（计算数学专业论文）bedrosian等式和时频分析中若干问题的研究.pdf

中文摘要 b e d r o s i a n 等式和时频分析中若干问题的研究 专业 计算数学 博士生 谭立辉 指导教师 黄达人教授 杨力华教授 摘要 h i l b e r t h u a n g 变换 h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m h h t 由美国工程院院j h u a n g 及其 合作者提出来的一种新的处理非平稳信号的方法 该方法的主要贡献是本征模 态函数 i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n i m f 概念的提出和经验模式分解 e m p i r i c a lm o d e d e c o m p o s i t i o n e m d 算法的引入 通过e m d 算法 他们期望将任何复杂信号分解为有 限个i m f 之和且对每个i m f 作h i l b e r t 变换就可以得到各自具有良好物理意义的瞬时频 率 这个方法已经被成功应用于海洋科学 地震勘探 机械故障诊断 生物医学等诸 多领域 并引起了国际理论界一些专家的广泛关注与研究 因此从理论上建立起这个 算法的数学基础是一件很迫切和很有意义的事情 本文对h h t 和时频分析中若干理论 问题进行了有益的研究和探索 其主要工作包括如下三个方面 1 我们研究j h i l b e r t h u a n g 变换中的一个重要等式h f g f h g 成立的条 件 1 9 6 3 年 b e d r o s i a n 对其进行了研究 并得到了一个经典的充分条件 为了纪 念他 这个等式被称为b e d r o s i a n 等式 随后也有一些学者对其进行了进一步的探讨 得到了一些有意义的结论 我们首先对 夕 l 2 r 的情况给予了研究 在频域上给出 了b e d r o s i a n 等式成立的若干充分必要条件 这些结果推广了j b r o w n 1 9 7 4 1 9 8 6 以 及x u 2 0 0 6 等人的结论 接着 考虑到周期函数在实际应运用中的重要性 我们也研 究了含周期函数的b e d r o s i a n 等式成立的条件 最后 我们利用解析信号与h a r d y 空间中 函数的边值关系 研究了b e d r o s i a n 等式在更一般情况下成立的条件 在时间域上给出 了b e d r o s i a n 等式成立的一个新的刻画 特别地 当夕对应的解析信号与有限b l a s c h k e 积 第1 页 共1 0 3 页 中文摘嚣 的边值相关时 满足b e d r o s i a n 等式的 能明确表示出来 2 e m d 算法是把 个复杂信号分解为一系列i m f 函数之和 且希望分解后的信号 具有良好的h i l b e r t 变换的性质 基于解析信号的物理属性 我们考虑i m f 的数学模型如 下 即信号x t p t c o se t 满足 t l h p c o so t p t s i n0 t 气 ih c o s e t s i n 秽 为了找到满足上述条件的信号 我们首先弓l 入了规范纯的h i l b e r t 交换 这样对 于l o o 酞 中的函数 其h i l b e r t 变换就可以得到很好的定义 然后 我们发现当e 徊 t 为 有限b l a s c h k e 积的边值时 对应的p t 妒 酞 1 p 为满足一定条件的有理多 项式 这样就构造出了一大簇函数满足上面的等式 特别地 我们能从这簇函数构造 出l 2 r 中的正交基 使得其中的每一个元素不仅具有非负的瞬时频率 而且能够分解 为两个满足b e d r o s i a n 等式的函数之积 3 在时频分析和h h t 中 我们总希望信号通过h i l b e r t 交换求得瞬时频率是非负 的 但事实上 这个结论在很多情况下不成立 即使是经过e m d 分解后得到的信号 因此 我们根据周期解析信号与h a r d y 空间的函数的边值的关系 研究了周期解斩信号 的结构特征 发现解析信号是由两部分构成的 一部分与其幅度相关 另一部分与内 函数的边值相关 在此基础上 我们进一步分析了每一部分的瞬时频率的性质 发现 造成解析信号出现负值的原因与幅度有关 并指出解析信号可以出现任意给定的负频 率结构 最后 我们给出了一类解析信号满足瞬时频率为正的条件 关键词 h i l b e r t h u a n g 变换 经验模式分解 e m d 本征模态函数 i m f h i l b e r t 变换 h a r d y 空间 瞬时频率 解析信号 第薹l 页 共1 0 3 烫 英文摘要 b e d r o s i a ni d e n t i t ya n dr e s e a r c h e so ns e v e r a l p r o b l e m si nt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i s 一一一 m a j o r c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a l n e t a nl i h u i a d v i s o r