（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教A版.doc

（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 等差、等比数列 新人教a版四、错位相减法的运用：错位相减法是一种常用的数列求和方法， 形如的数列，其中为等差数列，为等比数列；分别列出，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即；然后错一位，两式相减即可。适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和。典型例题：例1.已知数列的前项和为，常数，且对一切正整数都成立。（）求数列的通项公式；（）设，当为何值时，数列的前项和最大？【答案】解：（）取n=1，得，。 若=0，则=0, 当n时，。 若，则，有当n时，两个相减得：，。数列公比是2的等比数列。综上所述，若=0, 则 ；若，则。（）当且时，令，则。 是单调递减的等差数列（公差为lg2） 则 b1b2b3b6=；当n7时，bnb7=。数列lg的前6项的和最大，即当=6时，数列的前项和最大。【考点】等差数列、等比数列、对数等基础知识，分类与整合、化归与转化等数学思想的应用。【解析】（i）由题意，n=1时，由已知可知，分类讨论：由=0及，结合数列的和与项的递推公式可求。 （ii）由且时，令，则，结合数列的单调性可求和的最大项 。例2.已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记，证明.【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例3. （已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式； ()记，证明。【答案】解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由=，得。由条件，得方程组，解得。()证明：由（1）得， ； ；由得，。【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列和等比数列的通项公式。【分析】（）直接设出首项和公差，根据条件求出首项和公差，即可求出通项。（）写出的表达式，借助于错位相减求和。还可用数学归纳法证明其成立。例4.设数列的前n项和为sn，满足且成等差数列。（1）求a1的值；（2）求数列的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有.【答案】解：（1）且成等差数列 ，解得。即。（2） ，得。，。，。数列成首项为，公比为的等比数列，。 。（3）（当n=1时，取等号。）， （当且仅当n=1时，取等号）。【考点】数列与不等式的综合，等差数列和等比数列的应用，数列递推式。【解析】（1）在中，令分别令n=1，2，由成等差数列，得到关于的三元方程，解之即可可求得。（2）由，两式相减即可得，可知，数列成首项为，公比为的等比数列，从而可求数列的通项公式。（3）构造，证得其大于等于0，从而，即（当且仅当n=1时，取等号）。因此。例5.设数列的前项和，数列的前项和为，满足（1）求的值；（2）求数列的通项公式【答案】解：（1）当时，。 ，解得。（2） ， 当时， ，得： ，此式对也成立。当时， 。得：，即 。是以为首项，2为公比的等比数列。 ，即，。【考点】数列递推式，等比数列的性质。【解析】（1）当时，。由得解得。 （2）两次递推后得到以为首项，2为公比的等比数列，由此能求出数列的通项公式。例6. （已知数列的前项和（其中），且的最大值为。（1）确定常数，并求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1）当n时，snn2kn取最大值，即8skk2k2k2，k216，k4。n(n2)。又a1s1，ann。（2）设bn，tnb1b2bn1， tn2tntn2144。【考点】数列的通项，递推、错位相减法求和，二次函数的性质。【解析】（1）由二次函数的性质可知，当n时，取得最大值，代入可求，然后利用可求通项，要注意不能用来求解首项，首项一般通过来求解。（2）设bn，可利用错位相减求和即可。例7.）已知数列的前项和（其中，为常数），且（1）求；（2）求数列的前项和。【答案】解：（1），当时，。则，。=2。，即，解得=2。（）。当=1时，。综上所述。（2）， ， 。得，即。【考点】数列的求和，等比数列的通项公式。【解析】（1）先根据前项和求出数列的通项表达式；再结合求出，即可求出数列的通项。（2）直接利用错位相减法求和即可。例8.已知数列an的前n项和为sn，且sn=，nn，数列bn满足an=4log2bn3，nn.（1）求an，bn；（2）求数列anbn的前n项和tn.【答案】解：（1）由sn=，得 当n=1时，；当n2时，nn。由an=4log2bn3，得，nn。（2）由（1）知，nn，。，nn。【考点】等比数列、等差数列的概念、通项公式以及求和公式，对数的定义。【解析】（1）由sn=，作即可求得an；代入an=4log2bn3，化为指数形式即可求得bn。 （2）由an，bn求出数列anbn的通项，得到，从而作即可求得t。例9.设数列的前项和满足，其中. （i）求证：是首项为1的等比数列；（5分） （ii）若，求证：，并给出等号成立的充要条件.（7分）【答案】证明：（），。 。 ，。 ，。 。是首项为1，公比为的等比数列。（ii）当=1或=2时，易知成立。当时，成立。当时，。当时，上面不等式可化为，设，当时， 。当时，所要证的不等式成立。当时，令，则。在（0，1）上递减。在（0，1）上递增。当时，所要证的不等式成立。 当时，由已证结论得：。当时，所要证的不等式成立。综上所述，当且时，。当且仅当=1,2或时等号成立。【考点