（数学专业论文）高中数学向量教学研究.pdf

摘要 新一轮数学课程改革从理念 内容到实施 都发生了较大的变化 其中 尤 其值得注意的是 直到1 9 世纪末2 0 世纪初才发展起来的 向量教学 以其在现 代数学 物理学 工程学 空间物质结构中的广泛应用 而备受人们的关注 向量知识在许多国家的中学数学教材中 早就成了一个基本的教学内容 但 是在我国 各方面的研究还都处于一个起始阶段 向量是近代数学最基本的概念 之一 它具有代数形式和几何形式的 双重身份 是沟通几何 代数 三角等 内容的桥梁 向量引入中学数学是必要的也是可行的 但是教师如何开展向量教学工作 这是笔者在本文中着重探讨的问题 在研究过程中 笔者采用文献法 对向量相 关文献做出综述 了解关于向量教学最前沿的科研成果 利用调查法掌握了向量 教学中存在的问题 向量教学并不是教师想象的那么容易 学生对向量工具解题 的意识不强 学习方法有待改进 针对这些问题 笔者充分运用现代教育理念进 行教学实践 对如何开展向量教学提出了自己的建议 强化向量概念教学 夯实 基础 挖掘向量几何背景 加强运算教学 注重向量应用教学 充分发挥向量的 工具作用 在教学方法上 要加强向量与现实的联系 并重视渗透数学思想方法 培养和发展学生的思维能力 倡导向量的探究性学习 在探究性学习中培养学生 的创造能力 关键词 向量向量教学研究 a b s t r a c t t h en e w r o u n dm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u mr e f o r m f r o mt h ei d e a s c o n t e n t sa n d i m p l e m e n t a t i o n s h a s b e e n c h a n g e dg r e a t y a m o n gt h e m t h e v e c t o r m a t h e m a t i c s w h i c hd e v e l o p e da n da p p f i e da tt h et u r no ft h e1 9 山c e n t u r yt ot h e2 0 t h w i t hi t sw i d ea p p f i c a f i o ni nm o d e mm a t h e m a t i c s p h y s i c s e n g i n e e r i n ga n ds p a t i a l m a t t e rs t r u c t u r e h a sb e e nn o t i c e dg r e a t l y i nm a n yc o u n t r i e s v e c t o ra sab a s i cc o u r s ec o n t e n t h a sa l r e a d yb e e ni n c l u d e di n t h em a t h e m a t i c sc o u r s ef o rm i d d l es c h o o ls t u d e n t s h o w e v e r i no u rc o u n t r ya si tj u s t h a sb e e na p p l i e di nt h em i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc u r r i c u l u m t h es t u d yo fv e c t o ri s s t i l li ni t ss t a r ts t a g e t h ev e c t o ri so n eo ft h em o s tb a s i cc o n c e p t si nm o d e m m a t h e m a t i c s i th a sa d u a ls t a t u s a l g e b r af o r m a n d g e o m e t r yf o r m i ti sa b r i d g et ol i n ku pt h ec o n t e n t so fg e o m e t r y a l g e b r aa n dt r i g o n o m e t r y i ti sn e c e s s a r yt ob r i n gv e c t o ri n t om i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sc o u r s e h o w e v e r h o wat e a c h e ra d v a n c e sm sv e c t o rt e a c h i n gu n d e rah e we d u c a t i o ni d e ai sw h a t1w a n t t og of u l t h e ri nt h i sp a p e ra t t e n t i v e l y d u r i n gt h er e s e a r c h t h ew r i t eu s e sd o c u m e n t a l m e t h o d a n dd