线性代数第二章习题部分答案.doc

第二章 向量组的线性相关性2-1 2-2 n维向量，线性相关与线性无关（一）一、 填空题1. 设31-+22+=53+, 其中1=(2,5,1,3)T, 2=(10,1,5,10)T, 3=(4,1,-1,1)T, 则= (1,2,3,4)T .2. 设1=(1,1,1)T, 2=(2,1,1)T,3=(0,2,4)T, 则线性组合1-32+3= (-5,0,2)T .3. 设矩阵A=137240115，设i为矩阵A的第i个列向量，则21+2-3= (-2,8,-2)T .二、 试确定下列向量组的线性相关性1. 1=(2,1,0)T, 2=(1,2,1)T, 3=(1,1,1)T解：设k11+k22+k33=0, 则k1210+k2121+k3111=0即2k1+k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0-3k2-k3=0k2+k3=0k1+2k2+k3=0k2+k3=0k3=0k1=k2=k3=0，线性无关。2. 1=(1,-1,2)T, 2=(0,0,0)T, 3=(1,4,3)T线性相关三、设有向量组1=(1,1,0)T, 2=(1,3,-1)T, 3=(5,-3,t)T，问t取何值时该向量组线性相关。解：设k11+k22+k33=0, 则k1110+k213-1+k35-3t=0即k1+k2+5k3=0k1+3k2-3k3=0-k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k2-4k3=0-k2+tk3=0k1+k2+5k3=0k1+3k2-3k3=0(t-4)k3=0所以，t=4, 线性相关; t4, 线性无关四、设 a1,a2线性无关，a1+b,a2+b线性相关，求向量b用a1,a2线性表示的表示式。解：因为a1+b,a2+b线性相关，所以存在不全为零的k1，k2，使得k1(a1+b)+k2(a2+b)=0, 即(k1+k2)b=-k1a1-k2a2.又因为a1,a2线性无关，所以k1+k20，于是，b=-k1k1+k2a1-k2k1+k2a2.五、已知向量组1,2,2n，令1=1+2, 2=2+3,2n=2n+1，求证向量组1, 2,2n线性相关。解：因为1-2+3-4+2n-1-2n=0，所以，向量组1, 2,2n线性相关。2-2线性相关与线性无关（二）一、 设a1,a2线性相关，b1,b2线性相关，问a1+b1,a2+b2是否一定线性相关？并举例说明之。解：取a1=00,a2=10, b1=00,b2=01. a1+b1,a2+b2线性相关。取a1=00,a2=10, b1=01,b2=00. a1+b1,a2+b2线性无关。二、举例说明下列各命题是错误的：1若向量组a1,a2,am是线性相关的，则a1可由a2,am线性表示。解：取a1=10,a2=00.2若有不全为0的数1，2，m,使 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 成立，则a1,a2,am是线性相关，b1,b2,bm是线性相关.解：取a1=01,a2=10, b1=10,b2=01.3 若只有当1，2，m全为0时，等式 1a1+2a2+mam+1b1+2b2+mbm=0 才能成立，则a1,a2,am是线性无关，b1,b2,bm是线性无关。解：取a1=00,a2=10, b1=01,b2=00.4若a1,a2,am是线性相关，b1,b2,bm是线性相关，则有不全为0的数1，2，m，使1a1+2a2+mam=0，1b1+2b2+mbm=0同时成立。解：取a1=20,a2=10, b1=10,b2=10.三、 设向量组a1,a2,am线性相关，且a10,证明存在某个向量ak(2km)，使ak能由a1,ak-1线性表示。证明：因为向量组a1,a2,am线性相关，所以存在不全为零的1，2，,m使得1a1+2a2+mam=0。设1，2，,m中最后一个不为零的数是k，即k0，k+1=0,m=0，又因为a10，所以，k1。即有k0(2km)，使得1a1+2a2+kak=0，于是，ak=-1ka1+-2ka2+-k-1kak-1，命题得证。四、 已知Ra1,a2,a3=2,Ra2,a3,a4=3,证明：（1）a1能由a2,a3线性表示。（2）a4不能由a1,a2,a3线性表示。证明：（1）因为Ra2,a3,a4=3，所以a2,a3,a4线性无关，由定理1知a2,a3也线性无关；又因为Ra1,a2,a3=2，所以，a1,a2,a3线性相关，由定理3得a1能由a2,a3线性表示。（2）反证法。假设a4能由a1,a2,a3线性表示。再利用（1）的结果，可推出a4能由a2,a3线性表示，由定理2得a2,a3,a4线性相关，与Ra2,a3,a4=3矛盾。