（基础数学专业论文）两类奇异边值问题的正解.pdf

摘要 在最近3 0 年中 常微分方程奇异边值问题由于在自然科学和工程技术中的广泛应用 受 到各国学者的广泛关注 出现了大量的优秀成果 正解的存在性和多解性是奇异边值问题研 究的重要课题 到目前为止 只有少数文献研究非线性项可以变号的奇异边值问题的可解性 本文利用上下解方法 s c h a u d e r 不动点定理和逼近理论 讨论两类非线性项可变号的二阶奇 异边值问题 给出关于正解存在性的新结论 本文分为三章 第一章为绪论 阐述常微分方程奇异边值问题的研究背景 第二章为非线性项可变号的二阶奇异混合边值问题 j 一 刖72 f t 虬p u t o 1 il i m p t 札 t 0 札 1 建立正解存在性定理 主要结果如下 定理2 1 设下列条件成立 肌 p e 0 1 nc 1 0 1 且p t 0 t 0 1 h 2 f 0 1 0 o r 一兄连续 且 在u 0 和t 1 处奇异 h 3 存在l 0 满足对任意的紧集fc 0 1 可以找到e f 0 使得 f t v l t u f 0 5 f r 成立 h 4 对任意的6 0 存在函数舶和挑使得下列关系式成立 r 1 舶 c 0 1 t 0 t 0 1 舶 t d t r l j o p t 郇 口 们 2 圳疵讥 n o o o o 连续且上丽 p t 郇 口1 t 2 t d 亡 f t 札 口 l t 砂6 i i t t u 0 1 5 r 其中0 t r a i n t 1 一击 t 0 1 n n 则问题 2 2 至少有一个正解u c 0 1 nc 2 0 1 第三章为非线性项可变号的二阶奇异r o b i n 边值问题 j 9 5 7 a 屯乱 o 1 3 1 00 lu 7 1 建立正解存在性定理 其中参数a a o 0 为常数 a o 的取值范围给定 函数9 0 1 x o o o 一r 和h f o 1 0 一 0 o 连续 非线性项可以在t 1 和u 0 处奇异并 且可以变号 主要结果如下 定理3 1 设下列条件成立 h 1 存在连续函数9 i 0 1 x 0 一 0 0 3 i 1 2 使得 夕 t 在 0 1 上严格单调减少 一9 1 t r 曼g f 9 2 r t r 0 1 x 0 对所有的r 0 9 1 r 曲1 9 2 r m h 2 对所有的t 2 r l 0 存在7 m 满足 1 t 0 t 0 1 r 一9 2 t r 7 t r 在 r l f 2 上单调增加 而且边值问题 j 一7 t 7 t n 0 t 0 1 lt 7 0 扎 1 0 只有一个平凡解 h 3 存在连续函数h i o 1 0 o 一 0 o o 0 l 2 使得 t 在 0 1 上单调增加 h 1 t r h t r h 2 t r t r 0 1 x 0 o o 对所有的r 0 h l r h 2 r m h 4 l i m 一o 上i 竽 0 对t 0 1 一致成立且存在f 0 使得h 1 t f 0 对所有的 t 0 1 成立 则存在a o 0 使得当a a o 时问题 3 1 至少有一个正解札 c 0 1 n o 1 o 1 n c 2 0 1 而且 存在c c a 9 h 1 o0 l 2 使得 c 1 妒1 t p c 2 1 函l f f f 0 l 成立 其中函数 1 的定义由引理31 给出 2 注定理3 1 中的 m i h c 0 1 o 的取值范围将由引理3 7 给出 l i h t l d t 0o n 0 1 h 2 0 1 0 o o r ri s c o n t i n u o u sa n d i ss i n g u l a ra tu 0a n dt l f h 3 13 l 0s u c ht h a tf o ra n yc o m p a c ts e tfc 0 1 t h e r ee x i s t se2 0w i t h f t u lf o ra l l t 札 u l 0 旬 r f h 4 1f o ia n yd 0t h e r ea r et w of u n c t i o n s 啦a n d 如s u c ht h a t c o 1 w i t h 邸 oo n o 1 a i l d 吼 t d t 办州删心 2 州枷出 a n d i f t u q d t 砂d i i f o ra l l t u 0 1 6 c 1 3 r w h e r e0 t r a i n t 1 一击 f o rt 0 1 a n dn n t h e np r o b l e m 2 2 h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o nu c 0 1 nc 2 0 1 i nt h et h i r dc h a p t e r w es t u d yp o s i t i v es o l u t i o n so ft h es i n g u l a rs e c o n d o r d e rr o b i n b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m u l t 29 十入 u o 1 3 1 iu 7 