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火灾的疏散火灾的疏散 摘摘 要要 本文主要建立了二维平面全覆盖模型 线性规划模型 综合评价模型对火灾 的疏散问题中的问题进行了综合分析 第一问 在对单层和双层户型的轮廓进行矩形近似后 应用多边形划分来对 该矩形区域中进行全覆盖 让这些多边形刚好不重合的完成对整块矩形区域的全 覆盖 并且建立覆盖模型 计算出对于单层和双层户型需要的烟雾报警器分别为 10 个 16 个 安装位置应确定为各个正六边形的中心 第二问 对单层和双层户型的图片导入 MATLAB 进行坐标化处理 得到 的二维坐标系上 使用门的中心坐标代替该区域 在分析一具灭火器的保护范围 后 由于保护范围远大于单层住房面积 故此确定了单层和双层户型所需要的灭 火器的数量分别为 1 具 2 具 利用线性规划中的最小距离和的算法 编写 MATLAB 程序 求解得到单层户型灭火器的安置地点为靠近厨房和主卧室的墙 边 双层户型的灭火器底层一具放在与单层相同的地方 上层应放在书房 第三问 对火灾逃生路径建立了综合评价模型 家人由卧室撤离的路径按三 原则进行评价 最安全 最保险 最快速 进行评价打分 得到综合安全系数最 高的逃生路径 本文应用 MATLAB EXCEL AUTOCAD 等软件 较为成功地分析了家庭 的烟雾报警器的安装 灭火器的安装以及安全逃生路线的确定的问题 对现实火 灾预防和逃生具有较高的参考价值 关键词 二维平面全覆盖 线性规划 综合评价模型 多边形划分 1 1 问题重述问题重述 火灾是导致意外死亡的一个主要原因 烟雾警报器可以在你睡眠的时候提醒 你有火情 附件提供了某种型号的烟雾警报器 具体参数如下所示 1 建立数学模型确定烟雾警报器安装的数量和位置 以提供最大的疏散时 间 请利用附件提供的户型图 给出最优数量和位置 2 建立数学模型确定日常居家消防灭火器的安装数目和位置 请利用附件 提供的户型图 给出最优数量和位置 其中可供选择的消防灭火器参数如附件所 示 3 根据以上模型 请利用附件提供的户型图 建立一个完整家庭从单层和 双层的房子中撤离的数学模型 2 2 条件假设条件假设 1 假设报警器的作用足够强烈 可以唤醒熟睡中的人员 2 假设家庭房间的空调电脑之类的家电并不集中 3 假设入户花园 阳台 露台等都可以作为逃生出口 只是安全性不同 4 假设报警器的作用范围为圆形 5 假设家庭火灾并不发生 C D E F 类型的火灾 6 假设家庭人员并不太多 逃生时不会出现拥挤 3 3 符号说明符号说明 对模型中出现的变量进行符号约定 符号 意义 k 于一组覆盖圆 其相交区域所占一个圆 的面积的百分比 n 多边形的边数 pj m 每列六边形个数 iq m 每行六边形的个数 H 户型的宽 W 户型的长 r 烟雾报警器的监测半径 n 烟雾报警器的数量 e Q A 类火灾场所单位灭火级别 U 最大保护面积 K 修正系数 s S 保护面积 N 灭火器数量 min L 最小距离和 A 安全等级 N 穿过的较危险区域个数 S 逃生路程 W 逃生路径综合评价分 4 4 问题分析问题分析 针对问题一 结合要达到最佳的火灾安全防范状态 是需要烟雾报警器对住 房平面的全覆盖 要做到全覆盖 目前较为可靠的是多边形划分的方法 该方法 需要将该区域用多边形来无重合的分割 直到全覆盖 因为实际户型并不规则 所以可以适当做几何上的增补 补全为一个规则的矩形 这样可以简化问题 在 由多边形划分的理论进行分析 便可以得到所需要的烟雾报警器数量和位置 针对问题二 结合附件所给的灭火器的参数 可以知道 一具灭火器是足够 满足单层户型的保护需求的 重要的是确定灭火器的位置 要确定灭火器的位置 需要对户型的平面图坐标化 取各个门的中心坐标作为各房间的代表 由此 通 过简单的基于线性规划的最小距离和的问题进行编程求解 即可得到最优解 针对问题三 考虑到逃生路线的选择并不多 