所以，a4不能由a1,a2,a3线性表示。五、 设b1=a1,b2=a1+a2, br=a1+a2+ar，且向量a1,a2,ar线性无关，证明向量组b1，b2，br线性无关。证明：设k1b1+k2b2+，krbr=0 ，则k1a1+k2(a1+a2)+，kr(a1+a2+ar)=0(k1+k2+kr)a1+(k2+kr)a2+krar=0而向量a1,a2,ar线性无关，所以，k1+k2+kr=0k2+kr=0kr=0k1=0k2=0kr=0所以，向量组b1，b2，br线性无关。2-3 极大无关组（一）一、 证明n阶单位矩阵的秩为n.证明：n阶单位矩阵的列向量组为ei=(0,0,1,0,0)T,i=1,n, 设k1e1+k2e2+knen=0, 则k1100+k2010+kn001=000k1k2kn=000k1=0k2=0kr=0所以，e1,e2,en线性无关，秩为n，则n阶单位矩阵的秩为n.二、 设矩阵A=a11a120a22a1na2n00ann(其中a11a22ann0)则RA=n.证明：设矩阵A的列向量组为a1=a1100,a2=a12a220,an=a1na2nann设k1a1+k2a2+knan=0, 则k1a1100+k2a12a220+kna1na2nann=000k1a11+k2a12+kna1nk2a22+kna2nknann=000k1=0k2=0kn=0所以，a1,a2,an线性无关，秩为n，则RA=n.三、 求下列向量组的秩1. 1=(1,-1,0)T, 2=(2,1,1)T, 3=(1,3,-1)TR=3 2. 1=(1,2,1,3)T, 2=(4,-1,-5,-6)T, 3=(1,-3,-4,-7)T解：A=(1,2,3)=1 4 12-1-31-5-43-6-7r2-2r1r3-r1r4-3r11 4 10 -9 -50 -9 -50-18-10r3-r2r4-2r21 4 10-9 -50 0 00 0 0所以，R (1,2,3)=2, 1,2为极大无关组。四、 设a1,a2,an是一组n维向量，已知n维单位坐标向量e1,e2,en能由它们线性表示，证明a1,a2,an线性无关。证明：因为n维单位坐标向量e1,e2,en能由a1,a2,an线性表示，所以，R(e1,e2,en)R(a1,a2,an)，而Re1,e2,en=n，R(a1,a2,an)n，所以，Ra1,a2,an=n，于是，a1,a2,an线性无关。五、 设a1,a2,an是一组n维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是：任一n维向量都可由它们线性表示。证明：充分性：如果任一n维向量都可由a1,a2,an线性表示，则n维单位坐标向量e1,e2,en能由a1,a2,an线性表示，利用上一题的结果，a1,a2,an线性无关。必要性：如果a1,a2,an线性无关，对于任一n维向量a.如果a=ai(i=1,2, ,n),则a=0a1+0ai-1+1ai+0ai+1+0an，所以，向量a能由a1,a2,an线性表示。如果aai(i=1,2, ,n)，则a,a1,a2,an这n+1个n维向量线性相关，而a1,a2,an线性无关，由定理3得向量a能由a1,a2,an线性表示。（另证：如果a1,a2,an线性无关，而Rn的维数是n，所以a1,a2,an为Rn的一组基，所以Rn中的一n维向量都可由它们线性表示。）2-3 极大无关组（二）一、 设A,B为同阶矩阵，求证RA+BR(A,B)RA+R(B)。证明：设A的列向量组为a1，a2，an，极大无关组为a1，a2，as；B的列向量组为b1，b2，bn，极大无关组为b1，b2，br. 则A+B的列向量组为a1+b1，a2+b2，an+bn能由(A,B)的列向量组a1，a2，an，b1，b2，bn线性表示，所以，RA+BR(A,B). 又(A,B)的列向量组a1，a2，an，b1，b2，bn能由a1，a2，as，b1，b2，br，所以，RA,BR(a1，as，b1，br)s+r=RA+R(B).二、设向量组B:b1，b2，br能由向量组A:a1，a2，as线性表示 （b1，b2，br）=a1，a2，asK其中K为st矩阵，且A线性无关。证明B线性无关的充分表要条件是矩阵K的秩为RK=r.证明若组线性无关令则有由定理知由组:线性无关知，故.又知为阶矩阵则由于向量组:能由向量组:线性表示,则综上所述知即若,则的列向两组线性无关。令,其中为实数则有又, 则由于线性无关, 所以.由的列向两组线性无关知三、设1= a2+a3+an2= a1 +a3+ann= a1+ a2+an-1证明：向量组a1,a2,an与向量组1,2,n等价。