0 u 1 0 w h e r ea a o 0i sac o n s t a n ta n da ne s t i m a t eo fa 0w i l lb ep r o v i d e d h e r eg 0 1 0 o 一 ra n dh 0 1 1 0 0 o a r ec o n t i n u o u s t h e na sar e s u l to u rn o n l i n e a r i t y m a yc h a n g es i g na n dm a yb es i n g u l a ra tt la n du 0 o u rm a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g t h e o r e m t h e o r e m3 1 s u p p o s et h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d h 1 t h e r ee x i s tc o n t i n u o u sf u n c t i o n sg i 0 1 0 0 o i 1 2 s u c ht h a t f 吼 t i ss t r i c t l yd e c r e a s i n g f o r 0 1 一g l t r 曼9 t r 9 2 t r f o r t r 0 1 0 o ig l r 1 9 2 r mf o ra l lr o h 2 f o ra l lr2 n 0t h e r ee x i s t s7 m 丁 0o n o 1 s u c ht h a t r 9 2 t r 7 t ri si n c r e a s i n gi n r 1 r 2 a n dt h ep r o b l e m j u 1 t u 0 t 0 1 ii t 7 0 乱 1 0 h a so n l yt h et r i v i a ls o l u t i o n h 3 t h e r ee x i s tc o n t i n u o u sf u n c t i o n s 0 1 0 一 0 i 1 2 s u c ht h a t f t i si n c r e a s i n gf o rt 0 1 h l t r h t r 2 t r f o r t r 0 1 0 h l r h 2 r mf o ra l lr o h 4 l i m 一o o 掣 0f o rt 0 1 a n dt h e r ee x i s t sf 0s u c ht h a th i t f 0f o ra l l t 0 1 t h e nt h e r ee x i s t sa o 0s u c ht h a tf o re v e r y a op r o b l e m 3 1 h a sa tl e a s to n ep o s i t i v e s o l u t i o nu c 0 1 n c l 0 1 n c 2 0 1 m o r e o v e r t h e r ee x i s tq c z a g h 1 0 i 1 2 s u c ht h a t c i 咖1 t u t 曼c 2 1 妒1 f o r t 0 1 w h e r e 咖1i sd e f i n e di nl e m m a 3 1 r e m a r kh e r em 九 c o 1 詹l h t ld t a n dl i m 一一 1 一t l h t i 0 若 t 乱 者戋 1 1 可以用来描述细胞里稳态的符合m i c h a e l i s m e n t e n 动力学的氧 气扩散现象 2 5 1 其中正常数a 8 k 分别表示反应速率 渗透性和m i c h a e l i s 常数 此时该边 值问题的解u 代表氧气的分压 1 对应于细胞膜边界上的氧气分压 若f t 一船一触 斤 p 0 1 1 可以用来描述人脑的热传导现象1 2 6 l 其中 表示 每单位体积的热传导速率 表示绝对温度 t 表示点到中心的距离 例1 21 9 2 7 年 l h t h o m a s l 2 7 1 和e f e r m i l 2 8 1 在研究原子电势的过程中 各自独立地得 出了常微分方程模型 一t j 1 一2 0 其中 对应于b o h r 半径b 已知的中性原子的边值条件为 0 1 b u 7 b 一u b 0 对应于离子化原子的边值条件为 0 1 s t b 0 对应于孤立中性原子的边值条件为 0 1 j i m 钍 t 0 一 例1 3 在对非n e w t o n 流体等非线性现象 例如传送带上煤浆的运输 2 9 和边界层理论 的研究中得出的常微分方程模型 在专业文献中称为负指数e m d e n f o w l e r 方程的边值 问题 iu q t 1 0 t 0 1 j o 札 0 触7 0 0 o t 2 p 2 0 la u 1 b u 1 0 n 2 b 2 0 io a b 0 o t a 0 一y 0 2 特别地 u u n u t i 兰 1 n 1 是用于描述半无界板上稳定流体的伪可塑边界层模型 2 9 1 