e s c r i b e st h er e l a t i v ed a t a a n da l s ou s e si n v e s t i g a t i o nm e t h o dt os u r v e y t h eq u e s t i o n sa b o u tt h ev e c t o ri nt h em i d d l es c h o o lt e a c h i n g w h i c hi sn o ta se a s ya s t h et e a c h e r si m a g i n e s t u d e n t sd o n th a v et h eh a b i to fd e a l i n gw i t ht h eq u e s t i o nw i t h v e c t o ra n d t h e yh a v et oi m p r o v et h e i rs t u d ym e t h o d t os o l v et h e s ep r o b l e m s if u l l y u s em o d e me d u c a t i o n a lc o n c e p t si nt e a c h i n gp r a c t i c e ig i v em a n ys u g g e s t i o n so n h o w1 0a d v a n c ev e c t o rt e a c h i n gi nt h i sp a p e nw es h o u l ds t r e n g t h e nv e c t o rc o n c e p t s t h eb a s i ck n o w l e d g ea n do p e r a t i o ni nt e a c h i n g d or e s e a r c ho nt h ev e c t o ro ft h e g e o m e t r yb a c k g r o u n d s p a ya t t e n t i o nt ot h ea p p l y i n ga n db r i n gt h ei n i t i a t i v eo fv e c t o r s k i l l s w i t ht h i st e a c h i n gm e t h o d w es h o u l ds t r e n g t h e nt h er e l a t i o n sb e t w e e nv e c t o r a n di t sa p p l i c a t i o n a t t a c ht h ei m p o r t a n c et oi n f i l t r a t em a t h e m a t i c si d e a sa n dm e t h o d s i n t oi t i m p r o v es t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t y d e c l a r et h er e s e a r c hs t u d yo fv e c t o rt o d e v e l o pt h es t u d e n t s c r e a t i v i t y k e y w o r d v e c t o r v e c t o rt e a c h i n gr e s e a r c h 独创性申明 本人申明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方 外 论文中不包括其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包括为获 得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料 与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意 签名缸整 日期如 t 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以 公布论文的全部或部分内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保 存论文 保密的论文在解密后应遵守此规定 签名 鑫鎏 导师签名 趟整日期 皇堡i 出 第一部分问题的提出 作为具有几何形式和代数形式 双重身份 的向量 1 9 9 8 年在江西 山西两 省和天津市首次作为实验教材的重要内容进入中学数学 甘肃省也于2 0 0 1 年首次 使用人民教育出版社发行的新版实验教材 向量是其中的重要内容 在 普通中 学数学课程标准 实验 中 也明确把平面向量作为必修课程数学4 的内容 空 间向量作为选修2 1 的内容 至此 向量以其在现代数学 物理学 工程学 物 质结构中的广泛应用而备受人们关注 1 1 选题的背景 几何课程内容的改革历来是国内外数学改革的一个极为重要的问题 在文 2 0 中 将声先生已说明了利用向量的长度 向量的内积 可以把有关长度 垂直 交角等定理从平面几何推广到空间以至于n 维空间 吕世虎先生也在文 8 