中考总复习——解直角三角形.doc

二. 教学目标： 1. 复习锐角三角函数的概念及相关性质。 2. 熟练应用锐角三角函数的概念及性质。 3. 会解直角三角形，会将斜三角形问题转化为解直角三角形问题解决。 4. 应用锐角三角函数概念、性质、解直角三角形的综合问题。 三. 重点、难点： 重点：应用锐角三角函数概念及性质。 难点：综合应用 四. 教学过程： （一）知识点： 1. 锐角三角函数的定义 如图 1，在ABC 中，C 为直角，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做A 的正弦， 记作 sinA；把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做A 的余弦，记作 cosA；把锐角 A 的对边与 邻边的比叫做A 的正切，记作 tanA。 图 1 即： 斜边 的对边A Asin ； 斜边 的邻边A Acos ； 的邻边 的对边 A A Atan 2. 三角函数值 （1）特殊角的三角函数值 角 度 三角函数 030456090 sin0 2 1 2 2 2 3 1 cos1 2 3 2 2 2 1 0 tan0 3 3 13不存在 （2）用计算器求 090的任意角的三角函数值。 （3）锐角三角函数值的性质。 锐角三角函数值都是正数，并且当 900 时， 1sin0 ， 0cos1 ； 当角度在 090间变化时： 正弦值随着角度的增大而增大；余弦值随着角度的增大而减小； 正切值随着角度的增大而增大。 *3. 互余角的三角函数间的关系： cos)90sin( ； sin)90cos( 。 4. 同角三角函数间的关系： . cos sin tan; 1cossin 22 5. 解直角三角形：由直角三角形中除直角以外的两个已知元素（其中至少有一条边） ， 求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 6. 解直角三角形相关的知识 图 2 如图 2，在 RtABC 中，C90， （1）三边之间的关系： 222 cba 。 （2）锐角之间的关系：AB90。 （3）边与角之间的关系：a b Btan, b a Atan, c b BsinAcos, c a BcosAsin 。 （4）如图 3，若直角三角形 ABC 中，斜边上的高 CDAB 于点 D，设 ABc，CDh，ADq，DBp，则 222 cba ， pca 2 ， qcb2 ， pqh 2 ， q p b a 2 2 ， chab 。 图 3 图 4 （5）如图 4，若 CD 是直角三角形 ABC 中斜边上的中线，则 AB 2 1 BDADCD ； 点 D 是 RtABC 的外心，外接圆半径 AB 2 1 R （6）如图 5，若 r 是直角三角形 ABC 的内切圆半径，则cba ab 2 cba r 。 图 5 （7）直角三角形的面积： 如图， Asinbc 2 1 ch 2 1 ab 2 1 S ABC 。 如图， ) cba ( r 2 1 S ABC 。 7. 直角三角形的可解条件及解直角三角形的基本类型 已知条件解法 斜边 c 和锐角 AAcosAsincs,Acoscb,Asinca,A90B 2 一条边和 一个锐角 直角边 a 和锐角 AAcota 2 1 s, Asin a c,Acotab,A90B 2 两条直角边 a 和 b 22 bac ，由b a Atan 求角 A， A90B ， ab 2 1 S 两条边 直角边 a 和斜边 c 22 acb ，由c a Asin 求角 A， A90B ， 22 aca 2 1 S 8. 测量中的常用概念：仰角、俯角、坡度、坡角、水位、方向角、倾斜角、株距、坡距 等。 例例 1. 如图，已知ABC 的一边 BC 与以 AC 为直径的O 相切于点 C，若 BC4，AB5，则 cosB 。 分析：分析：已知ABC 的一边 BC 与以 AC 为直径的O 相切于点 C，说明C90， 在 RtABC 中求 cosB 首先要明确余弦的概念，再正确地找到B 的邻边和斜边即可。 答案：答案：5 4 例例 2. 已知在ABC 中，C90，5 3 Asin 。求 BtanAcos 的值。 分析：分析：可根据已知中给出的正弦值，用比例系数表示三角形的边长，再根据三角函数 的定义求得同角或余角的其他三角函数值即可。 解：解：在ABC 中，C90。 5 3 Asin ， 设 )0k(k5AB, k3BC 。 由勾股定理，可得 k4AC ， 3 4 Btan, 5 4 Acos ， 15 32 3 4 5 4 BtanAcos 。 例例 3. （1）计算： 30tan60tan45cot60cos30sin （2）计算： 0 3 2 60tan 3 3 分析：分析：（1）可利用特殊角的三角函数值代入直接计算即可。 （2）利用特殊角的三角函数值和零指数幂的知识求解，注意化简。 解：解：（1） 30tan60tan45cot60cos30sin . 1 111 3 3 31 2 1 2 1 （2） 0 3 2 60tan 3 3 . 1 32 133 说明：说明：有些题目中还涉及绝对值、负整数指数幂等知识点，在解题过程中注意运算顺 序。 （二）解直角三角形的方法 要灵活运用勾股定理、锐角三角函数等，根据已知的边和角，求出未知的边和角。