1 2 概念和记号说明 第二章和第三章用到下列定义及定理 定义1 1 1 3 1 紧算子 设毋和易是两个b a n a c h 空间 dce 1 设算子a d 一赐 若a 将d 中任何有界集映成e 2 中的相对紧集 则称a 是映d 入易的紧算子 定义1 2 1 3 1 全连续算子 设易和岛是两个b a n a c h 空间 dce 1 设算子a d 一场 若算子a d 一易是连续的 而且又是紧的 则称a 是映d 入e 2 的全连续算子 定理1 1 1 3 1 i s c h a u d e r 不动点定理 设d 是线性赋范空间e 中的闭凸子集 a d d 全 连续 则a 在d 中必有不动点 定理1 2 3 2 1 a r z e l a a s c o l i 定理 集合mcc 陋 6 r 相对紧的充分必要条件是 集合m 中的函数一致有界且等度连续 定理1 3 1 3 3 l e b e s g u e 控制收敛定理 设e 为舻中的可测集 设a l e k 1 2 且有 1 i m z z a e z e 若存在e 上的可积函数f z 使得 1 如 z i f z a e z e 七 1 2 则 l i r a e f k z 如 五他 缸 定理1 4 1 3 q 积分的绝对连续性 设e 为彤 中的可测集 若 l e 则垤 0 劭 0 使得当e 中子集e 的测度m e 6 时 有 l m 如i f l f 圳如 0 q c 0 1 q t 0 t 0 1 光滑解存在的充分必要条件 在之后的几 年中 j v b a x l e y 等学者对方程形式更一般的边值问题 州u t f 0 总1 嘉0 叫0 u 2 1 t 正 u r 一7 在 t 乱 恒正的前提下 讨论了正解的存在性 7 一i 1 9 9 5 年 p h a b e t s 和f z a n o l i n 给 出了f t u 可变号情形下问题 2 1 正解存在的充分条件1 1 3 1 1 9 9 8 年 r a g a r w a l 和d o r e g a n 在文献 1 7 中对方程形式和边值条件都更一般的问题 恝y p 豁t t 篙0 誉1 亿z i1 i 砜 o 札 t 1 其中非线性项 在u 0 处奇异 并且可能在t 0 或t 1 处奇异 讨论了正解存在的充 分条件 在文献 17 中作者给出了一个较强的条件 f t 口 0 对所有的 t 口 0 1 0 o x r o t 0 成立 其中r o o 1 一 一o 0 为一连续函数 注2 1 称函数 为问题 2 2 的一个正解 若 满足问题 2 2 中的微分方程和边值条件 且有u t 0 t 0 1 成立 本章将建立非线性项 可变号条件下问题 2 2 的正解存在性定理 主要结果如下 定理2 1 设下列条件成立 h 1 p c o 1 ln c l 0 1 且p t 0 t 0 1 h 2 0 1 0 0 0 r r 连续 在u 0 和t 1 处奇异 5 h 3 存在l 0 满足对任意的紧集fc 0 1 可以找到旬 0 使得 f t t l t u 钉 l 0 z xr 成立 h 4 对任意的6 0 存在函数舶和如使得下列关系式成立 厂1 驰 e 0 1 q 6 t 0 t 0 1 仍 t d t 1 邢 0 1 0j o 2 删出 j 掣6 uj l f t i u i q 6 t 砒 i v l t u 钉 0 1 陋 o o xr 其中以 t r a i n t 1 一嘉 t 0 1 n n 则问题 2 2 至少有一个正解u 引0 1 nc 2 0 1 2 2 部分为相关的非奇异问题发展上下解方法 2 3 部分给出定理2 1 的证明 通过为截 断后的非奇异问题 2 2 2 构造上下解 得出问题 2 2 2 的解序列 u 再用 逼近得 到问题 2 2 的正解 2 4 部分举例说明定理2 1 的应用 2 2 上下解方法 考虑边值问题 孟1 三i 二 盂嚣笛型 t i 竺曩 其中g f 0 1 xr 2 一r 连续 2 3 定义2 1 称o t 为问题 2 3 的一个下解 若 满足 o t c o l l n c 2 0 1 m 7 a c 0 1 j 一 1 p a g t o g p q t 0 1 ip 0 o l 0 0 n 1 a 称p 为问题 2 3 的一个下解 若p 满足 p c o 1 nc 2 0 1 p p 7 a c 0 1 j 一 p 7 9 0 卢 p p 7 t 0 1 ip 0 卢7 0 0 p 1 2a 引理2 1 设下列条件成立 g 0 1 r 2 一r 连续 p c 0 1 n c l 0 1 p t 0 t 0 1 存在m 0 和函数 q c 0 1 q t d t o o 使得 i g o u 口 i m q t t 仙 口 o 1 xr 2 成立 则问题 2 3 至少有一个解u c 0 1 n c 2 0 1 且础7 a c o 1 证明 定义算子 t k 1 0 1 一k 1 0 1 t 叫m 1 高z 5 巾川r 川吨卅 s 由条件 2 4 一 2 7 可得 i t u 圳 i a i m z l p r q r 打 z 1 丽d s o o t 0 1 1 j 及 l z p r 卅川吨p r 嘶 打 肘办丁 q 丁 打 0 t 0 1 q t d t l p t 北 