（基础数学专业论文）拟共形映射的schwarz型定理.pdf

摘要 本文主要证明了拟共形映射的一个s c h w a r z 型定理设_ 厂( z ) 是单位圆 到自身的保向同胚，_ 厂( o ) = o 首先，我们证明了定理a 若，( z ) 满足( d ) 对单位圆内所有同心圆环r 都有脚茎棚。( 尺) 和( 扫) 极限条件：设 2 i 够 i ，( z ) i ) 若存在点列 ，= 1 ) ，= i o _ 时，成立极限烛昔1k f 7” 则 - 厂( z ) = 然后，我们证明了定理b 若，( z ) 满足条件( 4 ) 、( b ) 及( c ) 对单位圆内所有同心扇形r 都有棚。够( 尺) 批搬：则，( z ) = z 肛，( h = 1 ) 这一结果推广了s c h w a r z 引理这两个结果的证明主要依赖于拟共形 映射理论中的两个重要的概念：共形模与极值长度以及t e i c h m n l l e r 模定 理本文通过讨论和估算r 及，( 尺) 的模及它们之间的关系，并应用了 t e i c h m i l l l e r 模定理，解析开拓等得到上述结果这一结论有助于我们 更清楚地了解单位圆内拟共形映射的一些特征 关键词：拟共形映射，极值长度，共形模，t e i c h m 叫l e r 模定理 s c h w a r z 引理 i i as c h w a r zb p et h e o r e mf o rq u a s i c o n f o r m a im a p p i n g m a j o r ：m a t h e m a t i c s n a m e ： z e n gc u i p i n g s u p e r v i s o r l u il i x l n a b s t r a c t t h i st h e s i si sa b o u tas c h w a r z t y p et h e o r e mo fq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s l e t ，( z ) b ea s e n s e - p r c s e r v i n gh o m e o m o r p h i s mo fu n i td i s k o n t oi t s e l f w i t h n o m i a l i z a t i o n ，( o ) = o i f ( a ) m o d 品舭珂( r ) ，w h e r ers t a n d sf o ra i la n n u i l i n ；( 6 8 e r2 赠叭孙叭m e e 出t sas e q u e n c e ”_ o ( n 一) w c p r o v et h a t ，( z ) = 五z v 。，( 1 五i = 1 ) t h ep m o fd e p e n d so ns o m ei m p o r t a n tc o n c e p t i o n s i n q u a s i c o n f o r m a lt h e o r y ： m o d u i e ， e x t r e m a l l e n g t h a n dt b i c h m n l l em o d u i e t h e o r e m - t bo b t a i nt h er e s u l t w ed i s c u s st h em o d u l eo fr a n d ，( r ) i nt e r m so ft h e i b e h a v i o ro rr e l a t i o nu n d e rt h ea b o v ec o n d i t i o n t h e nw eu s et 色i c h m 旺l l em o d u i e t h e o r c mt og e ti t t h i sr e s u l th e i pu sm a k ef u r t h e ro b s e r v a t i o na b o u tt h ec h a r a c t c r so f q u a s i c o n f b r m a lm a p p i n g so nt h eu n i td i s k k e yw b r d s ：q u a s i c o n f o r r n a im a p p i n g ，m o d u i e ，e x t r c m a il e n g t h ， t