若 所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线，将其转化到直角三角形中。当遇到利用 直角三角形来解决一些实际问题时，除了要掌握好解直角三角形的有关知识外，还要把握 相似形等的有关知识，紧紧围绕题中已知条件及所求的目标展开思考，充分挖掘题中的隐 含条件，运用分析和综合的方法解决问题。 例例 1. 如图，在ABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的中线，AC6，CD5，则 sinA 。 分析：分析：AB BC Asin ，所以求出 BC、AB 的值即可，已知 CD 是 AB 边上的中线，根据 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知 AB2CD10，再由 AC6 根据勾股 定理可得 8ACABBC 22 ，sinA 可得。 答案：答案：5 4 说明：说明：解直角三角形的题目中经常用到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” ， 解题时需注意。 例例 2. 如图，在 RtABC 中，C90，A30，BD 是ABC 的平分线， AD20，求 BC 的长。 分析：分析：在 RtABC 中，A30，可知ABC60。又 BD 是ABC 的平分线， 可得ABDDBC30，由此可知ABD 是两个底角等于 30的等腰三角形，即 ADDB20。BCD 是有一个角是 30的直角三角形，则要求 BC 的长，可由 BDcosDBC 得出。 解：解：在 RtABC 中，C90，A30， ABC60。 BD 是ABC 的平分线， ABDDBC30， ABDA， BDAD20 在 RtDBC 中，BD BC DBCcos ， 310 2 3 20DBCcosBDBC 。 例例 3. 如图，在ABC 中，BAC120，AB10，AC5，求 sinBsinC 的值。 分析：分析：为求 sinB、sinC 的值，需将B、C 分别置于直角三角形中。另外，已知 A 的邻补角是 60，若要使其充分发挥作用，也需将其置于直角三角形中，所以应分别 过 B、C 两点向 CA、BA 的延长线作垂线段即可。 解：解：如图，过点 B 作 BDCA 的延长线于点 D，过点 C 作 CEBA 的延长线于点 E。 BAC120，BAD60， 560cosABAD ； 3560sinABBD 。 CDCAAD10。 由勾股定理，可得 75BC 。 7 21 BC BD BCDsinCsin 。 同理可得14 21 Bsin 。 14 3 7 21 14 21 CsinBsin 。 说明：说明：求锐角的三角函数值，要放在直角三角形中计算。 例例 4. 在矩形 ABCD 中，DEAC 于 E，设 ADE ，且5 3 cos ，AB4，则 AD 的长为（ ） A. 3 B. 3 16 C. 3 20 D. 5 16 分析：分析：已知5 3 cos 求 AD，只需求出线段 DE 的长即可。由矩形 ABCD 中， AB4，可知 CD4， DCAADE ，因此可在直角三角形 DEC 中求 DE 的长。 答案：答案：B 说明：说明：在“双垂图”中，可在不同的直角三角形中找到相等的角，在解题过程中经常 用到这些结论。 例例 5. 如图，在ABC 中，AD 是 BC 边上的高， DACcosBtan 。 （1）求证：BDAC。 （2）若13 12 Csin ，BC12，求 AD 的长。 分析：分析：由于 AD 是 BC 边上的高，则有 RtADB 和 RtADC，这样可以充分利用锐 角三角函数的概念使问题得以求解。第（1）问求证 ACBD，由已知条件中 DACcosBtan 入手可转化成线段之间的关系；第（2）问中已知13 12 Csin ，可通过设 参数转化为方程问题求解。 （1）证明：证明：在 RtABD 中，有BD AD Btan ； 在 RtADC 中，有AC AD DACcos 。 DACcosBtan ， AC AD BD AD ，故 BDAC。 （2）解：解：由13 12 AC AD Csin ， 可设 AD12x， x13BDAC ， 由勾股定理求得 DC5x。 BC12，BDDC18x12， 即3 2 x ， 8 3 2 12AD 。 （三）解直角三角形的应用 1. 计算高度 高度的计算，如计算旗杆的高度、楼房的高度、山的高度等。此类问题的解题思路是 构建直角三角形模型，一般需要将两个直角三角形联系起来，通过列方程解决问题。 2. 方位问题 方位问题，如航行问题等。解决航行问题的关键是明确方位角的概念，从实际问题中 构建一个或两个直角三角形，通过三角函数直接解决或根据图形中的数量关系建立方程解 决。 3. 设计测量方案问题 设计测量方案，如测量河的宽度、测量物体的高度等。解决测量问题需要熟练掌握锐 角三角函数在实际问题中的应用，能从实际问题中构造一个或两个直角三角形，并能根据 自己所设计的方案进行有关的计算。 例例 1. 原电视发射塔为 BC，为稳固塔身，周围拉有钢丝地锚线（如图中线段 AB） ，若 m60AB ，并且 AB 与地面成 45角，欲升高发射塔的高度到 B，同时原地锚线仍使 用，若塔升高后使地锚线与地面成 60角，求电视发射塔升高了多少米（即 BB的高度） ？