作业及答案08.pdf

目录目录 作业 一 1 作业 二 2 作业 三 0 作业 四 3 作业 五 6 作业 六 7 作业 七 9 作业 八 11 作业 九 14 作业 十 18 作业 十一 20 作业 十二 23 作业 十三 31 1 作业 一 作业 一 1 1 根据方程 1 1 导出普适气体常数根据方程 1 1 导出普适气体常数R的单位的单位 22 msK 答案 2 22 23 1 N kg m s RNkg RN m pTKRRmsK mkg K mm 2 作业 二 作业 二 2 2 考虑一块薄板 其弦长为 考虑一块薄板 其弦长为 b b 放在超音速来流中 功角是 放在超音速来流中 功角是 其上下表 面的压力不同 但是分别是常数 其上下表 面的压力不同 但是分别是常数 1u psc 2l psc 这里 这里 12 c c都是常 数 而且 都是常 数 而且 21 cc 忽略剪切应力 计算压力中心 3 忽略剪切应力 计算压力中心 3 33 页 1 4 4 33 页 1 4 4 34 页 1 7 34 页 1 7 解 2 考虑一块薄板 其弦长为 b 放在超音速来流中 功角是 其上下表面 的压力不同 但是分别是常数 1u psc 2l psc 这里 12 c c都是常数 而且 21 cc 忽略剪切应力 计算压力中心 该问题的图示如图 图 题 的示意图 薄板所受的法向力N 轴向力A以及分布力对前缘的力矩 LE M 如图 所示 图 2 薄板受力分析示意图 v b 1u psc 2l psc 前缘 后缘 v b A LE M 3 根据翼形表面已知压强分布和减切应力分布所导出的法向力 轴向力以及分布 力对前缘点的力矩计算公式 有 2121 0000 000 0 bbbb ul luullu bbb ulul ululul dydy Npp dxdxpp dxcc dxcc b dxdx dydydydy Appdxdxppdx dxdxdxdx 00 00 2 12 0 1 2 bb uull LEuuuuuullllll bb ul uuulll b ul dydydydy Mp xyxp ydxp xyp yxdx dxdxdxdx dydy p xp ydxp xp ydx dxdx p xp x dxccb 由压力中心的定义 弦线上使分布在翼型表面的气动载荷 压强和剪切应力 的总力矩为零的点 可得压力中心距前缘点的距离为 2 12 21 1 2 2 LE cp ccb Mb x cc bN 3 33 页 1 4 4 34 页 1 7 4 5 作业 三 作业 三 5 5 为标量 为标量 a 为矢量 试在笛卡尔坐标系中证明以下式子成立 1 为矢量 试在笛卡尔坐标系中证明以下式子成立 1 aaa 2 2 222 222 xyz 3 3 0 4 4 0a 解 笛卡尔坐标系 直角坐标系 下的一些基础知识 梯度算子 ijk xyz 标量 的梯度为一矢量 gradijk xyz 矢量a 的散度为一标量 y xz a aa adiva xyz 矢量a 的旋度为一矢量 yy xxzz xyz ijk aa aaaa acurlarotaijk xyzyzzxxy aaa 证明 aaa 证 证 xyz xyz y xz xyz aa ia ja k aaa xyz a aa aaa xxyyzz y xz xyz y xz xyz a aa aaa xyzxyz a aa aaa xyzxyz 1 xyz aaaa xyz aa 证明 222 222 xyz 证 222 222 ijk xyz xyz xyz 证明 0 证 222 ijk xyz ijk xyz xyz ijk yzzyxzzxxyyx i y zz yx 222 222222 0 jk zz xx yy x ijk z yz yz xz xy xy x 证明 0a 证 2 22 222 xyz yy xxzz yy xxzz y xzz ijk a xyz aaa aa aaaa ijk yzzxxy aa aaaa xyzyzxzxy a aaa x yx zy zy x 2 22 2222 22 2222 0 