p r o f sh u a n gd a r e na n dy a n gl i h u a a b s tr a c t t h eh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r mh a sb e e np r o p o s e db yh u a n ge ta li n1 9 9 8a san e w a d a p t i v et i m e f r e q u e n c yd a t aa n a l y s i sm e t h o d t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sm e t h o d a r et h ei n t r o d u c t i o n so ft h ec o n c e p to fi n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n i m f a n dt h ee m p i r i c a l m o d ed e c o m p o s i t i o n e m d a l g o r i t h m w i t he m d a l g o r i t h ma n yc o m p l i c a t e ds i g n a lc a n b ed e c o m p o s e di n t oaf i n i t ea n do f t e ns m a l ln u m b e ro fi m f st h a ta r ee x p e c t e dt oa d m i t w e l l b e h a v e dh i l b e r tt r a n s f o r m s i nr e c e n ty e a r s h h th a sb e e np r o v e du s e f u li nab r o a d r a n g eo fa p p l i c a t i o n sc o v e r i n ge a r t h q u a k er e s e a r c h m a c h i n e r yf a u l td i a g n o s i s b i o m e d i c i n e e n g i n e e r i n ga n ds oo n b e c a u s eo fi t se f f i c i e n c yi na p p l i c a t i o n s i ti si m p o r t a n ta n d d e s i r a b l et ob u i l das o l i dm a t h e m a t i c a lb a s i sf o rt h i sm e t h o d t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e s t h eh h to ns o m em a t h e m a t i c a lp r o b l e m s s o m ef a v o r a b l ea c h i e v e m e n t sa r eo b t a i n e d w h i c hi n c l u d e 1 t h e r ei sa ni m p o r t a n ti d e n t i t yh f g f h gi nh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m w h i c h i sk n o w na sb e d r o s i a ni d e n t i t y i to r i g i n a t e sf r o mt h ew o r kb ye b e d r o s i a ni n1 9 6 3 t h e c e n t r a lw o r ka b o u tt h i si d e n t i t yi st os t u d yu n d e rw h a tc o n d i t i o n st h e i d e n t i t yh o l d s m a n ya c h i e v e m e n t sh a sb e e nm a d er e c e n ty e a r s i nt h i st h e s i s w es t u d yt h ec a s et h a t lg l 2 r a n dg i v es o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ri ti nt h ef r e q u e n c y t i m e t h e s er e s u l t sa r et h ee x t e n s i o n so ft h o s ep r o p o s e db yb r o w n 1 9 8 6 x ua n dy a n 第1 i i 页 共1 0 3 页 英文摘要 2 0 0 6 d u et ot h ei m p o r t a n c e o fp e r i o d i cs i g n a l