中提到 高等代数及近世代数中最典型的思想方法是研究某些运算的抽象集合的 代数结构 其中最简单并且具有代表性的一种 代数结构 是数域f 上的n 维向 量空间 研究它的结构和性质的恩想几乎全部自然地来自人们熟悉的三维空间 r 3 一些立体几何中严密的论证过程和计算方法采用向量处理是国内外数学改 革的一些做法 吴文俊先生在1 9 9 5 年2 月的 数学教育的现代化问题 中 明确 指出 数学教育的现代化问题就是机械化问题 还说 对欧几里得几何该怎么 看 我说明 下我的看法 我有一点倾向于恩格斯的数学关系 数学研究的是数 量关系与空间形式 简单的说就是数与形 对于几何 对于研究空间形式 你要腾飞 不通过数量关系 我想不出有什么好办法 吴文俊在此明确指出要 腾 飞 必须采取 数量化 的方法 严士健 北京师范大学数学系教授 说 高中 可以用向量的方法处理立体几何 综观各国几何课程的开设 美国 没有综合性的几何学 但有向量矩阵表示的变换几何 英国 没有综合法的立体几何 用向量方法处理线面关系 法国 少量的综合平面几何 用向量的方法处理立体几何 重视图形变换及 其矩阵表示 德国 内容非常艰深 超过我国大学的 高等数学 但只有不多向量几何 重视变换几何 日本 高中有平面几何选修 高三有少量的向量几何 俄国 所有国家中综合几何要求晟高 6 个国家中唯 n 有 三垂线定理 同时要求向量几何 变换几何 这次数学课程改革的基本理念之一是体现数学的基础性和发展性 面向全体 学生 人入学有用的数学 人人都能学好数学 不同的人学不同的数学 高中课 程还体现了多样性和选择性 课程内容继承了我国数学教育的优良传统 重视学 生对必要的基础知识和基本技能的熟练掌握 并力图改变目前数学课程及实施过 程中的某些繁 难 偏 旧状况 重视数学与其他领域的联系 重视对数学的理 解 重视借助现代数学中的基本思想方法改造传统教学内容 向量由于其代数和 几何的双重性 与物理学发展的密切联系 对传统几何改造的强有力工具性特点 以及现代数学与初等数学的衔接上所具有的特殊地位 使向量进入中学数学是非 常必要的 另外 从笔者的教学来说 笔者对其他章节内容教过多遍 内容较熟 但向 量这部分内容只教过一遍 在教学中 我深深体会到 这一部分内容看起来不难 但一旦操作 具体实施起来 却倍感棘手 有些地方总觉得把握不好 教过之后 有很多遗憾 由于每一位高中数学教师的知识结构 教学经历 擅长的教学模块都不尽相 同 致使每位教师对向量的理解 认识都不尽相同 尤其是对向量引入中学教材 后 它在中学数学中的地位和作用不甚了解 再者 由于数学教师自身知识经验 与知识储备有限 表现在进行向量的教学时 确立教学目标 确定教学内容选择 教学方法都有所不同 另外 因为向量内容本身又在深度和难度的把握上有较大 的弹性 因而在高中数学教学实践中如何正确 有效的处理向量这部分教学内容 成为 个不可回避的课题 高二开设的立体几何中 用空间向量解决处理线面关系 从2 0 0 5 年江苏省高 考考生答卷为例 三道立体几何题 选择 填空 解答题各一道 共2 4 分 但根 据统计 立体几何大题的平均得分为5 7 2 分 得分率仅为4 1 说明学生在应用 向量方法解决立体几何问题的学习中还存在一些问题 今年上半年 第二轮教向 量 为了提高自身教学水平 准确把握向量教学 有必要对向量进行进一步研究 基于以上情况 笔者认为 对新 标准 下引入向量的背景 意义及其作用 向量在高中数学教学实践中难度的把握 内容安排 教学方法的选择进行全面细 致地发现和研究是非常必要的 为此 笔者确定本文研究的课题是 1 探求在向量教学方面存在什么问题 2 2 怎样结合实际进行向量教学 1 2 研究的目的和意义 一 目的 本文旨在研究新 标准 下向量进入中学数学课程后 它在中学数学教材中 所起的作用和地位 探求向量对促进学生全面发展的作用 为开展行之有效的向 量教学 结合自己的教学实践做一些探索 进而为向量教学中如何把握好深度和 难度 怎样教等提供参考 使这一部分教学更加生动多彩 二 意义 进行向量教学研究需要丰富的教育教学理论作指导 为此 本人尽可能多阅 读教育家的论著 强化自己的理论修养 以求站在一个新的高度 对向量教学的 目的 内容 重难点等问题能够基于我校的实际进行安排 对提高学生的学习兴 趣 减少学生对立体几何的畏惧心理有 定帮助 由于向量进入中学教材 给中学数学知识体系注入了新鲜血液 成为新教材 改革的一丈亮点 但从向量的教学研究来看 多的只是利用向量的工具解题研究 所以本人的研究对中学数学教师准确把握新 标准 的课程理念 正确把握其深 度 难度 吃透教材的精神实质有一定的帮助 对其他部分的教学有一定的启发 其他教育工作者可以类似地进行模仿或进行更深入的研究 从而将我国的普高教 育进一步发展提高 真正将我国数学教育的改革落到实处 真正提高我国高中学 生的数学素质和数学品质 1 3 研究的思路和方法 一 研究的思路 为了使中学数学教师更清楚地认识向量 笔者首先对我国现行中学数学课程 中 向量 内容的设置进行了分析 熟悉向量教学的目标 然后对向量相关文献 作一简述 了解向量进入中学数学课程以后 向量以及向量教学的实际情况 接 着利用问卷调查发对中学生进行问卷调查 分析了他们在向量学习中存在的问题 和空间想象能力方面存在的问题 通过对全日制普通高级中学 实验修订本l j 必 修 数学第二册 下a 下b 中第九章的比较 