y x yy xxzz yy xxzz a a z xz y aa aaaa x yy xz xx zy zz y aa aaaa y xy xx zx zz yz y 3 作业 四 作业 四 6 6 设速度设速度0v 说明下列各式的物理意义 说明下列各式的物理意义 0 0 0 dvv vv dtt 7 7 已知速度场的分布为已知速度场的分布为 0uyzt vzxt w 问当 问当10t 秒时质点在 2 5 3 点处的加速度是多少 8 秒时质点在 2 5 3 点处的加速度是多少 8 试用运动的流体微团来推导速度散度的物理意义 即 试用运动的流体微团来推导速度散度的物理意义 即 1 D v V vDt 解 6 设速度0v 说明下列各式的物理意义 0 0 0 dvv vv dtt 0 dv dt 说明加速度为 0 dv dt 说明当地加速度为 速度场为定常场 0vv 说明牵连加速度为 沿速度方向速度的变化为 因为 0 v vvv v 7 已知速度场的分布为 0uyzt vzxt w 问当10t 秒时质点在 2 5 3 点 处的加速度是多少 利用物质导数 随体导数 公式 速度V 加速度可表达为 DVV aVV Dtt 其分量表达式为 x y z Duuuuuu aVuuvw Dtttxyz Dvvvvvv aVvuvw Dtttxyz Dwwwwww aVwuvw Dtttxyz 针对本题 将速度分量分别代人上面 个加速度分量表达式 可得 4 001815 004506 00000 x y z uuuu auvwyzzxtzt txyz vvvv auvwzxyztzt txyz wwww auvw txyz 即 加速度为 18154506aij 8 试用运动的流体微团来推导速度散度的物理意义 5 6 作业 五 作业 五 9 9 解 7 作业 六 作业 六 10 10 根据公式 2 32 或 2 39 推导一维定常无粘流动的动量方程 不考 虑彻体力 根据公式 2 32 或 2 39 推导一维定常无粘流动的动量方程 不考 虑彻体力 11 11 70 页 2 170 页 2 1 12 12 71 页 2 1171 页 2 11 解 10 根据公式 2 32 或 2 39 推导一维定常无粘流动的动量方程 不考虑 彻体力 11 70 页 2 1 12 71 页 2 11 8 9 作业 七 作业 七 13 13 70 页 2 2 14 70 页 2 2 14 70 页 2 3 15 70 页 2 3 15 70 页 2 4 16 70 页 2 4 16 70 页 2 5 70 页 2 5 解 13 70 页 2 2 14 70 页 2 3 15 70 页 2 4 10 16 70 页 2 5 r 11 作业 八 作业 八 17 17 71 页 2 6 18 71 页 2 6 18 71 页 2 7 19 71 页 2 7 19 已知二维定常不可压缩流动的速度分布为 已知二维定常不可压缩流动的速度分布为 22 3 uxy 6vxy 求流函 数并画出流场中的流线 至少 3 条 求流函 数并画出流场中的流线 至少 3 条 解 17 71 页 2 6 18 71 页 2 7 19 已知二维定常不可压缩流动的速度分布为 22 3 uxy 6vxy 求流函数 并画出流场中的流线 至少 3 条 12 流函数存在的条件是二维不可压缩流动 题中已经给定是二维不可压缩流动 因此 流函数存在 求流函数也可以用两种方法 建议对方法二不是很熟的同学还是使用方法一比 较安全 可靠 方法一 根据流函数与速度间的关系直接对各个偏微分积分 因为 u y v x 代入已知的速度分量 有 22 3 6 uxy y vxy x 对上述两个方程分别积分 有 222223 11 2 22 3 33 6 63 xyx yxydyfxx yyfx y xyx yxydxfyx yfy x 比较上述两式 可得流函数 23 3x yx yy 方法二 根据速度流函数的全微分表达式 求与路径无关的曲线积分 切记 该方法必须选择恰当的积分路径 流函数的全微分表达式 dx ydxdyvdxudy xy 全微分的曲线积分与所选取的曲线 路径 