si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s w ea l s od i s c u s s t h eb e d r o s i a ni d e n t i t yf o rp e r i o d i cf u n c t i o n sa n dp r e s e n ts o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e w i t ht h er e l a t i o nb e t w e e na n a l y t i cs i g n a l sa n dt h eb o u n d a r y v a l u ef u n c t i o n so fh a r d ys p a c e t h er e s u l t sa b o u tt h eb e d r o s i a ni d e n t i t yh f g h g a r ee x t e n d e dt ol a r g e rf u n c t i o ns p a c e s n e wc h a r a c t e r i z a t i o n sf o rt h eb e d r o s i a ni d e n t i t yi n t e r m so ft h eb o u n d a r yv a l u e so ff u n c t i o n si nt h eh a r d ys p a c ea r ed e v e l o p e d i np a r t i c u l a r w h e nt h e a n a l y t i cs i g n a lo fgi sr e l a t e dt ot h eb o u n d a r yv a l u ef u n c t i o no fa f i n i t eb l a s c h k e p r o d u c t ac o n c r e t ef o r mo ffi se x p l i c i t l yp r e s e n t e d 2 t h ea i mo fe m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o na l g o r i t h mi st od e c o m p o s ea c o m p l i c a t e s i g n a li n t oas u mo fi m f s a c c o r d i n gt ot h ep h y s i c a la t t r i b u t eo fa n a l y t i cs i g n a l s t h e m a t h e m a t i c a lm o d e lf o ri m f sa r ec o n s i d e r e da sf o l l o w s t h a ti s s i g n a l sx t 一p t c o so t s a t i s f yt h ef o l l o w i n ge q u a t i o n s 爿h 烈p端cos口 亡o t s np秽 t芒 si魅护 亡 i no r d e r 幻c o n s t r u c tal a r g eb a n ko ff u n c t i o n ss a t i s f y i n gt h ea b o v ee q u a t i o n s w e f i r s ta d o p tag e n e r a l i z e dh i l b e r tt r a n s f o r mf o rt h ev a l i d a t i o no fd i s c u s s i n gf u n c t i o n si n l o o 腿 w h e ne 阳 i st h eb o u n d a r yo faf i n i t eb l a s c h k ep r o d u c t t h ee x p r e s s i o n so f p t 扩 袋 1 p o o i sg i v e nb ya r a t i o n a lp o l y n o m i a l t h u sw ec o n s t r u c ts u c ha f a m i l yo ff u n c t i o n st h a te a c ho ft h o s ef u n c t i o n sh a sn o n n e g a t i v ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y a n di st h ep r o d u c to ft w of u n c t i o n ss a t i s f y i n gt h eb e d r o s i a ni d e n t i t y w et h e np r o v i d ea n e f f i c i e n tw a yt oc o n s t r u c to r t h o g o n a lb a s e so fl 2 瀑 d i r e c t l yf r