用整除的方法解决问题.doc

整 学院学 术 论 文题 目: 用整除的方法解决问题学号： 学校： 专业： 班级： 姓名： 指导老师： 时间： 引言（Introduction）：数学家揭示了美的数学概念和逻辑结构，但是数学美却不象艺术美那样外显，它是美的高级形式，是理论 思维与审美意识交融的产物。一、结构美，在学生的头脑中形成完美的知识结构，这样就为学生学习后面的知识打了坚实的基础。如：将60分解质因数，这种分解法，逐层展示60内部的结构美，层次清楚，操作方便，同时又显现出简洁美。二、语言美，汉语言的叙述极其概括严密、简洁、有序，给读者以美的感受。三、方法美如：整除的定义、质数与合数、质因数、公约数、公倍数的定义，都是在充分观察例子的基础上，然后 给出定义。在分析例子的基础上，归纳得出分解质因数的方法，求最大公约数的方法，求最小公倍数的方法。 尤其精彩的是：借助韦恩图，将自然数乘以2、5、3得到一个新的集合，渗透了集合、逆推、映射思想 ，设置了观察能被2、5、3整除的环境。这样既避免了繁琐的逻辑推理，又便于学生观察、归纳、总结出能被2 、5、3整除的数的特征，是一种很美妙的方法。这既是一种方法美，又是一种形态美。在数学史上，无论是一个新的数学分支的产生，还是具体给出一个概念的定义，都经历过一个积累经验材 料的时期。从大量观察、实验得来的材料发现其规律，总结出数学定理或新概念，这是数学研究工作中最初步 的然而又是最基本的工作。“数学王子”高斯说过，他的许多发现都是靠归纳法取得的。不完全归纳法虽然不 能作为严密的论证方法，但是它能使我们迅速发现一些数量关系的规律，为我们提供研究方向。素数分布论中 许多著名定理，如素数定理、贝特朗定理、狄里克雷定理等，都是先用不完全归纳法从经验概括出来成为猜想 ，然后再经过严格数学推导，设法给予证明的。当然还有的猜想至今未得到证明，如： 6=3+3， 8=3+5， 10=5+5， 12=5+7，14=7+7， 16=3+13，18=5+13，20=7+13， 22=3+19，24=5+19，26=3+23，28=5+23， 由此归纳出可能有：凡是大于4的偶数都是二个奇素数之和，这就是著名的哥德巴赫猜想。这个猜想直到现 在还没有肯定的或否定的答案，我们认为肯定的可能性很大。这个问题现在最好的结果是：每一充分大的偶数 ，都是一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和。这是由著名数学家陈景润证明的。 这里需要指出：关于哥德巴赫猜想、费尔马大定理等世界著名难题是不可能只用初等数论方法而得到证明的。整除是指整数a除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”它与除尽既有区别又有联系除尽是指数a除以数b（b0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况整除的一些性质为： （1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除 （2）如果a能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除 （3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除反过来也成立整除有下列基本性质： 若ab，ac，则abc。 若ab，则对任意c（0除外），abc。 对任意a，1a，aa。 若ab，ba，则ab。对任意整数a，b，b0，存在唯一的整数q，r，使abqr，其中0rb，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。 若ca，cb，则称c是a，b的公因数。若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。当d0时，d是a，b公因数中最大者。若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。又称欧几里得算法。 整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。 整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。 整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。 整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。 整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。 整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。 整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。 整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。 整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。 