i g u l q 妒 i i 0 d xr 则问题 2 3 至少有一个解 c o 1 nc 2 0 1 础7 a c o 1 且有 o t u t o t 0 1 舰 m a x 圳p o 0 p 广丽d v 0 1 邢川妣 j 一 1 p 7 矿 t 池肚 t o 1 l i m t o p t u 俅 0 1 a 引细m 舞麟黧泛篡 一m 口 尬 i 尬 口 舰 一 钉 一舰 小 2 浩 l u l 1 1 易见9 0 1 xr 2 一冗连续 2 8 2 9 2 1 0 2 1 1 设 由 2 8 和 2 1 1 可得 2 卸m a x m i l 妒 口 1 1 0 1 g t u i 如g t t u t i 0 1 f 产 根据引理2 1 问题 2 1 0 至少有一个解u c 0 1 n c 2 0 i 且p u 7 a c 0 1 断言 若t 是问题 2 1 0 的解 则u 满足 q t u t p t t 0 1 2 1 2 和 l l 叫钏 m i 2 1 3 若让 t p t t 0 i 不成立 则存在t o 0 1 使得 蚝m a x j u 0 一卢0 u t o 一p o 从而需要考虑两种情形 t o 0 1 及t o 0 情形1 若t o 0 1 则 u p t 0 0 l 志p u 卅 如 p t o i i p 卢川 0 可得 丽1p 一踟7 一9 t o u t o p o u t o 一丽1 p 7 7 一g t o u o o p t o 卢 t o 一丽1 卯7 t 0 g t o p t o p 幻 幻 一q t o r p t o 一 如 一页丽1 p p 7 t o 0 矛盾 情形2t o 0 此时由 噪p t u 一肌t 一p o p 0 o 9 及定义2 1 可得p 0 p 7 0 0 设l i r a t o p t u 一卢 7 t p 0 0 0 由u 0 卢 0 q 0 0 及函数9 的连续性 存在p 0 1 使得 t s p s i p 5 u s l n s 0 p 且有 g s 卢 s p 5 i t 7 s 口 8 r 卢 s 一 s 一9 s p s p s s 一片 p 5 g 5 p 5 p s 卢7 s p p 7 s d s 0 即p t m 一卢 7 t 0 t 0 肛 矛盾 故u t t t 0 1 用类似的讨论 可以证 明a t u t t 0 l j 所以 2 1 2 成立 下证 2 1 3 成立 不失一般性 可设 p t u 7 t 舰 t 0 1 由l i m t o p t u 7 t 0 础 a c 0 1 1 存在t l 0 1 t 2 0 1 t l t 2 满足 p t 1 t 1 0 p t 2 7 t 2 舰和0 p t t 尬 t t l t 2 此时对t t l t 2 由 2 8 2 1 1 及 2 1 2 可得 肌7 t p t 9 t u t p t 一p t g t 钍 t p t u 0 p t l g t t p t t i p t q t 妒 眵 t u 7 t 1 p t q t 妒p t 乱7 t 从而 然 p t 口 t t t2 it 妒 俅 一 v 纠 积分可得 z 帆嵩 r 2 揣妪r 2 此川蝴 0 满足对每个e 7 可以找到 0 使得 t l t u u e 0 r 成立 不失一般性 设序列 单调递减且l i m o 0 断言 存在函数a c 2 0 1 p a 7 c 1 0 1 使得 f 鑫7 0 0 在 1 0 在 t 0 t 0 1 鑫 t se t e ne n 一1 n 事实上 满足上述条件的函数a 可以按下面的方法构造 y 0 1 一 0 o o 为连结点 1 一刍 1 n 的折线段对应的函数 1 1 1 1 7 z 俅 一嘲 t l 嘉 恼 t 钆 n 7 1 t 厂1 7 s d s y t t 1 0 1 则饥单调下降且7 1 c 1 0 1 设 m 2 嚣丑p 2 1 4 2 1 5 则条件 h 1 保证了p 0 设 冲 1 高 1 州r 陟d s 蚓叭1 易见 a t 7 t t 0 1 a c 2 0 1 p a 7 c 1 0 1 容易验证a 满足条件 2 1 5 设 k o m i n 南 其中m t 一南 p a t 设 在 t a t t i o 1 容易验证五也满足条件 2 1 5 而且 l k o i l m l l 一丽1 酬 0 1 1 由 2 1 4 和 2 1 5 可得 t 钉 l t u 口 0 1 0 o o 0 l c o n t 0 0el 1 3 2 2 3 成立 假设 2 2 3 当n 尼 k n 时成立 当n k 1 时 设c 0 6 k 1 由归纳 假设 t c o m i n t c o a i t c 1o m i n t c 0 f o k 1 t c o m i n m i nf 和 m i n o 叫 0 2 2 3 成立 故命题成立 命题2 对每个n n 若函数 满足 c o 1 n c 2 0 1 p u a c 0 1 l 是问题 2 2 2 的解 则 必为问题 2 2 2 l 的一个上解 即 j 一 1 7 厶 1 u n p 札 t o 1 p 0 u t 0 0 u 1 计1 证明 由 2 1 9 对每个仃 n 有 一 