o mt h i sf a m i l y 3 i nt i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sa n dh i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m t h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e sd e r i v e df r o ma n a l y t i cs i g n a l sa l ee x p e c t e dt ob en o n n e g a t i v e b u tt h i sa s s e r t i o n i sn o tt r u ef o rs o m ec a s e s t h e r e f o r e w ei n v e s t i g a t e dt h es t r u c t u r eo fa n a l y t i cs i g n a l sb y m e a n so fr e l a t i o nb e t w e e na n a l y t i cs i g n a l sa n df u n c t i o n si nt h eh a r d ys p a c e i ti ss h o w n 第l v 页 共1 0 3 页 英文摘要 茹二 茹 淼 二 二 二 二 茹茹茹 茹茹二 茹茹 t h a ta na n a l y t i cs i g n a li sm a d eu po ft w op a r t s o n eo fw h i c hd e p e n d so i li t sa m p l i t u d ea n d t h eo t h e ro nt h eb o u n d a r yo fa ni n n e rf u n c t i o n f u r t h e r b a s e do i lt h i sr e s u l t p r o p e r t i e s o ft h ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e so ft h e s et w op a r t sa r ea n a l y z e d a n di ti sf o u n dt h a tt h e e x i s t e n c eo fn e g a t i v ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c i e si sc a u s e db yt h ea m p l i t u d eo fas i g n a l f i n a l l y s o m ec o n d i t i o n ss u c ht h a ta na n a l y t i cs i g n a lh a sp o s i t i v ei n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y p r e s e n t e d k e y w o r d s h i l b e r t h u a n gt r a n s f o r m e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n i n t r i n s i cm o d e f u n c t i o n h i l b e r tt r a n s f o r m h a r d ys p a c e i n s t a n t a n e o u sf r e q u e n c y a n a l y t i cs i g n a l 第v 页 共1 0 3 页 原创性声明 本人郑重声明 所呈交的学位论文 是本人在导师的指导下 独立进行研究工作 所取得的成果 除文中已经注明引用的内容外 本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的作品成果 对本文的研究作出重要贡献的个人和集体 均已在文中 以明确方式标明 本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名 谚裂孛 日期 中 月砂日 第1 0 3 页 共1 0 3 页 第1 章绪论 1 1 选题背景和研究意义 世界上万事万物的运动 变化都会伴随着信号的产生 常见的信号有地震信号 电流信号 语音信号 雷达信号 机械震动信号等 这些信号通常表现为时间和空间 的函数 信号与信息处理是对信号的基本性质和特征进行研究 它是信息科学中近几 十年来发展最为迅速的学科之一 它可以用于沟通人类之间 或人与机器之间的联 系 用以探测我们周围的环境并揭示出那些不易观察到的状态和规律 用来控制和利 用能源信息 克服自然灾害等 然而 如果我们想要深入地理解和研究信号 我们必 须研究信号的不同表示 从数学的观点来看 通过在函数空间的完备正交基上展开信 号 就可以实现信号的表示 在不同的正交基下就会得到不同的表示 a l 这样的展开表 示的重要性在于 用这种表示可以更好地理解信号的内在特征 传统的信号处理有三个基本的假设 线性 