e i c h m n l i em o d u l et h e o r c m s c h w a r zl e m m a i u 引言 拟共形映射是共形映射的推广共形映射是保持共形模不变的映射，而拟共 形映射是一种保持共形模拟不变的映射拟共形映射是l a v r e n ti s 与a h l f o r s 从不同的出发点创立的，他们分别在研究空气动力学问题与n e v a n u n n a 值分布 的几何意义时推广了共形映射的概念并开始探讨拟共形映射理论后人也普遍 认为g 曲z s c h 也是拟共形映射的创始人之一他提出了“g 简z s c h 问题”并运用 面积长度方法解决了这个问题，他认为使得最大伸缩商k 【，l 最小的映射是最接 近共形映射的映射，这个映射为仿射拉伸映射早在二十世纪三、四十年代， t e i c h m u l l e r 就应用拟共形映射研究r i e a n n 模问题，直到五十年代a h l f o r s 重 新提出这个问题后，拟共形映射的应用才受到广泛的关注拟共形映射在 r i e m a n n 模问题、单值化理论、k l e i n 群和t e i c h m u u e r 空间等研究中显示了重 要的作用 拟共形映射有三个基本的特征：一是拟共形映射，几乎处处可微，若k = l ，那 么，是共形映射二是如果，是k 一拟共形映射，那么它是l d e r 连续的，其 h 6 l d e r 指数为l k ，也就是说，i ，( 磊) 一，( z ：) isc l z 一z ：r ，其中c 依赖于规范条 件三是每一个拟共形映射，都有一个b e n r a m i 系数( 。) = ，_ ( z ) 正( z ) ，忙l 且复合一个共形映射后其b e l t r 锄i 系数不变t e i c h m u l l e r 应用拟共形映射理 论成功地解决了r i e a n n 模问题r i e m a n n 面是一维的单连通复流形，通过其局部 坐标卡与复平面联系起来两个r i e m a n n 面r 与r 全纯等价是指存在双全纯映射 ，使得，：r - 尺：此时，r 与尺：具有相同的复结构，可以看成为同一个 r i e m a n n 面在这个意义上，我们就可以利用拟共形映射对r i e m a n n 面上一切可能 的复结构进行分类，这就产生了模空间t e i ch i i l u l l e r 把拟共形映射的极值问题 与模问题联系起来并用t e i c h l l e r 空间代替模空间成功解决了r i e m a n n 模问题 使拟共形映射的应用得到空前的飞跃，也将t e i c h m u l l e r 理论的发展推向了新的 里程碑t e i c h u l l e r 空间也是通过拟共形映射给r i e m a n n 面上的复结构进行分 类的，我们把它看作是b e l t r a m i 微分的等价类现在拟共形映射已成为研究 r i e m a n n 曲面和t e i c h l n u 儿e r 理论的重要工具 第一章预备知识 1 共形模 1 1 拓扑四边形的共形模 设q 为一个j o r d a h 区域，并在边界上依次选定四点z 。，z ：，乙，。，则q 连同这 四点一起构成一个拓扑四边形，记为q ( 。z ：，毛，o ) 我们把拓扑四边形 q ( z 【，z 2 ，z 3 ，0 的边界弧( z i ，= 2 ) 与( 乙，z 4 ) 称为第一组对边，而把边界弧( 乙，z 、) 与 ( “，z 1 ) 称为第二组对边丽个拓扑四边形q l ( z i ，z ：，屯，) 与2 ( ，f ：，文) 称为 共形等价盼，如果存在一个共形映射伊，将q i 映为q ，且有顶点对应 烈z ，) = f ，= l ，2 ，3 ，4 根据 1 和 2 关于拓扑四边形的共形模有如下结论： 定理1 。1 对于任意给定的拓扑四边形q ( z t 。z 2 ，z 3 ，z ) 都存在实数a ) 0 与 b o 使得q ( z 。，z ! ，白，z 。 共形等价与矩形r ( o 溉口+ 眈撕) 这里比例导由拓扑四边 口 形o ( 毛，0 2 ，勺。z 。) 唯一地决定 定义1 2 若拓扑四边形q ( z z ! ，乇，毛) 共形等价于矩形尺( 0 ，口，口+ 6 f ，6 f ) ，则 称詈为q ( 。z ： z 3 ，z 4 ) 的共形模，或简称模记为m 州( q ( z j ，z ! 函而) ) 根据定义，我们有 胁烈烈：而圳) _ 夕缸( q 函矗 z i ) ) 定理1 。