以下简称为9 a 9 b 同时 结合自己的教学实际设置了向量教学中培养空间想象能力的策略 对向量教学进 行了教学设计 二 研究的方法 3 在本论文的研究过程中 笔者采用了比较研究法 文献分析法 调查法 比较研究法 比较就是根据一定的标准 把彼此相关的事物联系起来进行考 察 确定其异同找出其内在联系和共同规律 把握研究对象所特有的质的规定性 我在研究教材时主要采用这种方法 通过比较教材的变化 寻求解决问题的策略 和方法 通过对9 a 9 b 的比较研究 为教学提供可行的教学策略 2 文献法 在写作过程中 我一直保持不定期地查阅相关文献 积累了一些有关向量的 论述资料 从中了解关于向量的教学研究和立体几何教学的相关文章 搜集了许 多典型的教学例题 同时结合自己的教学实际 设计了关于向量教学的教学策略 3 调查法 为了掌握学生对向量的学习情况以及空间想象能力的状况 我主要采用了调 查法 调查法主要分为问卷调查法和访谈调查法 首先制定了较为科学的调查问 卷 调查所涉及的内容学生的回答真实可靠 可信度比较高 在研究过程中 我 还采用了访谈调查法 与同一教研组的老师共同探讨了怎样进行行之有效的教学 对他们的教学意见进行了借鉴 并用访谈法的形式了解个别学生对向量的学习情 况 第二部分文献综述 2 1 向量教学的相关研究 为了使自己的教学活动适应新教材课程改革的需要 我一边教学一边不断的 学习 查阅资料 对其进行归纳总结 有关向量教学的研究资料大致可以分为以 下几类 一 对向量进入中学的可行性和必要性 做了一些必要的研究和探讨 具有代表性的论文有吴洪生 徐 冰 黄宁生三人共同撰写的 试论 向量 在中学数学教学中的必要性和可行性 一文 具体指出了向量在中学数学教学中 的必要性和可行性 1 增加向量是为了适应现代化科技发展的需要 2 实践证明中学生学习向量是可行的 3 向量有利于新教材的构建 4 向量能促进学生认知结构的优化组合 吴洪生徐一冰黄宁生 试论向量在中学数学教学中的必要性和可行性 j 数学通报 1 9 9 6 6 4 另外 还有很多类似文章 提及向量进入中学数学教材的必要性和可行性 提法大致相同 如在廖辉和梁文华合著的 高中数学引入向量的作用 一文中提 到 1 引进向量 革新了高中部分传统内容的处理方法 能够降低教学难度 为新增教学内容腾出了时间 2 引进向量 可以更新学生对空间形式的思维方式 为学生建立一种符合 现代教学发展要求的思维模式 3 引进向量 进一步强化了高中数学对应用科学的基础性作用 向量是解决实际问题的工具 引入向量 能更好的为研究高中物理问题服务 向量理论是学习很多应用科学必要的基础 在各类杂志上 发表的这一类文章很多 为我们中学数学教师正确理解在新 一轮教材改革中 向量作为改革的标志性内容进入中学数学教材有很大帮助 一 对向量的工具作用与应用价值的研究 在众多的文献中 对于向量的工具作用与应用价值的论述也是比较多的 主 要是向量在数学各分支中的实际应用 包括在平面几何 立体几何 解析几何 代数 三角和物理中的应用 许多论文都是以举例的形式说明了向量的具体应用 二 关于怎样开展向量教学的论述 向量知识在许多国家的中学数学教材中 早就是一个基本的教学内容 在我 国全面实施新课程后 向量虽然也已经进入中学 但仍然处于起步阶段 在教学 过程中 为了吸取别人的长处 指导自己的教学工作 我查找了一些有关向量教 学的文章 着一方面的文章不是很多 多的是向量工具的应用方面的文章 我查 到的文章很有限 由衢洲职业学院数理信息系的盛志荣发表在 丽水师范专科学校学报 第2 5 卷第2 期的 篇文章 对中学向量教学的几点建议 中 对于在中学数学中如何 进行向量教学提出了很好的建议 其中有很多论述值得我借鉴 由曹金明老师写 的 高中数学课程中向量教学研究 刘兆辉老师的 中学数学课程中的向量教学 研究 都给了我一些启发 他们结合自己的教学实际谈了一些自己的做法 另外 由徐元根老师写的论文 关于中学向量教学的若干思考 中学向量教学内容和 体系初探 中 也谈及了一些向量内容和教学的想法 但具体怎样开展教学谈及 廖辉粱文华高中数学引入向量的作用 町 川i 贝教育学报 1 9 9 8 4 5 甚少 由西昌市第四中学的巫明芬老师撰写的论文 高中新教材平面向量教学体 会 给我很大启发 文章具体说明了对一些基本概念的教学和新旧教材的区别 另外由江苏省苏州市陆慕高级中学的汪晓华和朱青锋合写的 关于平面向量教学 的几点构想与尝试 也给我一些启示 由人民教育出版社的蔡上鹤撰写的论文 高 中数学 空间向量 部分教学问答 对我的写作帮助很大 文章阐述了空间向量 在高中数学中的地位和作用 具体安排以及高考对于这部分的要求等五个方面的 内容 但未涉及到怎样教学 李得明的 中学数学中的向量教学研究 文章主要 阐述了向量进入中学的必要性和可行性 向量的发展前景 并且通过一节课 开 放式 的教学案例 总结和反思课堂教学中出现的问题 总而言之 在各类期刊杂志上 关于向量工具作用的论述的文章很多 具体 教学的文章较少 笔者想结合自己的教学实际 谈一谈自己的一些亲身感受 2 2 高中数学课程中向量内容分析 2 2 1 向量在中学数学教学中的地位和作用 平面向量这部分内容本身很重要 它作为工具性知识而广泛应用于三角 解 析几何 立体几何的教学中 如在三角中利用向量证明正弦定理 余弦定理既简 便又容易接受 平面向量是数形结合的桥梁 