可以一一列举 然后对其优劣 运用综合评价模型来进行判定 打分之后进行比较 可以得到整个家庭逃生的最 佳路径 5 5 模型建立模型建立与求解与求解 5 1 问题一的模型建立与求解 5 1 1 分析问题一确定相关简化 因为烟雾上升的速度远大于其在平面上扩散的速度 所以其上升的时间与扩 散时间的时差可以忽略不计 并假设报警器的作用足够强烈 可以唤醒熟睡中的 人员 所以 出于安全考虑 必须保证报警器的覆盖范围足以覆盖整个楼层的面 积 所以可以将单层和双层的户型简化成如图 1 和图 2 及图 3 所示 图 1 图 2 主 卧 次卫 书房 餐厅 客厅 厨 房 露台 主 卧 厨 房 卧室 入户花园 次卫 书房 餐厅 客厅 图 3 则报警器的放置问题久可以变为圆对近似矩形的覆盖问题 而对于以上矩形 区域我们可以对其划分 将其划分为很多正多边形 这些正多边形应该具有刚好 不重合地覆盖完整个矩形区域 然后以正多边形内接做圆 圆的半径即为烟雾报 警器的工作半径 可有报警器的工作范围算的 5 1 2 建立覆盖模型 对于一组覆盖圆 其相交区域所占一个圆的面积为 k 容易得到 22 sin k nn 其中 n 为多边形的边数 当多边形的边数越多时 k 越小 且对于正多边形的 边数有 在将矩形划分为正多边形中 正多边形能且只能是正三角形 正四边形和和 正六边形 所以 取 n 6 六边形 即 5 7669k 对于6n 即当 1 0kk 时 所用圆的个数为m 当 pj m为奇数时有 对于每列个数 pj m 111 22 222 2 222 rrrrrrrrrrHrrrrrrrr 可以得到 322 222322 2 333 pj rHrrHr m rr 主卧 书 房 屋顶花园 主卫 故 322 2 3 pj rHr m r 且 pj m为奇数 于是 对于每行的个数 iq m 2 m 1 2 iqiq mrWr 其中 iq m为奇数 i 1 2 3 p 解出 22 1 22 iq WW m rr 且 iq m为奇数 故而 2 2 iq W m r 当 iq m为偶数时 1 1 iqiq mm 所以用奇数行可以覆盖时 即 p 为奇数时 2i 1 q12pqpjpjiq mmmmm i1 2 p j1 2 q 当 pj m为偶数时有 对于每列个数 pj m 1111 22 22 2 2222 rrrrrrrrrrHrrrrrrrrr 解出 22242222 333 pj rHrrHr m rr 故 222 3 pj rHr m r 且 pj m为偶数 当矩形的覆盖圆行数为偶数 即 P 为偶数时 此时总的个数为 2i 1 q12pqpjpjiq mmmmm i1 2 p j1 2 q 5 1 3 模型的应用及检验 对于两种户型的简化图可以知道 两种户型近似做13 7Hm 11 4Wm 所选 用的报警器的有效工作范围为 2 20m 可以知道2 52rm 带入公式可以得到 3 pj m 用 x 表示某行的圆的个数 21 2 WW x rr 用 y 表示某列的圆的个数 2 2 HH y rr 则可以确定圆的个数 利用13 7 11 4Hm Wm 可以求得 3 34xyor 所以 得到报警器应该按如下图所示安装 图 4 对于单层户型 可知 需要的烟雾报警器为 1 10n 由于双层户型的上层具有较大的屋顶花园 所以 需要单独考虑 可以得到上层 需要的烟雾报警器数量为 6 个 对双层户型 可知 需要的烟雾报警器为 2 10 6 16n 即 表 1 单层户型单层户型 双层户型双层户型 报警器数量报警器数量 个 个 10 16 报警器的位置即为图中圆的圆心处的位置 但是考虑到墙的阻挡 所以对于圆心 在户外的 应把报警器置于屋内的原覆盖面上 5 2 家居消防灭火器的安排和布置的建模与求解 根据附件二中给出的灭火器的种类发现 所给的灭火器均只能灭 A B 类火 灾 那么根据 建筑灭火器配置设计规范 可以知道 灭火器的数量和位置安排 有详细的公式和描述 