喊 7 t 戒 厶 l t 础 t 0 1 而且 p 0 嵋 0 l i m b o p t 畋 t 0 u 1 c n l 礼 n 故命题成立 一一1 l i m 曼y p 霖t 影 t 翟 0 i 1 譬g l c z 以 i o u 7 口 其中 口 c o 1 g t o t o 1 1g t 出 办帅 出 1 4 则问题 2 2 4 至少有一个解t c f o 1 n c 2 0 1 7 0 7 a c 0 1 证明 考虑一组与 2 2 4 相关的问题 j 一 7 0 a q 妒 1 7 0 m t o 1 a o 1 l i m t o p t t t 0 口 1 2e 1 由文献 1 7 中的定理1 2 若存在与a 无关的常数c 0 使得对任意的a 0 1 及问题 2 2 5 的解口 i i v l l l c 成立 则问题 2 2 4 有解 c 0 1 n c 2 0 1 p v 7 a c 0 1 事实上 设口是问题 2 2 5 a 0 1 的一个解 设可 t t 一e l t 0 1 则有 j 一 1 咿 7 a 和 i 1 0 t o 1 il i m t 0 p t 铲 t 0 可 1 0 由极大值原理 2 3 1 可得可 t 0 t 0 1 故 秽 t 26 1 t 0 1 勰缈螨足 z 尬静j 0 1 p t q t d r z 上丽 掣 刎 下证 i i 删川 m 3 2 2 7 不失一般性 设 p t v 7 t m 3 t 0 1 注意到l i m t 0 p t 7 t 0 删7 a c 0 1 所以存在t l 0 1 t 2 0 1 t l t 2 满足 p t 1 移 t 1 0 p t 2 7 t 2 m 3 及0 p t 7 t m 3 t t z t 2 此时对t t l t 2 有 印7 7 t 一p t a g t 妒 i p t 口 t 1 p t q t 妒 p t u 7 0 从而 踹 此 q 玑吲扎嘲 积分可得 z 胁高 r 2 高揣出 一舶 出 办帅 氓 与 2 2 6 矛盾 因此 2 2 7 成立 设 m 42 蛐m a 胁x l 妒 8 s e o 纠 从而 一 p v t p t a q t 妒 旧 t 1 m 4 p t q t t 0 1 由0 到t 0 1 积分可得 一p t 7 一j 厂0 刖7 7 r 打 舰j 厂0 p r g r 打 t 1 则 一 雨m 序f r 州打 t 1 所以 坤 g l 1 州s d s 针舰 1 i 1f 0 8 卅 g 柏d s 0 t 0 1 q n t d t f o l p t p 2 口n 啪出 i t 移 i t i v l t o 1 xp o o xr 2 2 8 成立 设 蕊 t g n 0 10 2 q n t t 0 1 n n 则有 蕊 c o 1 磊 t 0 t o 1 詹翕 t d t 詹p t 翕 t d t 而 且 由 2 2 0 和 2 2 8 可得 对每个礼 n 有 二 t u i 磊 t 讥 t v l t t 0 1 陋 o xr j 一 1 矽 五妒1 m t o 1 i1 i m t o p t u 7 t 0 u 1 e l 有一个解口 c f 0 1 l n c 2 0 1 p v 7 a c 0 1 设 可 t t 一e 1 t 0 1 则有 j 一 1 7 萌妒1 彬i 0 t o 1 l i m p t t 0 可 1 0 由极大值原理 可 t 0 t 0 1 1 从而 口 t e 1 t 0 1 又因为 j 一 舢 玩妒l i m t 口 t o 1 ip o v o l i m t o p t 0 口 1 所以钉是问题 2 2 2 1 的一个上解 而命题1 给出q 1 t e 1 0 t 1 问题 2 2 2 1 的一个下 解q 1 t s 1 0st 1 所以由定理2 2 问题 2 2 2 l 至少有一个解u 1 c o 1 n c 2 0 1 满足肚j a c 0 1 且有 0 1 t e l u 1 t t t 0 1 一 成立 下面用归纳法证明命题4 假设对给定的1 1 n 问题 2 2 2 有一个解u c 0 1 n c 2 o 1 满足础 a c 0 1 和 s t t 0 1 o t 1 t a n l t 0 1 是问题 2 2 2 1 的一个下解 注意到命题2 说明 i nj t l j i 2 2 2 l 的一个上解 又因为 o t 1 t a n l 0 面 t t t 0 1 1 2 2 9 其中在的定义由 2 1 6 式给出 注意到 前面已经证明在满足条件 2 1 5 假设 2 2 9 不成立 则有两种情形需要考虑 面 0 a 0 和面 0 a 0 情形i 面 o 舀 i 0 必定存在t i 0 1 使得 f 石 t 在 t t 0 t 1 面 t a 舀 t a i 秽 t i 舀7 t 1 一南 危 面 p 删 t 面 t p t t 一南pt p 彭 m t o 一 一 一 p 7 t p 石7 7 t t 0 t 1 2 3 0 将 2 3 0 由0 到t l 积分可得 f t lf t l p t 1 秽 t 1 矽 7 t d t p 5 t d t p t 1 a 7 t 1 j 0j 0 t 1 a 1 必定存在一个极大开区间 