（精确到 0.01m） 参考数据： 732 . 1 3,414 . 1 2 。 分析：分析：要求电视发射塔升高了多少米，反映到图形上即求 BB 的长度。求 BB的长 度关键在于求出原电视发射塔的高度和升高后发射塔的高度。可通过解直角ABC 求出 BC，再解直角ABC，求出 BC，从而 BBBCBC。 解：解：在 RtACB 中， 因为BAC45，AB60m，所以 )m(23045sin60BACsinABBC 。 在 RtACB中，AB60m，BAC60， 所以 )m(330 2 3 6060sinBACB 。 所以电视塔升高的高度为 )m(54 . 9 )23(30BCCBBB 。 说明：说明：求电视塔升高的高度，其解题思路是从实际问题中构造直角三角形模型，通过 解直角三角形求相应线段的长度，进而求得线段的差。 例例 2. 如图，某船以每小时 36 海里的速度向正东方向航行，在点 A 处测得某岛 C 在北偏 东 60方向上，航行半小时后到达点 B，测得该岛在北偏东 30方向上。已知该岛周围 16 海里内有暗礁。 （1）试说明点 B 是否在暗礁区域外。 （2）若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由。 分析：分析：要判断点 B 暗礁区域外，则需要计算 BC 的长度，看其长度是否大于 16 海里， 若 BC16 海里，则点 B 在暗礁区域外；要判断继续向东航行有无触礁危险，则需要计算 船到岛 C 的最短距离，看是否小于 16 海里，若小于 16 海里，则有触礁的危险。为此，需 要构造直角三角形解决。 解：解：（1）过点 B 作 BDAE，交 AC 于点 D。 因为 185 . 036AB （海里） ，ADB60，DBC30，所以ACB30。 又CAB30，所以 BCAB，即 1618ABBC ，所以点 B 在暗礁区域外。 （2）过点 C 作 CHAB，垂足为 H。 在 RtCHB 中，BCH30，令 BHx（海里） ，则 x3CH （海里） 。 在 RtACH 中，CAH30，所以 x3x33CH3 30tan CH AH （海里） 。 因为BHABAH，所以 x18x3 ，解得 9x ，所以 39CH 海里16 海里。 所以船继续向东航行有触礁的危险。 说明：说明：是否触礁问题是航海中的热点，也是中考试题中经常出现的试题。解决此类问 题需要正确理解题意，从实际问题构建直角三角形模型。 例例 3. 如图，河边有一条笔直的公路 l，公路两侧是平坦的草地。在数学活动课上，老师 要求测量河对岸 B 点到公路的距离，请你设计一个测量方案。要求： （1）列出你测量所使用的测量工具； （2）画出测量的示意图，写出测量的步骤； （3）用字母表示测得的数据，求出 B 到公路的距离。 分析：分析：本题是一道与测量有关的实际问题。可构造有公共边的两个直角三角形来解决。 解：解：（1）测角仪、尺子。 （2）测量示意图见下图； 测量步骤： 在公路 l 上取两点 C、D，BCD、BDC 为锐角；用测角仪测出 BCD ， BDC ；用尺子测得 CD 的长，记为 m 米；计算求值。 （3）设 B 到 CD 的距离为 x 米， 作 BACD 于点 A，在 RtCAB 中， tanCAx ， 在 RtDAB 中， tanADx ，所以 tan x AD, tan x CA 。 因为 mADCA 米， m tan x tan x ，所以 tantan tantanm x 。 说明：说明：本题是一道测量距离的方案设计问题，解决问题的关键在于正确地构造直角三 角形。 （三）小结 直角三角形中 的边角关系 锐角三 角函数 解直角 三角形 实际问题 【模拟试题模拟试题】 （答题时间：30 分钟） 一. 选择题。 1. 已知 RtABC 中，C90，AC2，BC3，那么下列各式中，正确的是（ ） 。 A. 3 2 Bsin B. 3 2 Bcos C. 2 3 Btan D. 3 2 Btan 2. （2006 天津市）tan30的值等于（ ） A. 2 1 B. 2 3 C. 3 3 D. 3 3. 已知在 RtABC 中，C90，3 2 Bcos ，则 tanA 的值为（ ） A. 3 52 B. 3 5 C. 5 5 D. 5 52 4. （2005 甘肃省）如果是锐角，且5 4 sin ，那么 )90cos( （ ） 。 A. 5 4 B. 4 3 C. 5 3 D. 5 1 5. 已知为锐角，且 cos 的值小于2 1 ，那么 （ ） A. 大于 60 B. 大于 30 C. 小于 30 D. 小于 60 6. 已知ABC 中，C90，A30，AB10，则 AC（ ） A. 310 B. 35 C. 210 D. 55 7. （2005 南宁市）如图，CD 是 RtABC 斜边上的高，AC4，BC3，则 BCDcos 的值是（ ） A. 5 3 B. 4 3 C. 3 4 D. 5 4 8. （2005 海南省）如图，要在离地面 5m 处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成 60， 若考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的 m2 . 5l1 、 m2 . 6l2 、 m8 . 7