3 拓扑四边形的共形模是一个共形不变量 1 2 双连通区域的共形模 任意给定的一个双连通区域b 都可以共形映射为下列三种典型区域之一 1 ) z ：o i z l 】： 2 ) z ：o i z l 1 ) ： 3 ) z ： l z f r 2 ，( o 1 吒 ) 并且只能共形映射为这三种典型区域之一 定义1 4设b 为任意一个双连通区域若b 共形等价于环域 z ：l t ) ，( o 丘 一) ，则定义b 的共形模为圭i o g 量：若b 共形等价于1 ) z 石 或2 ) 的情形则定义b 的共形模为一 定理1 5 双连通区域的模是共形不变量 2 极值长度 2 1 极值长度的概念 极值长度的概念经过a h l f o r s 的系统研究，有了广泛的应用而且与共形模有 着深刻的关系 设d c c 是一个区域，r = 圪：口人) 是一个曲线族，其中每条曲线虼落入d 的内部并且局部可求长记p 为d 上全体非负b o r e l 可测函数的集合对任意一 个p j d ，定义d 的p 面积为 ( d ) = j p 2 蚴， ( 卜1 ) 而每条曲线五r 的p 长度是 z ，( ”= p 蚓， ( 1 2 ) 令 l ( = 哩f ( y ) ， 记p 的一个子集为 昂= p e p ：o ( d ) l ，使得g 中的每个环形r ，i c g 部有 朋r d d ( f ( r ) ) k m o d ( r ) ， 那么，是一个k 一拟共形映射 定理1 2 1 设，：g 由g 是c 中的区域g 到g 的一个保向同胚，若存在一 个常数岸i ，使得g 中的每个圆环尺，r c g 都有 l f d d ( f ( r ) ) l m o d ( r ) ， k 那么，是一个( k + k 2 一i ) 一拟共形映射 文献 6 】证明了若用正方形代替上面的矩形结论是不成立的上述一系列 的等价定义极大的丰富了拟共形映射的几何定义 3 2 拟共形映射盼分析定义 许多人讨论过拟共形映射的分析性质，拟共形映射线段上的绝对连续性是由 k s t r e b e l 在1 9 5 5 年证明的 1 中定理9 1 的证法是p f l u g e r 在l 9 5 9 年给出的 若，：g _ g 是区域g 到g 1 的k 拟共形映射，则，在g 内线段上绝对连续所谓 线段上绝对连续是指对g 内任意一个矩形 r = 石+ 哆：口 工( 6 ，c y d l ，r c g ， 若函数，( 工+ 咖) 对几乎所有固定的j ( ，6 ) 是y 的绝对连续函数，而对几乎所有 固定的y ( c ，d ) 是x 的绝对连续函数此性质简称为，具有a c l 性质 由 1 我们知道，拟共形映射几乎有偏导数，从而拟共形映射在其定义域内几 乎，处处可微，而且其偏导数在定义域内几乎处处满足不等式 l a ：，i + | a j ， ( k ( 陵厂h a ：巾 ( 1 5 ) 具有a c l 性质和满足不等式( 卜5 ) 是拟共形映射具有的两条基本的分析特 征下面的定理告诉我们具有这两条基本性质的同胚必为拟共形映射这一结论 属于g e h r i n g 与l e h t o 4 定理t 2 2 设，是区域g 到g 。的同胚则厂是拟共形映射的充要条件是： ( i ) ，在g 内具有a c l 性质： ( i i ) ，在g 内几乎处处满足不等式( 卜5 ) 3 3 拟共形映射是b e l t r 锄i 方程的广义同胚解 设，( z ) 是区域g 到g 。的拟共形映射，我们定义它的复特征为 8 a ：， ，2 巧 或称为b e l t r a i i l i 系数，( z ) 是保持定向的，故 = o ，则 ，( o ) l ，且1 ，( ) | ，v z 若l 厂( o ) f = l 或对一点 z o o 有 ，( z o ) - i z o l ，则，( z ) - p 。z ，其中口r 是常数 命题2 5 ( s c h 盹r z p i c k ) 设，是单位圆内的解析函数，且，( ) c ，又设 d ( ，) 表示内两点之间的p o i n c a r 6 距离，则有 d ( ，( 盔) ，( z 2 ) ) d ( ，z ! ) ，v l ，z 2 这里等号对任意两个不同点z l ，z 2 成立的充要条件为：，a “f ( ) p o i n c a r 6 度量不仅可以定义在单位圆内，而且可以定义在与单位圆解析自同 构的任何单连通域上，从丽p o i n c a 砖度量可以推广到一般的区域上：如果区域d 具有一个全纯覆盖映射_ d ，则区域d 上j j 以定义p o i n c a r 6 度量，进而 s c h w a r z 引理便有更一般的形式： 命题2 b ( 