整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除 整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的割尾法处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ 整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。 整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相减、验差的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述截尾、倍大、相加、验差的过程，直到能清楚判断为止。b 若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被29整除，则这个数能被29整除 整除规则第十八条（18）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被73整除，则这个数能被73整除 整除规则第十九条（19）：若一个整数的末四位与前面的数的差能被137整除，则这个数能被137整除 整除规则第二十条（20）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除 切记：0 不能做除数！ 例子整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的倍数，则原数能被7整除。 例：147，截去个位数字后为14，用14-7*2=0，0是7的倍数，所以147也是7的倍数。 2198，截去个位数字后为219，用219-8*2=203；继续下去，截去个位数字后为20，用20-3*2=14，14是7的倍数，所以2198也是7的倍数。 证明过程设p=a1+a2*10+a3*102+.+a(n-1)*10(n-1)+an*10n q=a2+a3*10+.+a(n-1)*10(n-2)+an*10(n-1)-2a1 2p+q=21(a2+a3*10+.+an*10(n-1) 又因为21=7*3，所以若p是7的倍数,那么可以得到q是7的倍数下面我们讨论能被2，5，3，9，4，25，8，125，11，7，13等数整除的数的特征 1能被2或5整除的数的特征是：如果这个数的个位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除也就是说： 一个数的个位数字是0、2、4、6、8时，这个数一定能被2整除 一个数的个位数字是0、5时，这个数一定能被5整除例如 要判断18762，9685，8760这三个数能否被2或5整除，根据这三个数的个位数字的特点，很快可以判断出，2|18762，2不能整除9685，2|8760；5不能整除18762，5|9685，5|8760 2能被3或9整除的数的特征是：如果这个数的各个数位上的数字和能被3或9整除，这个数就能被3或9整除例如 要判断47322能否被9整除，由于 47322=40000+7000+300+20+2 =4（99991）+7（999+1）+3（991）+2（9+1）2 =49999+7999+399+29+4+7+3+2+2 =9（41111+7111+311+21）+（4+7+3+2+2） 9一定能整除9（41111+7111+211+21），所以要判断9能否整除47322，只要看9能否整除4+7+3+2+2=18，因为9|18，所以9|47322可以看到4+7+3+2+2恰好是这个数的各个数位上的数字和类似的方法我们还可以判断出3|47322 3能被4或25整除的数的特征是：如果这个数的末两位数能被4或25整除，这个数就能被4或25整除例如 要判断63950能否被4或25整除，由于 63950=639100+50，100=425，所以100能被4或25整除，根据整除的性质，639100能被4或25整除，要判断63950能否被4或25整除，只要看50能否被4或25整除，因为4不能整除50，25|50，所以4不能整除63950，25|63950可以看出50恰好是63950的末两位数 4能被8或125整除的数的数的特征是：如果这个数的末三位数能被8或125整除，这个数就能被8或125整除例如 要判断4986576能否被8整除，由于4986576=49861000576，1000=8125，所以8|1000，根据整除的性质，8|4986000，要判断8能否整除4986576，只要看8能否整除576，因为8|576，所以8|4986576可以看出576恰好是4986576的末三位数 同理可以判断这个数不能被125整除 5能被11整除的数的特征是：如果这个数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除 奇数位是指从个位起的第1、3、5位，其余数位是偶数位例如 要判断64251能否被11整除，由于 64251=61044103+2102+510+1 =6（9999+1）+4（1000+1-1）+2（99+1）+5（10+1-1）+1 =6（11909+1）+4（1191-1）+2（119+1）+5（11-1）+1 =11（6909+491+29+5）+（6+2+1）-（45） 