r 8 c 0 1 使得 rf 石 r a r 面 s a s l 西 t l 南p m 1 9 所以一丽1 p t z t 0 t i t s 由极大值原理 z t 0 t r 5 从而茁 t 舀 t t ns 矛盾 综上所述 石 t 舀 t t o 1 命题成立 由命题4 取问题 2 2 2 对应的解序列 t 有 f i 1 p u 7 n t 隅 础 t o 1 l i m h o p t 以 t 0 4 1 l t h t 4 一1 t 0 t 1 易见 t 在区间 0 1 上点收敛 t t j i 婴 4 t t 0 1 n t t t t 0 1 n n 2 3 1 设k o 6 1 其中b 0 1 取矿 矿 k 使得kce 当n 矿时成立 设 n 礼 n n n 由 2 2 1 一南咖扒t 厶 t 4 n t p t 叱 t i t 乱n t p t t a 4 t i l 0 t k n n 2 3 4 成立 其中a m i n t k 舀 t 注意到 2 1 5 保证了a 0 因此由条件 h 4 存在函数 q a c 0 1 t 0 t 0 1 q a t d t l p t p 踟 2 们出 i o l t 妒 卜1 t u 0 1 a o o r 从而 i t t p t 心0 l t 讥 i p t u t t t k n n 选取 如 0 满足 1 m 熹 1 t 出 2 3 5 o 丽 上p t q a 训 下证对所有的礼 n i p t u t ls 慨 t k 2 3 6 成立 不失一般性 假设对某个礼 n 有 p t u t gm 5 t 0 叭 注意到l i m t 0 p t t 0 和础 a c 0 1 从而存在t l 0 6 2 o 6 t l t 2 使得p t 1 t 1 0 p t 2 u t 2 磊及0 p t u t 如 t t l t 2 成立 此时对 t t l t 2 础 7 t p t t u n t p t u t p t q n t 札 i p t u t 1 p t t 讥 t t 从而 掣娶 p t g o t t 圮t 2 饥 p t u 一 一 积分可得 z坞南 r2踽妪胁 帅 0 存在m 使得u 1 0 使得 0 u n e t 1 6 1 2 2 由 2 3 1 从而 c l o 1 o c 2 0 1 定理证毕 2 4 例 0 u t 0 卢 0 应用定理2 1 可以证明问题 2 3 9 的正解存在 事实上 取定理中的p 以 1 显然 p c 0 1 n c l 0 1 且有p t 0 t 0 1 而此时 坤m 口 石1 一万1 露 1 s i n 2 在 0 1 0 o r 上连续且s 在u 0 和t 1 处奇异 取l 1 对任意的紧集 l c o 1 设l n l f l x t 丽b 有旬 1 2 一 0 使得 邢m 吵毒 1 乩 刚 f 吲枷 成立 对任意的6 0 存在 和 础 石1 爿妄 咖 嘉 3 髁 哪川胗 圳 oq6 01t0t 01 1 舶c t d t 舶 0 1 p 舶 口t t 2 舶 t 出 i t u 口 i q 6 t 讥 1 口i t u 口 0 1 陋 o o xr 从而定理2 1 中的条件都成立 因此问题 2 3 9 至少有一个正解u c 0 i nc 2 0 1 注2 2 这里的非线性项f t u 击一诱b 刍 s i n v 2 不满足2 1 部分的条件 a 因为当 一o o o 时 譬 1 一3 一s i n v 0 为常数 a o 的取值范围给定 函数g 0 1 x o o o 一冗 和h 0 1 0 o o 一 0 连续 非线性项可以在t 1 和 0 处奇异并且可以变号 定义3 1 称函数t 为问题 3 1 的一个正解 若 满足问题 3 1 中的微分方程和边值条 件 且有u t 0 t o 1 成立 设 m h g 0 1 0 1l 圳出 o o l i m 一 1 一圳 圳 0 g x r 1 9 2 r 肘 h 2 对所有的r 2 r l 0 存在7 m 满足 7 t 0 t 0 1 r 9 2 t r y f r 在 r l r 2 上单调增加 而且边值问题 i u y t u 0 t 0 1 iu t 0 u 1 0 只有一个平凡解 h 3 存在连续函数h 0 1 x 0 o o 一 0 o o i 1 2 使得 h t 在 0 1 上单调增加 h l t r h t r h 2 t r t r 0 1 x 0 o o 对所有的r 0 h i r 2 r m 日4 1 i m o 生竽盟 0 对t 0 1 一致成立且存在f 0 使得h i t f 0 对所有的 t 0 1 成立 则存在a o 0 使得当a a o 时问题 3 1 至少有一个正解u c 0 1 r 3 c 1 o 1 n c 2 0 1 而且 存在c l 岛 a g h 1 00 l 2 使得 c 1 砂l t t c a 1 10 t 0 1 成立 其中函数砂 的定义由引理3 1 给出 注3 1a o 的取值范围将由引理3 7 给出 3 2 主要定理的证明 引理3 1 特征值问题 的特征值为 相应的特征函数为 毒 弑1 k m l 护m 1 2 一 t c 0 8 e 一 f m 1 2 设g t s 为边值问题 j 一 t t 0 1 