它可以将形的内容转化为数的运算 通过本章的学习 可以使学生体会到数形结合的主要思想 建立有向线段 向量 坐标表示之间的联系 使平行 垂直 投影 两点间距离 线段的定比分点 图 形的平移等问题代数化 同时 平面向量的观点 方法在物理和其他学科中也有广泛的应用 如在位 移 三角形法则 力的合成与分解 平行四边形法则 平面向量基本定理 作 功 向量的点积 等的应用 用空间向量处理某些立体几何问题 可以为学生提供新的视角 在空间特别 是空间直角坐标系中引入空间向量 可以为解决三维图形的形状 大小及位置关 系的几何问题增加一种理想的代数工具 从而提高学生的空间想象能力和学习效 率 向量法在证明角度相等 线段平行 直线 线段 垂直 求直线的夹角 求 三角形的面积等方面都有广泛的应用 由于几何发展的出路是代数化 引入向量研究几何是几何代数化的重要手段 在立体几何教学中要特别注意向量法的应用 一方面有助于学生巩固所学的向量 知识 另 方面强化了学生的思维结构 降低了立体几何学习的难度 向量法在 6 解决立体几何中的距离 夹角 平行 垂直等问题上的应用很方便 在解析几何中 用向量法推导点到直线的距离公式 求直线的点法式方程 点向式方程 参数方程都用到了向量知识 并且能化难为易 在代数中 包括向量与三角函数的整合 与数列整合 与不等式整合 与复 数整合 在物理中 向量的最初起源于物理中提到的一些物理量 力 位移和速度等 它为学生理解向量概念提供了丰富 具体的模型 反过来 运用向量的知识可以 解决物理学中的诸多问题 如教材上安排了一节研究性课题 向量在物理中的应 用 教学时让学生在亲自动手实验过程中感受向量在物理中的应用 2 2 2 向量教材分析 一 向量教学内容及知识结构 1 平面向量 内容分析 高中数学教材中讲述 平面向量 部分约占1 2 课时 具体内容是这样安排 的 1 平面向量 的第一大节是 向量及其运算 包括向量的概念及其表示 向量的加法 减法 数乘运算 向量的坐标表示 向量的数量积等 这一章一开始 从帆船航行的距离和方向两个要素入手 从位移 力等物理 量出发 抽象出既有大小又有方向的量 向量 并说明向量与数量的区别 然 后介绍了向量的几何表示 有向线段 向量的长度 模 零向量 单位向量 平 行向量 相等向量 共线向量等基本概念 2 第二大节有向量加法运算及其几何意义 向量的减法运算及其几何意义 向量数乘运算及其几何意义等内容 教科书先讲了向量的加法 加法的几何意义 加法的运算律 再用相反向量 与向量的加法定义了向量的减法 把向量的减法与加法统一起来 并给出向量减 法的几何意义 向量的加法与减法 实数与向量的积实际上是属于向量的线性运 算知识 然后通过向量的加法引入了实数与向量积的定义 给出了实数与向量积 的运算律 最后 介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则 随后 介绍了向量共线的充要条件与平面向量基本定理 这样为后面介绍平面向量的坐 标表示奠定了基础 3 第三大节包括平面向量基本定理 平面向量的分解及坐标表示 平面向 量的坐标运算 平面向量共线的坐标表示 7 平面向量基本定理是平面向量的分解及坐标表示的基础 教科书首先通过一 个具体的例子给出了平面向量基本定理 同时介绍了基底 夹角 两个向量垂直 的概念 然后在平面向量基本定理的基础上 给出了平面向量的分解及坐标表示 向量加 减 数乘的坐标运算和向量坐标的概念 最后给出了平面向量共线的坐 标表示 坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了对应关系 这为通过 数 的运算处理 形 的问题搭起了桥梁 4 第四大节包括平面向量数量积的实际背景及其含义 平面向量数量积的 坐标表示 模 夹角 教科书从学生熟知的功的概念出发 引出了平面向量数量积的概念及其几何 意义 接着介绍了平面向量数量积的性质 运算律及坐标表示 向量的数量积体现了向量的长度和三角函数之间的一种关系 特别是用向量 的数量积能有效地解决线段垂直的问题 把向量的数量积应用到三角形中 还能 解决三角形边角之间的有关问题 将传统教材研究正弦定理和余弦定理的方法用 向量法来研究 即用向量的数量积把三角形的边与角联系起来推导 证明了这两 个定理 正弦定理 余弦定理是关于任意三角形的边角之间关系的两个重要定理 应用这两个能够解决测量 工业 几何等方面的实际问题 向量数量积把向量的 长度和三角函数联系了起来 这样为解决有关的几何问题提供了方便 特别是能 有效地解决线段的垂直与夹角问题 5 第五大节将传统教材 解析几何 中 线段的定比分点 这一知识前移 到这一章中学习 并且采用向量的方法来研究 线段的定比分点 定比分点坐 标公式 中点坐标公式 以及 平移公式 6 另外 为了真正体现新课改的特色 让学生成为学习的主体 充分把 探 究 合作 小组学习 新课改理念应用于课堂教学 教材特意安排了两个阅读材 料 还增加了一个实习作业 用来培养 提高学生的动手操作能力和应用意识 提高学生将实际问题抽象为数学问题的能力以及建模 解模的水平 从而提高学 生的数学素养 本章知识结构大致如下 8 有向线段 向量 长度 模 零向量 单位 概念 向量 向量的概念 表示a b a x y 关系平行向量 相等向量 共线向量 加法运算律 平行四边形法则 三角形法则 加 作法 减相反向量 减法 作法 向量的运算 