上式第一个中括号内的数能被11整除，要判断64251能否被11整除，只要（621）-（45）=0能被11整除，因为11|0，所以11|64251，而（62+1）-（4+5）恰好是64251的奇数位上的三个数减去偶数位上的两个数字 6能被7、11、13整除的数的特征是：如果这个数的末三位数所组成的数与末三位以前的数所组成的数的差（大减小）能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除例如 要判断1096823能否被7、11、13整除，由于71113=1001，所以7|1001，11|1001，13|1001 1096823=10961000+823 =1096（1001-1）+823 =10961001-（1096-823） 因为10961001能被7、11、13整除，要判断1096823能否被7、11、13整除，只要判断1096-823=273能否被7、11、13整除，由于7|273，13|273，11不能整除273，所以7|1096823，13|1096823，11不能整除1096823，而1096-823恰好是1096823的末三位以前的数所组成的四位数减去1096823的末三位数所组成的数 下面举例说明整除的性质及数的整除特征的应用例1 在内填上适当的数字，使 （1）34能同时被2、3、4、5、9整除； （2）736能被24整除； （3）1996能同时被8、9、25整除分析：（1）题目要求34能同时被2、3、4、5、9整除，因为能被4整除的数一定能被2整除，能被9整除的数一定能被3整除，所以34只要能被4、9、5整除，就一定能被2、3、4、5、9整除先考虑能被5整除的条件个位是0或5，再考虑能被4整除的条件，由于4不能整除345，所以个位必须是0，最后考虑能被9整除的条件，340的各个数位上的数字和是9的倍数，3+4+0=7+，这时十位数字只能是2，问题得以解决 （2）题目要求736能被24整除，24=38，而3与8互质，根据整除的性质，考虑被24整除，只要分别考虑被3、8整除就行了先考虑被8整除的条件，736的末三位数所组成的数36能被8整除，所以个位数字只能是0或8，当个位数字为0时，由于要求7360能被3整除，所以7+3+6+0=16+能被3整除，这样千位数字只能是2或5或8；当个位数字为8时，由于要求7368能被3整除，所以7+3+6+8=24+能被3整除，这样千位数字只能是0或3或6或9 （3）题目要求1996能同时被8、9、25整除，首先考虑能被25整除的条件，1996的末两位数能被25整除，末两位数只能是00，25，50，75其次考虑能被8整除的条件，1996的末三位数字组成的数能被8整除，但600，625，650，675这四个数中，只有600这个数能被8整除最后199600这个数能被9整除，其各个数位上的数字和+1+9+9+9+6+0=25+能被9整除，所以第七位数字是2解：（1）因为34能同时被2、3、4、5、9整除，因此只要34能同时被4、5、9整除由于34能被5整除，所以个位数字只能是0或5，又因为4不能整除345，所以个位必须是0，又340能被9整除，3+4+0=7+能被9整除，所以十位数字只能是2 3420能同时被2、3、4、5、9整除 （2）因为24=38，3与8互质，736被8整除的条件是，736的末三位数所组成的数36能被8整除，所以个位数字只能是0或8；当个位数字是0时，7360能被3整除，7+3+6+0=16+能被3整除，所以千位数字只能是2或5或8；当个位数字是8时，7368能被3整除，7+3+6+8=24+能被3整除，所以千位数字只能是0或3或6或9 所以所求的数为72360，75360，78360，70368，73368，76368，79368 （3）因为1996能被25整除，1996的末两位数能被25整除，这样末两位数只能是00，25，50，75；又因为1996能被8整除，但1996的末三位数600，625，650，675这四个数中，只有600能被8整除；而199600又能被9整除，+1+9+9+6+0+0=25+能被9整除，所在第七位数字只能是2 所以2199600能同时被8、9、25整除例2 把915连续写多少次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小分析：要求这个数能被9整除，而9+1+5=15显然不能被9整除，但315能被9整除，因此只要把915连续写3次，所组成的数就能被9整除，并且这个数最小解：因为9+1+5=15，15不能被9整除，而315能被9整除，所以只要把915连续写3次，即915915915必能被9整除，且这个数最小例3 希希买了九支铅笔，两支圆珠笔，三个练习本和五块橡皮她看到圆珠笔每支3角9分，橡皮每块6分，其余她没注意售货员要她付3元8角，希希马上说：“阿姨你算错了”请问售货员的帐算错了没有？为什么？分析：根据圆珠笔与橡皮的单价，可以算出圆珠笔、橡皮共需392+65=108（分），而3元8角即380分减去108分等于272分，这272分是买九支铅笔、三个练习本的价格，这9与3正好是3的倍数，也就是说九支铅笔与三个练习本的总价钱应是3的倍数（无论它们各自的单价是多少），而272不是3的倍数，显然是售货员把账算错了解：两支圆珠笔和五块橡皮的总钱数 392+65=108（分） 3元8角即380分，380-108=27