广义s c h 8 r z 引理) ：设区域d 与g 均具有单位圆到它们的全纯 覆盖映射，其p o i n c a r 6 度量分别为 出i = 吼( z ) i 欢i ，z d ， 出：= c r 2 ( 妫l d 刮，g 又设，：d - g 是全纯映射，则 吒( ，( z ) ) i ，( z ) i q ( z ) ，z d ， 其中等号在一点成立的充要条件是，是d 到g 的覆盖映射 1 3 单位圆的拟共彤映射的一些估计 设珊= ，( z ) 是单位圆到自身的k 拟共形映射，且，( o ) = 0 应用g 帕t z c h 定 理，我们得到了l ，( z ) i 的上界估计 i ，( z ) i 4 v l z i 。“l i z l 2 ) v 当j zj 较小时，这个不等式是有意义的，它告诉我们在单位圆盘上满足规范条件 ，( o ) = o 的k 拟共形映射，在原点附近的模的偏差将是d ( h 归) ，且这里i z i 的阶 专不可能改得更大了下面是一个例子 厂( z ) = ：i z 是k 拟共形映射，并满足，( o ) = o ，这个映射的模恰好是i z r 关于圆盘上的拟共形映射还有以下两个结果： 命题2 7 设= ，( z ) 是单位圆上的k 拟共形映射，并且对单位圆内任意一点 z 都有i ，( 刮 命题2 8 设珊= ，( z ) 是单位圆到自身的k 拟共形映射，且- 厂( o ) = o 那么 对于内任意两点z z 2 都成立 l ，( z ) 一，( z ：) 1 6 z 一z ：r 2 圆周上的绝对连续性 我t 】先给出一些记号定义蹦环 r ( ，t ) = 纠) ( 2 一1 ) 的共形模为 黼( ) = 去l o g 詈 ( 2 嘲 这里规定割线( ，疋) 的两侧代表一组对边，为第一组对边，圆环的两条边界圆弧 为第二组对边定义扇环 8 r ( ，吒，岛，岛) = z ls z i ，鼋a l 苫。岛) ， ( 2 3 ) 的共形模为 胁搬帏们2 去l o g 詈 ( 2 _ 4 ) 这里规定第一组对边为连结两圆弧的那一组，而两边界圆弧为第二组对边下面 的结论表明- 厂( z ) 在圆周上是绝对连续的 定理2 9 设，( z ) 是单位圆到自身的保向同胚，满足规范条件，( o ) = o 并 且对单位圆内所有形如( 2 3 ) 的扇环r ( ，q ，岛) 均满足 古m 枷m o 够( r ) ( 2 5 ) 足 。、。 那么，( z ) 在 | z | = r ，( o r t ) 上绝对连续 证明 设r = z = 旭”i r r ，o p 2 石) 为单位圆内的圆环，令 g ( f ) = 小( ，( r ) ) ( 2 6 ) 其中 r = z = 胛”i r f ，o 日 o ，使得+ 占 吒我们在【o ，2 石】中任意考虑一组互不重叠的小区间 ( ，) ，七= l ，2 ，n 令 = z = 旭。k r 屯+ 占， p ) i o g ( 1 + 别f 0 ) 1 一 注意到占很小时，l o g ( 1 + 彰f 0 ) 纠2 f 0 将上式对k 求和即有 砉蒜孚喜c 醪瑚 由s c h w a r z 不等式 c 喜d 喜矗簧岛喜州c ，c ， 由( 2 6 ) 及的定义 m ( ，( ) ) g ( f 0 + 占) 一g ( f o ) t = i 由( 2 一1 2 ) ，( 2 一1 3 ) 和( 2 一1 4 ) ，有 ( 喜z 逝字盟静一t = i u t = l 令占_ 0 ，由( 2 9 ) 和( 2 一1 5 ) ，得 ( 窆p ( f 0 ) 一，( f o e ) i ) 2 2 战g7 ( f o ) 窆l 一噬 t ；lt = l 这表明，( 乇p 。) 在【o ，2 石l 上绝对连续# 注：容易推出这个结论对形如( 2 一t ) 的所有圆环也是成立的 3 拟共形映射的s c h w a r z 型定理的证明 ( 2 一1 2 ) ( 2 一1 3 ) ( 2 一1 4 ) ( 2 一1 5 ) ( 2 一1 6 ) 这是一个与s c h w a r z 引理相关的结论在文献 8 中z g c h e n 证明了以下的 结论： 定理若，( z ) 是单位圆到自身的保向同胚，( o ) = o ，并且满足( 口) 对单 位圆内所有形如( 2 一1 ) 的圆环尺( ，r 1 ) 和( 2 3 ) 的扇形j r ( ，q ，g ) 均满足不等式 占肌。d 尺m 。彤( r ) k 。 