为y=x+5，C（10，0），D（0，5），如图，过点A作AEy轴于E，过点B作BFx轴于F，E（0，4），F（8，0），AE=2，DE=1，BF=1，CF=2，在RtADE中，根据勾股定理得，AD=，在RtBCF中，根据勾股定理得，BC=，AD=BC2. 某市为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制度若每月用水量不超过14吨（含14吨），则每吨按政府补贴优惠价m元收费；若每月用水量超过14吨，则超过部分每吨按市场价n元收费小明家3月份用水20吨，交水费49元；4月份用水18吨，交水费42元（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场价分别是多少？（2）设每月用水量为x吨，应交水费为y元，请写出y与x之间的函数关系式；（3）小明家5月份用水26吨，则他家应交水费多少元？【考点】一次函数的应用【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，根据题意列出方程组，求解此方程组即可；（2）根据用水量分别求出在两个不同的范围内y与x之间的函数关系，注意自变量的取值范围；（3）根据小英家5月份用水26吨，判断其在哪个范围内，代入相应的函数关系式求值即可【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价为m元，市场调节价为n元，解得：，答：每吨水的政府补贴优惠价2元，市场调节价为3.5元（2）当0x14时，y=2x；当x14时，y=142+（x14）3.5=3.5x21，故所求函数关系式为：y=；（3）2614，小英家5月份水费为3.52621=69元，答：小英家5月份水费69吨【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的解法，特别是在求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围3. 某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲6a20200乙2010400.05x280其中a为常数，且3a5（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由【考点】二次函数的应用，一次函数的应用【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x+10x-40（0x80）；（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）当3a3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7a5时，选择乙产品【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x+10x-40（0x80）；（2）甲产品：3a5，6-a0，y1随x的增大而增大当x200时，y1max1180200a（3a5）乙产品：y2=-0.05x+10x-40（0x80）当0x80时，y2随x的增大而增大当x80时，y2max440（万元）产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；（3）1180200440，解得3a3.7时，此时选择甲产品；1180200440，解得a=3.7时，此时选择甲乙产品；1180200440，解得3.7a5时，此时选择乙产品当3a3.7时，生产甲产品的利润高；当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；当3.7a5时，上产乙产品的利润高4. （2017绥化）一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后，按原路原速返回甲城；卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5小时，轿车比卡车每小时多行驶60千米，两车到达甲城弧均停止行驶，两车之间的路程y（千米）与轿车行驶时间t（小时）的函数图象如图所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：（1）请直接写出甲城和乙城之间的路程，并求出轿车和卡车的速度；（2）求轿车在乙城停留的时间，并直接写出点D的坐标；（3）请直接写出轿车从乙城返回甲城过程中离甲城的路程s（千米）与轿车行驶时间t（小时）之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）【考点】FH：一次函数的应用【分析】（1）根据图象可知甲城和乙城之间的路程为180千米，设卡车的速度为x千米/时，则轿车的速度为（x+60）千米/时，由B（1，0）可得x+（x+60）=180可得结果；（2）根据（1）中所得速度可得卡车和轿车全程所用的时间，利用卡车所用的总时间减去轿车来回所用时间可得结论；（3）根据s=180120（t0.50.5）可得结果【解答】解：（1）甲城和乙城之间的路程为180千米，设卡车的速度为x千米/时，则轿车的速度为（x+60）千米/时，由B（1，0）得，x+（x+60）=180解得x=60，x+60=120，轿车和卡车的速度分别为120千米/时和60千米/时；（2）卡车到达甲城需18060=3（小时）轿车从甲城到乙城需180120=1.5（小时）3+0.51.52=0.5（小时）轿车在乙城停留了0.5小时，点D的坐标为（2，120）；（3）s=180120（t0.50.5）=120t+4205. “世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，