高斯性和平稳性 分析和处理平稳信 号最常用也是最主要的方法是f o u r i e r 变换 f o u r i e r 变换建立了信号从时间域到频率域 的变换桥梁 而f o u r i e r 反变换则建立了信号从频率域到时间域的变换桥梁 它在科学 与技术的所有领域中发挥着重要的作用 时间和频率也成为信号分析中两个最基本的 自变量 但是 由于f o u r i e r 分析是在整体上将信号分解为不同的频率分量 而缺乏局 域性信息 即不能告诉我们某种频率分量发生在哪些时间内 所以这种方法只适应于 平稳信号的处理 但在自然现象或人工产生的环境中 几乎难以找到严格满足平稳性 要求的信号 我们所得到的信号 不论来自物理测量还是数学模型 都有可能面临下 列一个或几个问题 a 信号长度太短 b 数据是非平稳的 c 信号代表着非线性 过程 其中上面的前两个问题是相关的 如果信号的长度比平稳过程的最大周期小的 话 将表现出非平稳性 而在自然界 我们面临的大部分现象都是短暂的 所以非平 稳性是普遍存在的 而平稳性只是一种近似手段 为了分析和处理非平稳信号 人们 第1 页 共1 0 3 页 1 1 选题背景和研究意义 对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的改进 1 9 4 6 年 g a b o r 在他当时那篇提为 通信 理论 髂经典论文中强调指出 迄今为止 通信理论的基础 直是由信号分析的两种基本组成的 一种将信号描 述成时间的函数 另一种将信号摇述成频率的滋数 这两种方法都是理想化 然 丽 我们每一天的经历 特甓是我们的听觉 却一直是用时间和频率两者来描述信号 的 为了分析和处理具有这种特性的信号 k o e n i n g 等人 2 1 t f l l p o t t e r 等人 3 1 相继提出了短 时f o u r i e r 变换方法 它基本思想是 假定菲平稳信号在分析窗函数岔 的一个短的时闻 间隔内是平稳的 并移动分析窗函数 使s u g 让一z 在不同的有限时间宽度内为不同 的伪平稳信号 从而计算出各个不同时刻的功率谱 这个方法在很长的时间内成为非 平稳信号分析的一种标准的和有力的工具 在这个方法的基础上 诞生了时变谱的另 外一种分析工具 这就是信号的时频分析方法 这种方法的基本思想是设计时间和频 率的联合函数 用它同时描述信号在不同时间和频率的能量密度和强度 时频分布的 典型例子有p a g e 分布 w i g n e r v i l l e 分布 c h o i w i l l i a m s 分布等 时频分析本身的特点 及为改善其特性所作的一系列工作大大酶丰富了j 平稳信号分析与处理领域的内容 也大大增加了这一领域的挑战性 非平稳信号的表示方法除了短时f o u r i e r 变换和直接 在联合时频平面上表征该信号外 也可以将频率域的表征改成另外一个域 而用联合 鲶时闯和尺度平面来籀述信号 这就在8 0 年代出现了处理非乎稳信号的另一种方法 小波分析 它最早是由法国地球物理学家m o r l e t 在分析地球物理信号时提出来的 这 些方法以及w i g n e r v i l l e 变换 分数阶f o u r i e r 变换等方法的的出现为线性时频分析开创 了广阔的前景 并在一定程度上表示出频率随时闻变化的规律 能够提供较明确的物 理意义 但它们的基本思想还是基手f o u r i e r 分析理论 因此同样表现国f o u r i e r 分析的 缺点和局限性 短时f o u r i e r 变换鼠然简单易实现 但它的时 频窗不会自适应地随信 号而改变 由于使用固定的窗函数 其频率分辨率受窗宽约束 小波变换克服了短 时f o u r i e r 变换的不是 具有可变煞窗函数 可取得时频分辨率的折衷 较好地解决了 时间和频率分辨率的矛盾 但在小波变换中小波基一经选定 在整个分解和重构过程 中都无法更换 因此它不具有波形自适应性 w i g n e r v f l l e 分布属于二次型时频分析 方法 有较高的时频分辨率 但它是双线性变换 对于多分量信号将出现 交叉干扰 项 这表现为在时频谱中导致了模糊 c o h e n 类时频分布通过选择恰当的核函数 一定程度上解决了干扰项问题 但牺牲了时频分辨率 因丽它们对非平稳信号的处理 依然有 定的局限性 第2 页 共1 0 3 页 第1 章绪论 虽然时频分析方法可以间接达到研究时变频率的目的 但是由于它们几乎都 以f o u r i e r 变换为理论依据 且采用积分分析法 所以它们的时频局部性仍然不太理 想 另一方面 受h e i s e n b e r g i 9 1 8 不准原理的限制 这些时频分析方法不能在时间域和 频率域同时达到任意高的分辨率 故也就无法精确地描述频率随时间的变化 所以研 究时变频率的最理想方法是定义瞬时频率 然后对其进行研究 从而获得信号频率随 时间变化的精确描述 瞬时频率定义为相位的导数 它是关于时间的单值函数 所以 它并不对任意的信号都适用 只能对所谓的单分量信号 m o n o c o m p o n e n ts i g n a l 才有意 义 6 1 6 但是 单分量信号并没有一个合理公认的定义 人们并不知道如何确定一个单分 量信号 所以非平稳非线性信号处理一直没有得到很好的解决 正是在这样的背景下 美国工程院院 h u a n