数乘乘积 共线的充要条件 夹角 垂直 投影 垂直的充要条件 运算律 数量积 性质 加法 向量运算的坐标减法 表示数乘向量 向量的基本定 数量积 两点间距离公式 理 平行向量 相等向量 共线向量 关系的坐标表示共线 垂直 共线 两个充要条件 垂直 平移平移 平移公式 三个应用 定比分点定比分点 定比分点公式 解斜三角形正 余弦定理证明及其应用 本章的熏点是向量的概念 平面向量基本定理 向量的几何表示和坐标表示 形式 向量的线性运算 平面向量的数量积 线段的定比分点和坐标表示形式 平移公式 解斜三角形 本章的难点是向量的概念 平面向量基本定理 向量的 运算法则和运算律等 o 向量是近代数学中最为重要和基本的数学概念之一 有其深刻的几何背景 是解决几何问题的有力工具 向量概念引入后 全等和平行 平移 相似 垂直 人民教育出舨社垒日制普通高级中学教科书数学第一册 下 教师教学用书 9 勾股定理等就可以转化为向量的加 减 法 数乘向量 平面向量数量积运算 从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系 2 空间向量 的知识结构及内容分析 空间向量 被编排在人教版全日制普通高级中学 试验修订本 数学第二 册 下b 中的第九章 直线 平面 简单几何体 简称 9 b 中 含有 空间向量的高二下学期的数学教科书简称为 第二册 下b 与它平行且仍用 传统方法来阐述高中立体几何内容的教科书简称为 第二册 下a 两本教科 书第九章的章名一样 并且都用3 6 课时进行教学 空问向量 这部分内容具有 必学 和 选学 两重性 按照大纲第1 0 页的脚注规定 直线 平面 简单几 何体的教学内容和教学目标在9 a 和9 b 两个版本中只选择一个执行 9 b 具有选学的性质 但大纲把 直线 平面 简单几何体 作为必修内容 如果学生不按 第二册 下a 教科书来学习 那么空问向量他们就是必学内容 所以 空间向量 这部分内容具有 必学 和 选学 两重性 为了初步培养学生的空间想象能力 第一大节 空间的直线和平面 中先使 用综合推理方法学习空间图形的一些基本性质 但是 与人教版的教科书相比 综合推理训练的要求更弱 些 这是因为有些问题将来用空间向量来处理更为简 便 相应地 在第一大节中 三垂线定理及其逆定理的解题训练也安排的较少 虽然 标准 中未提到空间向量的 平移 但由于我们把空间向量看作空间的 一 个平移 所以在学习空问直线平行关系传递性的基础上 引入了平移概念 此外 还更新了传统教材中的一些例题 习题 目的也是为了学生理解空间向量的内容 空间向量 的第一小节 是本章的重点 本小节首先把平面向量及其性质 运算推广到空间 有了平面向量以及第一大节中 空间向量 概念的基础 这种 推广对学生已不算是困难 但仍然要 步步地进行 例如 要一步步地验证空间 向量的运算法则及运算律 这样做 既可以温故知新 又可以进一步培养学生的 空间想象能力 将平面向量推广到空问向量后 必须探究共线向量和平面向量定 理能否推广到空间 在得出肯定的结论后 再由这两个定理推出空间与平面的向 量表达式 有了这两个表达式 学生就可以方便解决空间的某些共线与共面问题 在学习共线向量定理和共面向量定理后 学生将进一步学习空间最重要的定 理 空间向量基今定理 此定理是将空间几何研究数量化的基础 它使空间的 结构变得简单明了 整个空间被三个不共面的基本定理所确定 空间的点或向量 与三维实数组 x y z 之间建立了对应关系 1 0 本小节最后安排向量的数量积 将平面内两个向量的数量积推广到空间 最 重要的是让学生建立起向量在轴上的投影的概念 为了减轻学生学习负担 教科 书没有证明数量积的几个运算性质 留给学有余力的学生自己去探究完成 空间向量 的第 4 节中 首先引入空间直角坐标系 使向量运算完全坐 标化 在去掉基底后 空间向量与三维实数组进行了对应 这样就使运算更加方 便 然后教科书给出空间两个最基本的公式一夹角公式与距离公式 教材的第三大节 夹角和距离 也分为两个小节 夹角 包括 直线与平面 所成的角 与 二面角 距离 包括 直线到平面的距离 点到平面的距离 与 异面直线的距离 第一小节中还含有两平面垂直的判定和性质 这一大节不 仅要求学生掌握上述关于夹角 距离的概念 以及两平面垂直的判定和性质 还 要求学生能够灵活应用勾股定理 正弦 余弦定理以及向量的代数方法进行应该 的计算与证明 教科书在处理具体问题时 采取了实事求是的态度 凡是用向量 比较容易解决的问题 就以向量为 通法 来解决 而对有些直接使用勾股定理 和三角形知识比较容易解决的问题 仍用传统方法解决 教材的第四大节是 简单多面体与球 这一大节既是对简单多面体基础知识 的重点讨论 又是对前面空间图形基本性质与空间向量等相关知识的综合应用 所以说 学生如果用空间向量知识去处理在这一大节中遇到的问题 也是应该甚 至提倡 综上 空间向量 这部分内容 大致可以分为 空间向量及其运算 与 空 间向量的应用 这两个模块 空间向量及其运算 包括 1 经历向量及其运算由平平面向空间推广的过程 2 理解空间向量的概念 掌握空间向量的加法 减法 数乘及其坐标表 示 了解空间向量基本定理及其意义 掌握空问坐标系 能将空间向 量用坐标轴上的单位向量线性表示 3 掌握空间向量的数量积及其坐标表示 能运用向量的数量积判断向量 的共线或垂直 空问向量的应用 包括 1 