无关 选任意曲线 01 M M 如下图所 示 0000 0 0MxyM 积分路径为 0 00 00001 dydx yyx x MxyA x yMx y 因此 对流函数的全微分方程沿曲线 01 M M和图中所示路径进行与路径无关的曲 线积分 有 13 11 000000 0 0000 0 00 0 22 0 0 0 23 0 0 23 603 03 3 Mx yMx y MxyMxy A x yM x y MxyA x y A xM x y MA x y x x yxy dx yvdxudy vdxudy xdxxydy x yy x yy 因为 00 xy为任选的初始常数 而常数对流函数的物理意义没有影响 因此 流 函数为 23 3x yx yy 下图中即为该流函数所绘出的流线 等值线 取其中常数3a 1 Mx y x y 000 Mxy 0 A x y 14 作业 九 作业 九 20 20 71 页 2 10 21 71 页 2 10 21 已知下列二维定常不可压缩流动的速度分布 已知下列二维定常不可压缩流动的速度分布 22 3 uxy 6vxy 求位 函数 并画出等位线 至少 3 条 此题即上次作业八中的第 3 题的另一个 问题 求位 函数 并画出等位线 至少 3 条 此题即上次作业八中的第 3 题的另一个 问题 解 20 71 页 2 10 21 位函数存在的条件是速度的旋度为 0 下面验证给定的速度分布是否无旋 15 22 0063 0066 0 ijk VcurlV xyz uvw wvuwvu ijk yzzxxy ijxyxyk xy ijyy k 速度的旋度为 0 即流场处处无旋 求速度位函数可以用两种方法 建议对方法二不是很熟的同学还是使用方法一 比较安全 可靠 方法一 根据速度位函数与速度间的关系直接对各个偏微分积分 因为 Vgrad 其分量表达式为 u x v y w z 代入已知的速度分量 有 22 3 6 xy x xy y 对上述两个方程分别积分 有 222232 11 2 22 3 33 6 63 xyx y zxydxfyxxyfy x xyx y zxydyfxxyfx y 比较上述两式 可得位函数 32 3x yxxy 方法二 根据速度位函数的全微分表达式 求与路径无关的曲线积分 切记 该方法必须选择恰当的积分路径 速度位函数的全微分表达式 16 dx ydxdyudxvdy xy 全微分的曲线积分与所选取的曲线 路径 无关 选任意曲线 01 M M 如下图所 示 0000 0 0MxyM 积分路径为 0 00 00001 dydx yyx x MxyA x yMx y 因此 对位函数的全微分方程沿曲线 01 M M和图中所示路径进行与路径无关的曲 线积分 有 11 000000 0 0000 0 00 0 22 0 0 0 32 00 32 306 3 3 Mx yMx y MxyMxy A x yM x y MxyB x y A xM x y MA x xy x yxy dx yudxvdy udxvdy xdxxydy xxy xxy 因为 00 xy为任选的初始常数 而常数对位函数的物理意义没有影响 因此 位 函数为 32 3x yxxy 下图中的实线即为该位函数所绘出的等位线 取其中常数3a 1 Mx y x y 000 Mxy 0 A x y 17 18 作业 十 作业 十 22 22 解 19 20 作业 十一 作业 十一 23 23 已知某二维不可压缩无旋流动在极坐标系下的速度分布 已知某二维不可压缩无旋流动在极坐标系下的速度分布 1 2 r v r 0v 求该流动所对应的位函数与流函数 并在同一图中绘出流线与等位线 至 少各 4 条 24 求该流动所对应的位函数与流函数 并在同一图中绘出流线与等位线 至 少各 4 条 24 已知已知 1 和和 2 是拉普拉斯方程的两个解 证明 是拉普拉斯方程的两个解 证明 1 2 也是拉普拉斯方程的解 也是拉普拉斯方程的解 解 23 已知某二维不可压缩无旋流动在极坐标系下的速度分布 1 2 r v r 0v 求该流动所对应的位函数与流函数 并在同一图中绘出流线与等位线 至少各