g 及其合作者于1 9 9 8 年提出了一种分 析非线性非平稳数据的频谱分析新方法 称为h i l b e r t h u a n g 变换 简称h h t 1 7 8 1 它主要由两个部分组成 经验模式分解 e m p i r i c a lm o d ed e c o m p o s i t i o n e m d 算法 和h i l b e r t 谱分析 通过e m d 算法 任何复杂的信号都可以被分解为数目有限的而且常 常是很少的几个本征模态函数之和 i n t r i n s i cm o d ef u n c t i o n i m f 这些i m f 希望具 有性能良好的h i l b e r t 变换特性 且能够很好地刻画信号在每一个局部的振荡结构 通 过对每个i m f 作h i l b e r t 变换 可以得到其瞬时频率 最终把信号表示为时频平面上的 一个能量一频率一时间分布 称为h i l b e r t 谱 它具有极高的时频局部性 h h t 是以信号的 局部时间尺度而不是以事先给定的基函数为基础的一种信号分析方法 因为从e m d 分 解中得到的基函数是从信号中自适应获得的 故可以得到很好的分解效果 相比之 下 f o u r i e r 分解的基是定义在整个时间轴上振幅不变的正余弦函数 短时f o u r i e r 变换 的基是预先选定的有固定宽度的时间窗意义下的不同频率的谐波分量 小波分解的基 函数是预先确定的 所以不能保证最优的分解效果 h h t 避开了以往的信号分析方法 把信号展开到给定正交基函数的惯用模式 它可以根据数据局部的特点自适应地处理 数据 因此 h h t 非常适用于非线性和非平稳过程 被广泛用于非平稳的海洋波动数 据分析 地震信号 地球物理探测和结构分析 桥梁及建筑物状况监测 血压变化 心率不整等研究领域 s u l 但作为一种新的信号分析方法 h h t 方法本身还存在一些 不足 一方面 该方法的数学理论也还没有真正建立起来 首先 与f o u r i e r 分析 小 波分析相比 h h t 方法没有完备的理论基础 比如b e d r o s i a n 等式 n u t a l l 定理成立的 条件 e m d 算法的收敛性 稳定性以及i m f 数学模型的建立等问题至今都没有得到 完全解决 此外 关于h i l b e r t 变换定义的瞬时频率问题目前在信号处理领域还存在很 第3 页 共1 0 3 页 1 2h i b e r t h u a n g 交换的国内外研究现状 多争议f 6 v a t c h e v 也指出即使函数严格满足i m f 的条件 通过h i l b e r t 变换定义的瞬时 频率也不 定具有物理意义 1 2 l 正是由于缺乏进行理论分析的可靠的数学平台 使 得h i b e r t h u a n g 变换的应用研究远未得到应有的开发前景 其应用的可行性也缺乏足 够的理论支撑 因此在理论上是一个值得深入探讨的课题 在本文中 我们对h h t 中 的下面闷题进行了较全面丽深入的研究 关于b e d r o s i a n 等式 给出了其在时域和频域 上成立的充分必要条件 并在一些特殊情况下 给出了满足该等式的函数的具体表达 式 给出了i m f 的一个的数学模型 并刻画了其成立的的条件 在这个条件的基础上我 们构造一大簇这样的函数并从这簇函数中构造出五2 低 空闻巾的一组正交基 最后刻躐 了解析信号的褶位结构 找到了其如现负频率的原因和瞬时频率为正的条件 1 2 h i b e r t h u a n g 变换的国内外研究现状 由于h h t 具有自适应性而且是对非线性非平稳数据分析的有效工具和手段 融 从1 9 9 8 年h u a n g 及其合作者提出以来 一直受到相关领域学者的广泛关注与研究 并取 得了一系列的醭究成果 尽前 关于h h t 的研究主要氢括藏用推广 算法改进与推广 和理论研究等 在应用方面 h h t 方法的提出首先是用于分析地震 海洋等典型的非线性 菲平稳信号的 从1 9 9 9 年开始 h i l b e r t h u a n g 方法已经对水波潮 地震波 l 习 生物 医学阻l 翻等进行分析 得到的缮采明显优予f o u r i e r 分析和m o r l e t t j 波 2 0 0 0 年荷兰 学者o o n i n c x 将e m d 算法用于地震信号的s 波检测 16 1 并与基于f o u r i e r 和小波的方 法比较 结果表明h h t 在时频局部性方面确实优于其它方法 s t u b b s 1 7 和美国学 者b e r n m 1 辑分别于1 9 9 9 年和2 0 0 1 年将e m d 方法用于分析结构损伤检测 搦示了h h t 方 法在应用工程领域中臣大的应用前景 目前 关于h h t 方法的应用还遍及对潮汐与 海啸信号的分离处理 s l 对医学信号的分析 1 9 m 1 对机械故障信号检测与故障的定 位 2 a 2 5 1 对信号进行去噪分析 对人类某些褥为模式如步态的识别 2 7 l 对光学字符 的特征提取与识舅1 2 s j 对纹理进行分类冽 在数字水印嘲以及图像融合 3 l l 中的应用等 等 在算法研究上 主要集中在以下几个方面 第一 关于e m d 算法滤波过程的改 进 舒对e m d 算法不能有效分离隐藏模式的缺陷 1 9 9 