理解直线的方向向量 平面的法向量 向量在平面的射影等概念 2 能用向量语言表述线线 线面 面面的垂直 平行关系 3 能用向量法证明有关线 面位置关系的一些定理 4 能用空间坐标系与向量方法解决夹角与距离的计算问题 体会向量法 在研究几何问题的作用 要特别注意的是 在数学中 要引导学生运用类比的方法 经历向量及 其运算由平面向空间推广的过程 并注意由于维数的增加给学生带来的不利 影响 第三部分向量教学现状反思 3 1 向量教学现状调查 从2 0 0 1 年我省首次使用人民教育出版社发行的新版实验教材至今己有五年 那么学生在高一平面向量 和高二空间向量的学习状况如何 还存在些什么问 题 人教版立体几何内容编排了a b 两种版本 我们学校一直都用b 版 在使 用的过程中也有什么问题 我校是一所普通中学 学生主要来自于我市周边农村地区和本市个体私营企 业的子女 由于家庭 环境 教育多方面的原因 我校的学生基本状况是 底子 差 基础不牢固 我校的师资状况 高中共有数学教师1 1 人 两人是从本学校初 中部选拔的优秀教师 9 人是从外校选拔调入的教师 高中部刚成立4 年时间 其中1 人没有教过向量 其他教师有教过 遍或二遍的经历 笔者有1 5 年的教学 经验 并完整地带过一轮 从高一到高三 新教材 今年又兼任高一 高二两个 年级的教学 回顾笔者进行第一轮向量教学时的情景 跟现在大部分数学教师一 样 由于对教材挖掘不够 致使在进行课堂教学时 对教材的处理有些稀里糊涂 今年在进行第二遍向量教学时有很多感触 但还是有不尽人意的地方 如 向量 的数量积这一节 一个课时的时间需要掌握向量夹角的定义 向量b 在a 上的投 影 向量的数量积的概念以及向量数量积的5 条性质和所满足的运算律 还要进 行练习 一节课下来是匆匆茫茫甚至手忙脚乱 学生忙于应付 感觉稀里糊涂 高二开设的立体几何中 用空间向量解决处理线面关系 从2 0 0 5 年江苏省高 考考生答卷为例 三道立体几何题 选择 填空 解答题各一道 共2 4 分 但根 据统计 立体几何大题的平均得分为5 7 2 分 得分率仅为4 1 说明学生在应用 空间向量解决立体几何问题中还存在一些问题 为了了解学生对向量的学习情况 笔者在2 0 0 5 年1 月对本校高二学生发放问 卷2 0 0 份 回收1 8 7 通过问卷调查和访谈调研结果如下 问卷调查情况 表内数据是选a b c d 人数占总人数的百分比 精确到 1 2 0 1 学生向量学习情况问卷调查 题号 1234567891 01 1 选a6 8 6 8 35 6 4 8 2 9 84 5 87 7 13 9 66 4 68 32 9 2 人数 选b23 1 0 44 7 64 0 25 5 43 3 31 6 74 8 82 7 18 1 26 4 6 人数 选c2 1 6 6 74 6 81 1 63 4 81 6 76 31 1 6 4 24 1 4 2 人数 选d6 3 1 4 64 21 04 16 42 0 人数 3 2 存在的问题及原因 对调查结果的分析 1 教材并不是教师想象的那么容易 很多教师都认为向量内容安排思路清晰 简单易学 可事实上并非如此 从 调查中发现 学生对向量的有关概念和定理的学习都感到较抽象或抽象 如认为 向量 线段的定比分点 向量的基本定理 向量的坐标表示 向量的数量积 向 量的投影 平移等比较抽象的学生分别占1 2 6 1 8 8 2 6 8 1 3 4 1 7 0 5 1 8 2 9 5 有4 0 2 的学生认为向量的学习偏抽象 有1 1 6 的学生认 为抽象 由此可见 向量的学习值得教师认真分析和处理 就从有利于学生学习 这一角度讲 教师应充分了解学生的实际 因材旌教 2 运用向量工具解题的意识不强 高二教学中有很多内容可以利用向量知识简便求解 高三教学中更应看到向 量的工具性作用 从多角度处理问题 不仅能提高学生的解题的能力 更有利于 学生思维的发展 从调查中看出 绝大多数同学都认为学习向量是有用的 但在 第3 题选择时却有4 7 6 的同学只是 偶尔 用到向量的方法 还有5 6 的同学 几乎就没有 用向量解题 在回答第8 题时 只有1 1 6 的学生选择c 这足 以说明学生在学习时 只是用向量解题 而没有使用向量的意识 3 学习向量的方法有待改进 调查显示 有3 9 6 的同学是以 背概念 记公式 再练习 的学习方式学 习向量 而能自觉把向量与生活相结合 并处理有关问题的只占8 9 回答 您 是否读过关于向量的两篇阅读材料 时更是让人吃惊 竟有7 4 1 选a 在对待 实习作业 的态度上回答 没有用处 也没有做过 的同学占5 0 o 在看待研 究性学习课题上 有4 7 3 的同学回答 老师没有上过 也无关紧要 可以看出 很多学生是采用死记硬背 机械记忆的学习方式学习 所以他们感到向量的学习 是平淡 占3 7 5 或枯燥的 占5 3 6 同时 学数学就是为了升学考试 这 一思想长期影响着数学教育 要考的就学 不考的就不学 很多学生忽视对所学 知识的进一步拓宽 不能自觉地把知识与实际相结合 这将严重影响学生实践能 力和创新精神的培养 3 2 1 用向量方法解决立体几何问题的调查分析 采取调查测试卷和访谈相结合的方法 2 0 0 5 年5 月让高二学生在规定的时间 内完成笔者所设计的调查测试卷 见附录2 共发放样卷2 0 0 份 全部回收 发 放样卷调查结果与分析如下 1 