据此可以推断 单层和双层的住宅总共需要多少灭火器 灭火器的安置也得到解决 5 2 1 有 规范 的相关规定 需要先计算或者找出确定灭火器数量的重要因素 由于我们研究的是家庭户型 以家庭成员为主 并没有人口密集的现象出现 且空调电脑之类的家电并不集中 参考附件二 住宅的火灾种类是以 A 类火灾 为主 根据计算单元的最小需配灭火级别公式为 S U QK 和每个灭火器设置点的最小需配灭火级别公式 e QQ N 我们得到灭火器数 量公式 K S U Q e N 通常 一个住宅为一个计算单元 不考虑住宅的外墙 隔墙 柱等建筑构件 的 占 地 面 积 由 此 可 以 算 出 计 算 单 元 面 积 的 保 护 面 积 2 133 1 s Sm 2 2 133 1 d Sm A 类火灾场所单位灭火级别 最大保护面积和修正系数 K 分别 由查表得 1 e QA 2 100 UmA K 0 5 经公式 K S U Q e N 可以得到 N1 0 665 综合实际情况 N 取正整数 1 即单层住宅只需要一套灭火器即可 对于双层户型 N2 1 331 取 N 正整数 2 即双层户型需要 2 具灭火器 发生火灾后 能够及时扑救是最佳的补救措施 灭火器的最大保护距离是指灭火 器设置点至最不利点的长度之和 因此 显然最大保护距离的远近是决定灭火效 果的重要因素 查询国家相关规定 对较低等级的 A 类火灾 手提式灭火器的 最大保护距离平均值为 25m 若以灭火器安置点为中心 以 25m 为保护圈的半 径 计算得保护圈的面积为 1962 5 2 m 严重危险的 A 类场所 手提式灭火器的 保护半径为 15m 保护面积也是 706 2 m 远远大于要保护的家庭面积 所以 单层户型只需要一具灭火器即可 5 2 2 灭火器的安放 不论什么灭火器都存在最大保护距离的问题 为了安全起见 最不利点应该在灭 火器的保护范围内 故 对于单层户型的家庭来说 只需要一具灭火器 该灭火 器的理想位置记为点 O x y 应该满足一下条件 1 住宅中 所有房门中心 A 到点 O 的距离之和最短 2 任意房门中心 OA 长应该小于最大保护距离 1525 220Sm 我们将房门视为中心的一点 使用 MATLAB 对图像进行处理 得到各个房门的 坐标 从而对应的单层住宅建立如下图所示的坐标系 图 5 各点的坐标分别为 露台 A 12310 4376 主卧 B 9405 7414 书房 C 9504 8933 卧室 D 8349 8899 厨房 E 6863 6192 餐厅 F 5443 5036 入户花园 G 4419 3814 客厅 H 4617 12334 主卫 I 9868 8338 根据 1 2 对点 O 的要求 有 9 22 min 1 x x y y ii i L 由此 建立线 性规划模型 目标函数 有 9 22 1 min x x y y ii i 约束条件 400012310 300013000 x y 编写一个 MATLAB 程序 见附录 求出 O 点的坐标 从而确定灭火器的 位置 并标示在下图中 求得 O 点的坐标为 8631 7707 最短总距离为 28257 标示在图中 图 6 换算到实际的户型图中大致坐标为 392 3 350 3 即如图所示 图 7 5 3 人员疏散逃生路线的选定的建模和求解 5 3 1 当没能够及时的扑灭火灾 那么就应该按照既定的逃生路线撤离 避免造 成人身伤害 所谓安全撤离是指火场中的人员抓住有利时机 就近 就便 利用一切可利 用工具 迅速撤离危险区域 5 3 2 在逃生的过程中应该遵循 392 3 350 3 1 远离烟火的方向疏散 尽量不要向楼上撤离 2 不要向狭窄的角落退避 3 远离危险地方 5 3 3 基于以上两种逃生原则的分析 我们建立综合评价模型 首先由第二个模型中已经给出的各个门的坐标 各坐标间的具有不同的安全 等级 分别标记为 5 4 3 2 1 这样五个等级 其中大门 即入户花园的安 