9 年h u a n g 等人提掇了一种基于 曲率极值点滤波的改进算法 取得了一定的效果 8 3 2 l 2 0 0 7 年杨志景等人采用斜向极值 点的方法对e m d 算法进行了改进 这种方法有效地分离了隐藏模式删 2 0 0 6 年c h e n 等 第4 页 共1 0 3 页 第1 章绪论 入采用b 样条盼滑动平均代替传统的样条主下包络的平均 得到了 低频走势 融l 的一 个近似解析表示 为e n i d 的理论分析和精确数值计算提供了可能 另外 因为e m d 算 法缺乏有效的数学基础 其收敛性至今无法证明 汪洋等人提出了一种基于t o e p l i t z 算 予的新的e m d 算法 他能得到一个相似的分解 但这种方法具有严格的数学基础 3 5 l 第二 如何有效解决e m d 謇i 法中的边秀延拣问题 以抑制端点效应的产生及传播 这 有利于改进h h t 方法的性能 许多学者在这方面作了不少研究 这些工作包括2 0 0 1 年 邓拥军等提出的神经网络方法 3 e l 2 0 0 3 年黄大吉等提出的镜像闭合法和极值点延 搦法 3 7 1 2 0 0 3 年张部由等人提出的基于自回归模型的 边筛分 边延拓 方法f 删以 及2 0 0 4 年刘慧婷等提出的多项式拟合算法f 3 9 l 还有2 0 0 3 年法国学者r i l l i n g 等提如的极值 点对称延拓法阻1 等等 这些方法都有效地抑制了e m d 算法过程中的边界效应 取得了 较好的实验效果 第三 如何将一维e m d 算法推广n 维的问题 这主要有两种不同 的思路 思路一是对水平耱垂直两个方巍分别进行一维e m d 分解 这被韩春骧等人应 用到纹理分析中i 删 思路二则是直接将一维e m d 理论推广到二维情况 通过定义二维 图像的极值点 采用不同的插值方式来进行滤波 对此 法国学者n u n e s 等人做了大 量静研究 并将其应用于海洋遥感信感图像分析和纹理分析中 4 1 4 3 1 随后 彭思龙等 人提出了方向e m d 算法 并把它应用到纹理分割中啡7 1 由予从一维向二维e m d 推 广 需要处理的数据量大大增加 因此必须设计快速计算方法 许跃生等人采用有 限元的方法得到了一种快速的二维e m d 算法阍 第四 瞬时频率定义的新方法 针 对曩前单分量信号解调方法的不足 2 0 0 6 年h u a n g 等人提出了一种 经验a m f m 解调 方法 4 9 l 该方法可以更准确地解调出任意一个i m f 的幅度调制和频率调制 进而 求出它的瞬时频率 针对这种算法产生的骑波现象 杨志景等人提出了骑波折叠经 验a m f m 解调方法 改进方法不但可以消除骑波 还可以很好地保持原信号的局部特 征 得到更有物理意义的瞬时频率嘲 在理论上 由于e m d 方法的提出是算法型 操作型的 难于对它进行收敛性和 误差估计等闻题的分析 所以 虽然它在实际应用中获得了成功 被广泛有效地 运用到很多领域 但为之建立一个严谨可靠的数学基础却有相当大的难度 人们 对e m d 算法的理论研究主要集中在以下几个方面 第一 希望对i m f 建立数学模型 并进行理论分析 2 0 0 2 年钟佑明等人借助振动信号模型提出了本征模式溺数应满足 的一个重要的数学条件 试图建立本征模态函数的数学模型 5 1 12 0 0 5 年 钱涛 谌 秋辉利用复分析和调和测度手段对i m f 进行刻划 并构造了一系列满足n u t t a l l 定理 的么模i m f 5 2 5 4 1 同时 钱涛教授明确提出了单分量的数学概念 即满足瞬时频率 第5 页 共1 0 3 页 1 3 论文的主要工作及内容安撵 大于零的解析信号 他及其合作者通过各种方式构造出一大类这样的函数 甄删 然后 钱涛 李落清 王睿 张海樟等人希望从这类函数中找到不同的基 使信号 能进行合理的自适应分解 5 删 2 0 0 6 年 s h a r p l e y 等人将i m f 与常微分方程建立了联 系 得到了弱i m f 的一个充要条件 12 l 第二 关于h i l b e r t 变换和b e d r o s i a n 定理方面 的研究 由于已有的关于b e d r o s i a n 定理的结果已远远不熊满足h h t 的需要 许跃生等人将b e d r o s i a n 定理进行了推广i s l l 随后 杨力华 张海樟 于波等人得到 t b e d r o s i a n 等式成立的一些新的充分必要条件 6 2 6 3 1 并将h i l b e r t 变换推广到了广义函 数空间删 2 0 0 8 年 杨力华 钱涛等人对z e r l p 篷 空间中的b e d r o s i a n 等 式进行了讨论瞵 嘲 第三 对e m d 算法进行理论上的解释与分析 2 0 0 4 年f l a n d r i n 等 人指出 对于具有宽带噪声的随机信号 e m d 算法本质上是一个类似于小波的滤 波器组 因而 e m d 可以作为分析自相似过程的一种新方法 6 7 1 2 0 0 8 年m e i g n e n 等人 通过二次规划阂题给蹬的e m d 算法的包络均值酌定义蚓 为e m d 昀理论分析提供了 可能 2 0 0 8 年 f l a n d r i n 等人对e m d 算法关于正弦信号的分解问题进行了细致的分 析 6 9 l 这些工作使h h t 