4 和( b ) i i m 喇：1 “ 则，( z ) = 兄z l z l 言，( i 五i = 1 ) 本文推广了这一结论下面的定理 和定理b 是本文的主要结果 定理 设厂( z ) 是单位圆到自身的保向同胚，满足规范条件，( o ) = o 若 ( 口) 对单位圆内所有形如( 2 一1 ) 的圆环r ( ，r 2 ) 均满足 小o d r 砌l d 彤( r ) ( 6 ) 设f ，= i n f l ，( z ) i ) ，若存在点列 ，：| ) ，一o _ 。o ) 时，成立极限 l i m 生1 ，= e 则i ，( z ) i = 拶 在证明这一定理之前，我们先证明下面两个引理记 尺( r ) = 矧r i z i l 】， ( 2 1 7 ) 由 1 定理2 1 可知存在一个共形映射巾使得 q ，。，( r ( r ) ) = f i 妒( r ) 茎1 i i ) ( 2 一1 8 ) 令g ，= 中，。，下面的引理将讨论妒( r ) 的一些性质 引理2 1 0 若，( ：) 满足条件( a ) ，则咎娑在( o ，1 上单调增，且孓娑 i 证明假设o o ，存在占 0 ，当r t 一 ，( 陀4 ) ( 1 一引r 。 ( 2 2 0 ) 业 一 业 因此 ，( 尺( r ) ) c h ( 1 一) ，” 1 推论2 1 2 根据引理2 t 0 和引理2 “，当o sr i 时，我们有 妖r ) = 一8 ( 2 2 1 ) 定理 的证明- 考虑圆环a = ：f 1 h ：o t t 】和 8 = f z i t h 1 ) ，如图2 2 由于占。= 中。，所以 叉 删( a + 口勺= ，磁。( a + 功 2 去- 。g 赤= 去t 。g 专 陋z z ， m o 拈= m d d 奢1 ( b ) = 小d 够( b ) = m 口妇( 口) 2 去b g 志= 击吨古 口z ， 7 图2 2 中。是共形映射，由于模是共形不变量，故有 m d c 执7 = 脚以4 又由( 2 - 1 9 ) 式，我们有 去崦詈咖舭去吨筹= 击吨c 秒 2 石k 。2 石9 硝)2 石” 7 因此， m 。硝= m 砒= 去- o g 詈 陆z 。， 所以，由( 2 2 2 ) ，( 2 ，2 3 ) ，( 2 2 4 ) 得 ，竹d d a + m d d 8 = ，竹o d ( a ”+ b 。) 由t b i c h m n i i c r 模定理可知a ，均为同心圆环如图2 3 所示 我们规定对所有的o r i ，巾，( 1 ) = 1 考虑： 中一：a 7 + 日7 - a + m 。：口7 把m 。限制在8 上，由上面的推理可知， 弋夕 即 是映满的共形映射 中。( b 7 ) = 矿 巾。：b _ 图2 3 冉考虑： 巾 。巾：。：_ 矿， 这里矿= 吒肛 i z l 1 ) ，且巾。m ：1 是映满的共形映射可以解析开拓到整个圆 盘，即 巾e 。m ：1 ：_ 则m 。中：1 为晒b i u s 变换 又由 中。中：1 ( o ) = o 中。m ：1 ( 1 ) = i 可知， 巾。m ：1 ( z ) = z 即巾是巾。的共形延拓已 l 考虑 d ，= z 卜 i m ，：，( d r ) - d 由上所证，我们令r - 0 ，得到一个共形映射 即 中。： o i z 1 ) _ o i 叫 1 ) 则z = o 是可去奇点补充定义中。( o ) = o ，则 吼： 1 ) _ 删 l 是共形映射，满足中。( o ) = o ( 1 ) = i 则 则对于任意r ，有 故 中o ( z ) = z 中，( z ) = z 图2 4 财，：_ ，把 i z | = r ) 映为 | 叫= r 。) ，把 h r 映为 i 叫 r ”) 故有 注记2 1 3 定理a 中即使条件( 日) 对形如( 2 3 ) 的所有同心扇形尺( ，研，岛) 成立，也有，( z ) 五z k ，五c 是常数 我们看下面的例子，设上( z ) = z i ，如图2 5 ，正将圆环a = z i h 吒) 映成 圆利= ” 小州，然腓一个t w i s t ，如f ( 删帅m 嚣詈) 映成 为( 内边界没动，外边界旋转了尝) o 图2 5 令，= f 。zt 由于作了一个t w i s t 后模会变大，故，仍然满足上述定理的条 件，但 厂( 肥。) = f ( ( 旭”) i ) r 一 f = pe 一 6z k 显然p 一16 不会是常数，故，( z ) 五z * ，五c ，二1 1i 定理8 设，( o ) 是单位圆到自身的保向同胚，满足规范条件，( 0 ) = o 若 ( n ) 对单位圆内所有形如( 2 一1 ) 的圆环尺( ，丘) 均满足 m d c 艉勋l o 彤( r ) ( 设r ，2 i 箩 i ，( z ) i ) 若存在点列 ) ，_ o ) 时 成立极限 l i m 上l p ( c ) 对单位圆内所有形如( 2 3 ) 的同心扇形尺( ，吒，研，g ) 均满足 m o d ，( r ) 专m o d 尺 则，( z ) = 五。