全等级最高 为 5 其次为阳台 为 4 露台为 3 厨房为 1 卧室为 3 主卧为 3 卫生间为 2 书房为 2 走廊为 2 餐厅和客厅均为 3 综上 我们只需要找到综合逃生安全等级最高的逃生路线即可 列举逃生路线有 如下几种 1 主卧 B 走廊 餐厅 入户花园 2 主卧 走廊 餐厅 客厅 阳台 3 主卧 走廊 书房 阳台 4 主卧 露台 5 卧室 走廊 主卧 露台 6 卧室 走廊 书房 阳台 7 卧室 走廊 餐厅 入户花园 8 卧室 走廊 餐厅 客厅 阳台 这样 8 种逃生方案中 需要进行筛选 原则一 安全系数高 分别用 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 表示该八条逃生路线的安全评估 等级 可以得到 1 3 2 3 5 43 25A 2 3 2 3 3 4 53A 3 3 224 42 75A 4 3 3 23A 5 3 2 3 3 42 75A 6 3 224 42 75A 7 3 2 3 5 43 25A 8 3 2 3 3 4 53A 原则二 应尽量少走安全系数低的地方 界定安全系数低于 3 的为安全系数 低的地方 则有如下结果 12345678 1 1 2 0 1 2 1 1 NNNNNNNN 原则三 路程越短越好 分析路程有 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 参考图中所给的参数 可以得到 1 2 3 4 5 6 7 8 4 52 94 612 4 52 92 5413 9 4 5 1 3 3 18 9 2 0 23 349 3 246 22 94 69 5 22 948 9 Sm Sm Sm Sm Sm Sm Sm Sm 基于以上三原则 使用专家确定各自权重为 0 5 0 3 0 2 5 3 4 对数据进行归一化处理 因为线性归一化处理能较好的反映出各组方案的相互的差异 故在此选择线 性归一化处理 得到如下表格所示数据 表 2 A N S 1 1 0 5 0 16 2 0 5 0 5 0 3 0 0 0 42 4 0 5 1 1 5 0 0 5 0 38 6 0 0 0 66 7 1 1 0 36 8 0 5 1 0 42 综合评价公式为0 50 30 2WANS 综合评价分 W 分别为 1234 5678 0 682 0 4 0 084 0 75 0 326 0 132 0 872 0 634 WWWW WWWW 评价得到方案 1 4 7 8 的分数最高 所以逃生路线可以确定为以上四种 即 如图所示 图 8 经检验 以上四种逃生途径是可取的 其中方案一也是一般情况下大多数人 所倾向于的 合于情理 对于双层户型 采用与单层户型相同的分析方法 只不过在这里 只考虑下楼而不考虑上楼的情 况 8 7 4 1 于是有了如下几种方案 1 主卧 1 走廊 楼梯 露台 2 主卧 1 走廊 客厅 阳台 3 主卧 1 走廊 书房 阳台 4 主卧 2 书房 楼梯 阳台 5 主卧 2 书房 楼梯 下楼 露台 6 主卧 2 书房 屋顶花园 可以算出以上 6 种方案的 A N S 指标 得到如下表的结果 表 3 A N S 1 1 0 3 0 4 2 1 0 5 0 3 1 0 5 1 4 0 5 0 3 0 7 5 1 0 0 6 0 5 1 1 综合评分 123 0 67 W0 65 W0 85 bbb W 456 0 48 W0 5 W0 75 bbb W 由此可知 在一层的人 逃生路线为 主卧 1 走廊 书房 阳台 在上层的人 逃生路线为 主卧 2 书房 屋顶花园 5 3 5 通过以上研究表明 在火灾逃生时 应尽快地逃到宽阔 无易燃物品的地带才是最明智的选择 6 6 模型检验与评价模型检验与评价 6 1 问题一中建立的二维全覆盖模型 该模型具有很好的普遍性 在问题一中较为精确的得到了烟雾报警器的安装 数量和安放位置 考虑到烟雾报警器的检测半径和安全范围