素材：2012高中数学备课参考数学教学数学问题与解答问题解答.doc

i2-46数学教学 29年第12期 Jo：ooooooo0oo0oOooooooOoOooooo0(三)Oo数学问题与解答 29年第l0期问题解答 oooooooooooooooooooooooooooooooo!o 6在AB中，C =90。，D是AB上一点，在A D中作正方形PQRS，R、S两点在上，JF)、Q两点分别在AD、CD上；在D B中作正方形EFG日，F、G两点在B上，日、两点分别在D、DJE上，若正方形PQRS的边长与正方形EFG日的边长相等，求AD uLj 一 EC BD2(7154中国有色金属工业西安勘察设计研究院雒璇供题)证：如图1，作D lA于M，DjBC于设两个正方形相等的边长为m，记BC= a， =b，D =hi，D =h2 PDE B图1以丽PS DP，相加得=， =以丽 =，租删侍署+詈 同理，在Dc中，可得 +：1在AB中，可得 +：1由、得 1+ = 1 +a 10 9设急=z，则=z，代入得z= ab所以 1= xab将h1、 2的表达式，代入得b+a 1xb+ax + ： 一 拈 a面 AD2 = S2ACD b、 a Ia一b b A BC +化简得= (a2h、=7在直角AACB中，CD是斜边AB的高，AABC的边长都是整数，BD=27，求cosB (473254河南省方城县博望二中向中军供题)图2解：如图2，OB：一i，设CSlb其中m、n是正整数，且(m，n)=1 cos =器=，D=7所m2，以 BC=27nml27故m =1或3或9或27若m =1，则COSB=二，BC=27n YcosB=，故 B=27 AC=xAB27两-BC2=2n因AC为整数，故礼一1必为完全平方数，从而Tt=1，COSB=1，这与B为锐角矛盾故 m 1若m =3，则COSB=二，BC=9n，AB= AB2-因3nAC = xBC2=3nAC为整数，故必存在正整数P，使几一9=P。，2009年第12期数学教学 12-47 (271400山东省宁阳县第一中学刘才华n=5，c。s=詈供题)证：先证引理：设r是中心为O的椭圆，P是若m=9，则B：3n，c。sB=，AB=Ibr外一点，过P作r的两条切线，其切点为M、是整数，故3这与(m，扎)=1矛盾，D尸与MN相交于Q，则MQ=QN设椭圆方程为X-+y-= l(。60)， M(xl，1)、(2，2)、P(xp，P)，贝4切线P和P的方程为 +：1，综上，c。sB=詈和 +：1 (五一 U由、得：_二 一YP：= ， 。山1Y2 2Y1 1Y2一 x2 l设MN的中点为Q1，由中点公式得： 2Rnsin +(1一 )2Rntan一2丌R = 于是 2Rsn+一)a Q(， )，nAt(Atn一 = (半， )，： 2+Af，(，、2t+一 = 2Rn2又由薯+簪=1和薯+豢=得；一t一 Rt1(入t)i= 2一)，所以 2n2(+12)2一 1+x2be(1一2) Yl+Y2a2(2一1) 2 1 -x2yt 2 XlY2-xytR(t=R(tnn0(；一一 2礼2-)2礼2a2一) ：=： 6(； 一； _)一 )nUR(n_12n22一)02(12一x2Y1) 2(xty2一 21) Ap+(1一) 27r故(=)户(二)QQl既在OP上，又在直线M上，故Q与Ql重合，从而MQ=QN连(二M、()二P、OS、D、()F、MP、)二，)二J2M RP、由引理知，直线SO平分线段MP，一：一RN 一SM 1直线T(二)平分线段PN，直线RD平分线段M于是 SSMO POlSRMO=SARSNO TPO=5ITNO，故 MR NT PS RN TP前 MR NT Ps SM RN TPS厶RMO SaTNO sSPO SaSMo Sango STPo一 780设Q、均为锐角，指数P0，求证： 111 1一 +一 + + COSpCOSp 图3 2数学教学 2009年第12期珥1+1op。op孚 3opcscscs华 (300456天津港口管理中专黄兆麟供题)证：先证链中第一个不等式，两次利用二元均值不等式，可得 11 2 COSp + (Vocs3)csop coa+cs3p pTso cos cosT ， co _一当仅当=时取等号南 +1 2，当日-又当：，y时取等号 z击 +21霉， 当且仅当7：Q时取等号 +，两边再同除以2，即得 11l p OL + p osP73+cCOS COS 1 + COSp377a+孚+当且仅当 =，y时取等号再证链中第二个不等式反复利用不等式，可得 (1+1) +(毒 +1) +4+ 5+35平27a73+44 8a+一83+8 7+7： COsp COSp 3 11 + + 7雩+a +当且仅当OL= =时，取等号综合不等式 与，即知原不等式得证 2009年第12期问题 781如图4，在四边形ABCD中，M、分另I是AD、Bc上的点，：E、j且F分别是边AB、CD的中点，F交MN于点求证：EK 七 =，AEB图4 (473254河南省方城县博望二中向中军供题) 782设P为正五边形A1A2A3A4A5外接圆劣弧AsA1上任一点，求证：PA2十pA3+P 2=pA3+PAi (65江苏省如皋市教师进修学校徐道供题) 783对于大于l的一切自然数