i 缸7 0 u 1 0 的g r e e n 函数 则 g c t s 一 t o s t 譬0 1 1 1 c 3 5 s 曼 5 足义算子a b m c u ij a z t 1 g z s z s d s 3 6 b z t i n t s z s d s 3 7 引理3 2 设ecm p m 若任取z e 都有l z t l p t t 0 1 成立 则a e 和b e 都是c 0 1 中的相对紧集 证明 v x e 有 l a x 驯 z 1 i s id s z 1p s d s o t 1 和 i a x 7 0 i l 爰z t t z s d s 丢 1 一s z s d s l m i l z s i d s j 0 p s d s j 0 所以a e 的相对紧性很容易由a r z e l a a s c o h 定理得出 而且比 e 由 胁 i z 1 i 邢 旧 z 1 郎 如 o o t 0 1 可得b e 中的函数一致有界 v x e 设 b z t h t v x t 2 7 其中 由 易得y e 中的函数一致有界 露 y z t 丽1 b z t 昙 t o 1 v z e 有 蝴t l l 新巾 d 5 丢z 1 而1 8 d s i 南 1c t 叫 l 击 1 s 叭圳d s 南 1 s 帅 d s 注意到 z 1 l 丁 圳出 0 1 r t 疵 0 1s p s d s 0 t o 1 且边值问题 i u o t 0 t 0 1 iu 7 0 u 1 0 只有一个平凡解 引理3 3 下列结论成立 z 对每个 m 问题 3 8 有唯一解u 且有 f a a u a 若 t 0 t 0 1 则问题 3 8 的解是非负的 证明 结论 z 显然成立 只需证明结论 西 设 是问题 3 8 的解 且有f t 0 t 0 1 则 j 一 t o t 钉 t f t t 0 1 i 0 口 1 0 若v t 0 t 0 l 不成立 则存在t o 0 1 使得m i n f o 1 1 t 移 t o 0 矛盾 若t o 0 由 的连续性 存在t l 0 1 使得钉 t 1 0 及t j t 0 t 0 t 1 从而 一 t 7 0 5 d s j 0 0 s s 一 s d s 0 t 0 t 1 推论3 1 设算子圣 m c 0 1 n c l o 1 n c 2 o 1 使得圣 为问题 3 8 的解 则 下列结论成立 若 l t 2 t t 0 1 则面 t 垂 2 t t 0 1 j t t l j 秒 如 j0 口 z j u i i 正 成 j 沦结以所 此 盾 因 矛 i i 设ecm p m 若i t i p t t 0 1 对所有的 e 成立 则垂 e 是 c 0 1 1 中的相对紧集 证明 设 圣 伽 圣 2 w t 贝0 有 j 一 t o t u0 2 t 一 t 0 t 0 1 1 o u 1 0 由引理3 3 的结论 i i u 0 t 0 1 从而结论 i 成立 下证结论 i i 成立 v f e 由 一p t s t 卢 t t 0 1 可得 圣 一p t 垂 厂 t 圣p t t 0 1 1 故圣 e 中的函数一致有界 设 c m a x i i 圣 一p i i 1 i v z l l 则v f e i 州m i l f o t s 州s 一 s 如l c x a s d s 0 1 i f s i 如 0 1 6 t i 6 t l i m 矗 t 0 t 0 1 且边值问题 嚣兰暑嵩艇 1 只有一个平凡解 同时 存在丽 砜 砚 鑫 c o 1 使得 0 0 由霞 c 0 1 和矗 1 0 可得 存 在6 0 使得霞 t e t 1 一d 1 从而0 豇 t u t 矗 t 0 焉 0 普姥1 0 涎 d 3 1 1 1w 7 有解w n c 0 1 使得 成立 若令u t l i m w n t t 0 1 l 则有 u c 0 1 t 0 t 0 1 和 j u t 妒o 0 t 0 1 1u 7 o u 1 0 容易找到函数x 1 c 0 1 1 满足 f x t 砂 t 1 t 0 1 姘 0 x i 1 0 x 1 t 0 t 0 1 设w o t 0 t 0 1 则 一瞄 t 0 曼妒 t 1 w 0 0 t 0 1 注意到 一x t 妒 t 1 妒 t 1 x 1 0 t 0 1 用上下解方法 1 可以证叽存在函数u c 0 1 使得 f u t 妒 t 1 g o 1 t t 0 1 i 0 w 1 1 0 lt 9 1 t 0 t 0 1 成立 假设存在o j n c 0 1 使得 i 一碟 t 妒 t 1 t j 妒 t 击 0 t 0 1 l 以 0 u 1 0 t 0 t 0 1 成立 注意到存在x n l c 0 1 满足 和 一x 1 t 妒 t i 1 玎 1 f t 不1 玎 x 1 p t o 1 x i 0 x 1 1 0 x 1 t 0 t o 1 w n t g t s 妒 g t s 妒 g t s 妒 x 1 t t 去 小 幽 熹 小 d s而 5 j 同样 由上下解方法 可以证明 存在函数0 3 n 1 c 0 1 使得 一 t 1 t 砂 t 石b g j n l t 0 1 以 1 0 t u n i 1 1 0 成立 