的理论研究在不断向前迈进 1 3 论文的主要工作及内容安排 本文的主要工作包括如下三个方面 1 e m d 算法提出的一个重要理论依据是b e d r o s i a n 等式 爱p h f 9 一 r i g b e d r o s i a n 于1 9 6 3 年对其进行了研究 并得到了非常重要的一个充分条件 随 后也有一些学者对其进行了进一步的探讨 也得到了一些有意义的结论 我们首先 对支ggl 2 餮 的情凝 在频域上给出了b e d r c e s i a n 等式成立的若干充分必要条 孛 这些 结果推广了j b r o w n 1 9 7 4 1 9 8 6 以及x u 等人的结论 接着 考虑到周期函数在实际应 运用中的重要性 我们也研究了含周期函数的b e d r o s i a n 等式成立的充要条件 最后 我们利用勰析信号与h a r d y 空闻中缀数的边值关系 我们研究了b e d r o s i a n 等式成立的更 一般的情况 即当 妒 s g l q s 0 在宽平稳意义下是平稳 的 假如对所有的丢 e i x z 1 2 0 0 l e x 亡 m 一常数 2 7 c x t 1 x 丢2 g x 丢1 丁 x t 2 丁 c h t 2 j 其中 e 为数据的数学期望 g 为协方差函数 广义平稳也称为弱平稳 协方差平 稳或二阶平稳等 而称一个时间序列是严格平稳的 如果以下的联合分布 x t d x t 2 x t n 和 t l r x 2 丁 x t 绍 r 2 8 对所有的敖和丁都相等 这意味着分布相对于时闻是平移不变的 严格平稳也称狭义平 稳 显然 严格平稳过程一定是弱甲稳的 但是反之不成立 这两个定义都是严格且 完备的 此外还有一些其它平稳性的定义 如分段平稳被定义为对于任何随机变量在 一段有限的时间间隔内是平稳的 两渐进平稳是指当式 2 7 和f 2 8 中的 趋南无穷时任 意随机变量是平稳的 如果一个信号不是广义平稳的 则称它是非平稳信号 在实际 中 我们仅仅能够分析有限时间长度的信号 因此为了验证所分析的信号是否满足平 稳要求 不得不作一些近似 在融然现象或人王产生的环境中 几乎难以找到严格满 是平稳性要求的信号 另外 对随机序列 筋 如果它可表为 l 岛敬o 2 9 j o 其中系数序列 屈 满足 辟 o o 而 岛 为自噪声序列满足酰 0 磺 仃2 o z w x 叫 伽 o 2 1 4 l 0 w o h w 0 叫 o 2 1 5 i 1 伽 o y 训 一o 1 w l 6 其中62n 象o 或 2 x w o 硼 一位 y w 一o w 6 其中6 8 0 则z t 秽 z 的h i l b e r t 变 换满足以下关系 嚣 髫 考 秒 芬 髫 毒 嚣 芗 丢 因为解析信号是复的 所以它总是能够表示成极坐标形式 名 亡 一n 亡 e 讲 舶 当我们簧 求选择特定的幅度和楣位嚣季 通过上面豹b e d r o s i a n 定理可以看惠 一般的说 要求幅 度的频谱含量比e i o t 的频谱含量低 我们可以下面的简单情况说明这个问题 令 z t n 脚2 幅度频谱s o w 为 s o c w 2 去j n t e i 耐d t 于是 z 孝 的频谱就怒 w 一蛾 因为 w 一蚴 是解析的 也就是说 对于负频率 为零 丽对于诬 w o 钮 一定为零 因此 如果8 鳓的频谱包含在 一鳓 鳓 范围之 中 贝i j z t n 亡 撕 就是解析的 其实 解析过程在一定程度上 具有把低频含量放 在幅度上 把高频含量放到 t 上的趋势 第王6 页 共1 0 3 夏 第2 章时频分析中的基本概念及h h t 的基本理论 2 2 3 瞬时频率 时变频率在自然界和现实生活中是很普遍的现象 如我们熟悉的c h i r p 信号 声纳 信号等 它表示的直观合理性及其应用潜力促使人们不愿放弃其研究 但瞬时频率的 概念却一直存在着很大的争议 理解瞬时频率有两个基本的困难 7 1 其一是自从傅立叶 分析理论在工程实际中获得广泛应用以来 频谱这个词就深入人心 频率是为那些在 整个时间轴上为恒定振幅的正弦或余弦函数定义的 这使得人们在接受瞬时频率的概 念时 容易受至 j f o u r i e r 分析的根深蒂固的影响 推而广之 认为瞬时频率的概念也似 乎必须与正弦或余弦函数相关 因此我们需要至少一个周期的正弦或余弦波的完整振 荡周期才能定义局部频率值 根据这个逻辑 当波的长度短于一个完整的波长时 我 们就无法给出频率的定义 显然 这个定义对于非平稳数据是没有意义的 因为非平 稳数据的频率是随时间而改变的 其二是迄今为止 瞬时频率还没有一个公认合理的 定义 瞬时频率最早是由c a r s o n 和n y f 8 7 和g a b o r 4 分别定义的 而且这两种定义不同 后来 v i l l e 5 l 统一了这两种不同的定义 通过h i l b e r t 变换将实信号z z 转换成解析信号 的形式来定义信号的瞬时频率 这是目前比较受到认可的一种 即 z t x t i h x t a t 2 1 7 为z 亡 的解析信号 而 石1 警 2 1 8 被定义为信号z 亡 的瞬时频率 对形如z n 亡 e 胡 的解析信号 设它的谱为z p 那么它的平均频率定义为 w l z 1 2 d w 2 1 9 上式可以进一步表示为 仁z 洳岫 仁 郎h 器 卿 d r o t a