基本作图能力薄弱 在调查中发现 学习空间向量较传统综合几何容易 如问卷中的第1 题 4 0 7 的学生选a 4 1 2 的学生选b 墙 1 的学生选c 由于学生在高一已学习了 平面向量 稍加推广就得到了空阃运算体系 所以学生学习起来感觉不太抽象 但是还发现不少学生随手画图 不用直尺 有的学生画出来的图形线条不简洁 虚实线不分 缺乏立体感 而把平面画成三角形或不规则四边形 把表示平面的 字母标错位置的也大有人在 此外 学生的认知结构中没有储存足够的基本立体 几何模型 从而想不到借助基本图形来判断复杂的位置关系 如第2 题 只有9 名同学想到借助正方形 以正方形的棱和面来代表题中的有关元素 2 数学语言转换能力不强 立体几何要求学生能借助图形来反映用文字语言或符号语言所表达的空间图 形或位置关系 即从语言或式子中提取关键信息 在头脑中形成空间图形的 表 象 再画出其直观图 就是说先想图 后画图 这里进行了两次转化 一是文字 语言或符号语言转化为图形语言 二是空间向平面的转化 而大部分学生是在转 化的过程中出现问题 如第2 题中 命题的反例图形有1 3 8 人做错 3 识图 用图及计算能力欠缺 学好立体几何要求学生具有熟练的识图用图能力 即从复杂的图形中区分出 基本图形 并通过对基本图形的分析 识别出基本元素之间的基本关系 学生往 往对图形仔细观察不够 推理分析不深 不能克服由空间到平面所产生的错觉 1 4 从而不能正确认识各元素的空间位置和图形的空间结构 如第4 题 不少学生无 法识别出连结正方体六条棱中点 可以构造出与直线a 垂直的正六边形 只须判 断p m n 是否是它的顶点即可 本题只有3 6 人全对 仅选 3 的有1 17 人 选 1 的有5 4 人 选 4 的有2 4 人 用向量解决立体几何问题需要合理地分析空间 图形的位置关系和数量关系 恰当地建立空间直角坐标系 选择合理的基本向量 准确表示出相关向量才能有效解决问题 而第3 题有7 的学生试图用定义作出 所求二面角的平面角 但是没有成功 4 4 的学生用法向量做对了 但是其他学 生用向量方法在解决问题时 由于计算和对法向量方法解决问题掌握得不好 导 致失败 3 2 4 立体几何 a 本与 b 本的比较 在新教材的各部分内容只有第九章的内容是按不同的要求写的 笔者仔细研 究了教学大纲和教材关于这两部分的全部文字 发现他们之间在内容 结构 要 求都有许多不同 1 教学内容的差异 b 本比 a 本增加了空间向量及其运算 空间向量的坐标运算教学内容 a 本中的定理证明 例题的处理是采用演绎推理的方法进行的 b 本中的定 理证明 例题的处理是采用空间向量运算方法进行的 2 相同内容结构的差异 应该说这两种版本的大部分内容是相同的 只不过有些内容在教材中的位置 不同 由此产生的知识结构不同 首先是划分单元的不同 a 本划分为两个单 元 即 空问直线和平面 与 简单几何体 由于 b 增加了 空间向量 这个 单元 于是将 夹角和距离 从直线和平面的位置关系中分离出来 建立了一个 新的单元 所以 b 划分为四个单元 即 空间直线和平面 空间向量 夹 角和距离 简单多面体和球 3 展开主线的差异 a 本以图形位置关系为主线展开 教材在给出平面的概念与画法以后 依 次研究空间两条直线的位置关系 直线和平面的位置关系 从位置关系的角度揭 示了图形的性质 b 本以图形的性质为主线展开 教材在研究完平面的基本性 质以后 以平行公理为基础 依次讨论直线和直线的平行 直线和平面的平行 平面和平面的平行 然后通过异面直线及其夹角 垂直的研究 由空间的平行 垂直性质转化讨论直线与平面垂直的性质 深刻揭示空间图形的性质及性质之间 的内在联系 4 对学生能力要求的差异 c a 本主要使用有关的定义 定理 感受 法则来研究立体图形的性质 重 点培养学生的空间想象能力 逻辑推理能力 综合推理能力以及表述能力 b 本虽然也训练学生的空间想象能力 但更多的是着眼于几何与代数的融合 重点 培养学生使用向量代数方法解决立体几何问题 从而培养学生数形结合的能力 具体分析如下 平面性质部分 a 本与b 本都是3 个课时 能力要求一致 但是b 本在这一节 中安排有水平放置的空间图形的直观图的画法 而a 本把这部分内容放在 9 7 4 棱柱的第四课时才讲 笔者认为b 本的编排更为合理 因为立体几何中的画图至 关重要 正确的画图 对理解空间图形的问题很有帮助 图画得好 能把各线 面的关系表达得很清晰 有利于学生正确想象 判断 反之 图画得不好 有些 位置关系不能一目了然 b 本在第一章的第3 课时就介绍了斜二测画法更有利于 培养学生的图形观 重视图形的画法 有利于培养学生的空间想象能力 由于a 本和b 本的总课时量 3 9 课时 一样 而且b 本还增加了9 课时的向 量及运算 b 本要包含a 本的全部内容 显然在教学时要减弱综合推理的训练 对学生空间想象能力的培养训练的例题习题也必然减少 空间的平行直线与异面直线部分 a 本的能力要求是 了解空间两直线的位置 关系 理解异面直线的概念 培养学生的空间想象能力 理解并掌握公理4 了 解并掌握等角定理及推论 通过对等角定理证明思路的分析 引导学生运用转化 思想化陌生为熟悉 尽可能地化立体几何问题为平面问题 这对于培养学生分析 问题和空间想象能力有很重要的意义 这一部分用5 课时的时间通过训练 培养 学生的识图 绘图能力 巩固异面直线的概念 由于