i ，( h _ 1 ) 证明 若，( z ) 满足( ) 和( 6 ) ，根据定理a 可知，( z ) 将圆环r ： h t 映 成匮环尺： f 叫掣 如图2 6 ，单位圆内的一条直径将圆环r 分为两部分， 记为a 、b ，通过，( z ) 分别映为a 、b 图2 6 由于有， m o d a ，l m o d a m o d b ，上m o d 占 m 。d ( a “) 2 去l 。g ( 詈) ( 2 _ 2 5 ) 下面我们取凿线族r 为连接圆环的两个边界分支的所有局部可求长曲线，此 时扇形或圆环的模就变为倒数了 由定理1 1 6 有 磊b + 而而矗丽 ( z - 2 6 ) 而+ 而磊赢i 丽百 2 2 6 ) 又由t c i c h m n l l e r 模定理。 l + l ： !：二生 ( 2 2 7 ) m o d a m o d b m o d ( a + 日) i o g 鱼 所以由( 2 2 5 ) ，( 2 2 6 ) ，( 2 2 7 ) 有， k 毒志+ 志面岛2 差 l 嘴量 m o d a 7m o d 8 7 m o d ( a + 8 ) l o g 三 lll 而+ 丽2 面面i 丽5 由t e i c h m 叫e r 模定理可知，分隔a 、b 直线也就是说，( z ) 将直径映成为 直径，图2 6 中的是旋转，因此 ，( z ) = 五z i ，( 川= 1 ) # 注：由上述证明过程可知，图2 6 中只要产生很小的t w i s t 都有 l ，( z ) 兄z i ，( i 五i = 1 ) 定理b 中，当k ：l 时，( z ) = 五z ，( h = 1 ) 这一结论推f j ，s c h w a r z 引理 参考文献 1 李忠，拟共形映射及其在黎曼曲面中的应用，科学出版社，1 9 8 8 2 李忠，复分析导引，北京大学出版社，2 0 0 4 3 】l v a h i f o r s ，厶比f 螂饥g l 盯泐，咖耐嗍啦弘v h nn o s t r a n d ，p r i n c e t o n ，1 9 6 6 【4 】f w g e m n ga n do l e h t o ，m 玩幻缸fd 妒陀n 出6 啦f 矿户m 助h 矿4c d 唧奴 化砌占幺a n n a c a d s c i f e n n ，ai ( 1 9 5 9 ) 2 7 2 5 】fp - g a r d l n e ra n dn i k o l al a k i c ，q 舭础d 咖删呸如丘，棚历r 嘞9 ，a m s ，2 0 0 0 6 1fw g e h r i n ga n dj v i i s j l a ，肌盹俨伽叻记匀雠砌h 户7 9 螂幻，咖m “榭卵呖 c o m m e n t m a t h h e l v 3 6 ( 1 9 6 2 ) ，1 9 - 3 2 【7 】h z h u ，z z h o ua n dc h e ，畹幽桃比心口痂牡矿g 肮碰0 ，r d 后加m4 面舢以j f u d a f iu n i v 3 8 ( 1 9 9 9 ) ，2 0 5 2 0 7 【8 】z g c h e n ，每阳批础缸础把比4 痂h 户r 咖m 卵。垆口盯面碰舢跏7 卿“缈s t u d i a m a m 。1 5 7 ( t ) ( 2 0 0 3 ) ，7l 一8 2 9 】o l e h t oa n dk i v i r t a n c n q 岬幻咖耐唧i ，叼m 池，缸，l 厶s p r i n g c r ，b e 岫t 9 7 3 i o 】c u ig u i z h e n ，加圯矿面9 叫唧亡口砬咖圯励脚聊吁概榭矿盹c 以摩口村彘浙栅白 # 呻端s c i e n c ei nc h i n a ，v 0 i4 3 ，2 6 7 2 7 9 ( 2 0 0 0 ) 1 1 ljm a r t i n s 且玎m 如砌雌缈冠业脚理n j 啦吻e 6 m 止龇圪柑4 材m 舭叩4 蛳 s p r i n g e f ，b e r h n ，1 9 8 9 【1 2 ，y m c h i ，ia 嘣m a s a t l i k o ，_ t mm 打耐k 砌恕幻砒耻如r s 阳旧，s 两n g e l b e f l i n ，1 9 9