而且有 t u 1 t 冬x 1 t t 0 1 如 击叭 g g g z z z 下面证明 考虑问题 易见 t 1 t 断言 帅 t 而1 t 丢 t m 3 1 2 3 1 3 o n 1 t v n t t o 1 3 1 4 事实上 若 3 1 4 式不成立 设w v n 1 t u n t t 0 1 t o 是w t 在区间f 0 1 上 取到最大值的点 由叫 1 1 1 一 1 而1 一i 1 0 w t o 0 和 t o 0 另一方面 由v n t t o v n t o 可得 w t o t j 鲁1 t o 一嵋 t o 一妒 t o 锄 1 如 妒 t o t o 0 矛盾 若t o 0 由w 连续 必存在t 1 0 1 使得w t 1 0 w t 0 t 0 t 1 此时 1 t t t 0 n 又因为w 7 0 嵋 1 0 一碥 0 0 所以 训 t 加7 f l o t w i i s d s z 嵋 s 一铭 s d s f 一1 f s s 砂 s s d s o w 0 7 s d s w 0 t 0 t 1 矛盾 从而 3 1 4 式成立 即 而1 i w n l 1 t 元1 u t t 而p s 元 u n 婶 t l o 1 j 3 5 因此 叫1 t o l n t 1 t s1 u 1 t t o 1 n n 3 1 5 设 u t l i m t s u pw n t t o 1 w h e n 则u 1 0 且由 3 1 5 可得 0 0 时 m r m 且存在函数b m b t 0 t 0 1 满足对所有的t 0 1 帮 3 1 6 一致成立 从而存在r o 0 和石 c 0 1 满足0 石 t r o 1 t t 0 1 使得 i 一矿 m t 功 t 0 1 矿 0 一石 1 0 证明 首先证明对所有的t 0 1 及移 c 0 1 满足0 t r o 1 t t 0 1 有 r 业掣竽堂 3 1 7 r o 成立 其中n t s 由 3 4 式定义 由 3 1 6 v 口 0 存在品 0 使得 m t 8 a b t s t 0 1 s s 从而对所有的口 c 0 1 满足0 口 t r o 咖1 t t o 1 有 m t 0 m t s 盯b t m t 8 a r b t 1 t t 0 1 3 6 于是 詹n t s m s 钉 d s 詹n t s m s s d s f n t s 6 s 西 s d s t o 1 从而 击詹n t s m s d s 击詹n t s m 8 品 d s j n t s 6 s l s d s 击f m s s d a 盯詹6 s 妒 s d 5 t o 1 3 1 7 式成立 因此 存在 t o 0 与t 0 1 无关 使得 击z 1 帅 s 吣 州s 0 如引理3 5 和引理3 6 所述 则存在函数列 玩 cc 0 1 满足0s 玩 t r 1 t t 0 1 t n 使得 鼍 碗 o 1 3 1 8 i 0 诹 1 0 和 一 u 玩 t 妒 t 1 l d n t 该 m t t 玩o t 0 1 成立 证明 固定n n 易见m t w n t s 满足引理3 6 的条件 从而存在碗 c 0 1 满足 0 玩 t r o e l t t 0 1 使得 3 1 8 成立且有 一 玩 t 妒 t i 1 t m t t 玩0 妒 t j t 碗 t m t t 碗0 t 0 1 引理3 7 设条件 h 1 h 4 成立 则可以找到a o 0 c 0 满足 对所有的a x o 存在 疋 c 面 c 0 1 使得c 1 t 豇 t 忍 1 t t 0 1 g z 面 h a 面 m 和 曼 三 唑豇 概 啊 艇 o 1 2 1 8 i 召 0 面 1 0 成立 证明 考虑算子 乃 c 0 1 一c 0 1 乃u j j n t s 9 1 s s 毋1 s a s s 毋1 s d s t o 1 由条件 h 4 存在f 0 使得h z t f 0 t 0 1 设c 拓 注意到 1 t 一c o s 吾t t 0 所以对每个口 c 0 1 满足u t c t 0 1 有 从而 设 f i c z s 口 t t t o f 钉 t t 3 2 sd 力0 危 2 穹 儿 2 一丌 p 由 3 5 和 3 2 0 对母个口 u l u 1 j 钉2c t l u 1 j 伺 z 1 t s 危 s 口 s 妒 s d s z 5 t s h s s 砂 s d s z 5 邮 s 州s d s 搿州咿 d s p 0 t 0 1 丽丽丽三而而91n t h i d sp 0 1 詹 s 刚 s 妒t s 一 7 另一方面 对每个t j c 0 1 u c t 0 1 又有 c f 1n i t 8 9 1 s 口 s 毋l s d s c f 1 t s 9 s c 妒1 s d s t o 1 c 上9 1 s 口 s 毋l s d s c 上 s 9 1 s c 妒1 s d s o 1 所以 销n 器t 糕h i 揣d s 兰p c 厂1 j om 砌 s 嘞 s d s 詹 s s s 西t s 一 一 一 c 厂1 j o9 s c s d s t 一 注意到i 1 c 詹夕 s c 妒 s d s 为一常数 令 a sup