证明：因为1= 0a1+a2+a3+an2= a1+0a2+a3+ann= a1+ a2+an-1+0an所以，向量组1,2,n可以由向量组a1,a2,an线性表示。把1= a2+a3+an2= a1 +a3+ann= a1+ a2+an-1各式相加后得1+2+n=n-1 a1+ a2+an 1n-1(1+2+n)= a1+ a2+an可得a1= 1n-1(1+2+n)-1a2= 1n-1(1+2+n)-2an= 1n-1(1+2+n)-n所以，向量组a1,a2,an可以由向量组1,2,n线性表示。由上，向量组a1,a2,an与向量组1,2,n等价。四、已知3阶矩阵A与3维列向量x满足A3x=3Ax-A2x，且向量组x,Ax,A2x线性无关，记 P=(x,Ax,A2x)，求3阶矩阵B使AP=PB.提示：B=00 010 301-12-4，2-5 向量空间，内积与标准正交基一、设V1=x=x1,x2,xnT|x1+x2+xn=0, V2=x=x1,x2,xnT|x1+x2+xn=1, V3=x=x1,x2,xnT|x1=2x2,x3=4x4,问V1, V2, V3是不是向量空间，为什么？答： V1是，V2不是，V3是二、 验证：1=(0,1,1)T, 2=(1,0,1)T, 3=(1,1,0)T为R3的一个基, 并把 =(2,5,8)T用这个基线性表示.解：(1,2,3,)= 011011121508r1r2r3-r1r4-3r11001011512-13 r3-r2r3(-12)r4-3r110010015121-1/2r2-r3r1-r3100100011/205/21-1/2所以，=1121+522-123.三、 证明Rn中不存在n+1个线性无关的向量，从而Rn中不存在n+1个两两正交的非零向量。证明：因为Rn的维数是n，所以Rn中不存在n+1个线性无关的向量。又因为两两正交的非零向量，Rn中不存在n+1个两两正交的非零向量。四、用施密特法把下列向量组规范正交化1,2,3=111124139解：1=1=111；2=2-(1,2)(1,1)1=123-63111=-1013=3-1,31,11-2,32,22 =149-143111-82-101=131-21所以，e1=(13,13,13)T, e2=(-12,0,12)T, e3=(16,-26,16)T.六、证明下列各题(1) x为n维列向量，且xTx=1,求证：H=E-2xxT是对称的正交阵。(2) 设A,B为同阶正交阵，证明：AB也是正交阵。证明：(1) HT=E-2xxTT=ET-2(xT)TxT=E-2xxT=H ，H对称；HTH= E-2xxTE-2xxT=E-4xxT+4x(xTx)xT=E，H正交。(2) 因为A,B为同阶正交阵，所以，ATA=E，BTB=E，于是，ABTAB=BTATAB=BTB=E，所以，AB也是正交阵。复习题一、设1=(1,1,0)T, 2=(0,1,1)T,3=(3,4,0)T, 求31+22-3.二、设=(3,-1,6,0)T, =(-1,2,4,2)T,=(1,0,0,-1)T, 求-+2.三、向量是否为向量组1,2,3的线性组合？若是，写出一个线性表达式.四、设1=1, 2=1+2,k=1+2+k ,向量组1,2,k线性无关，求证：向量组1, 2,k也线性无关。五、 求下列向量组的秩，并求出一个最大无关组1、 1=(2,4,2)T, 2=(-1,-2,-1)T, 3=(3,5,2)T2、 1=(1,0,-2,1)T, 2=(3,1,0,-1)T, 3=(1,1,4,-3)T, 4=(3,0,10,3)T3、 1=(1.0,1,0,1)T, 2=(0,1,1,0,1)T, 3=(1,1,0,0,1)T, 4=(-3,-2,3,0,1)T六、设有矩阵Anm, Bmn，且nm。若AB=E，试证明B的列向量组线性无关。七、已知1,2,3及1=1, 2=1+2,3=1+3，证明：R1,2,3=R(1, 2,3).八、设A为n阶方阵，试证：（1）RA=R(-A);（2）RA+R(A+E)n九、问t取何值时，向量组1=(t,-1,-1)T,2=(-1,t,-1)T,3=(-1,-1,t)T线性相关。十、设a=(a1,a2,a3)T,b=(b1,b2,b3)T,c=(c1,c2,c3)T,证明三直线li:aix+biy+ciz=0, 且ai2+bi20,i=1,2,3;相交于一点的充分必要条件为：向量组a,b线性无关且a,b,c线性相关.十一、设有向量组A:1=(1,2,-3)T, 2=(3,0,1)T, 3=(9,6,-7)T;向量组B:1=(0,1,-1)T, 2=(a,2,1)T, 3=(b,1,0)T的秩相等且3可由组A线性表示，求a,b的值十二、已知=(1,0,5)T，求在下列3维向量空间R3的基下的坐标1. 1=(0,0,1)T, 2=(0,1,1)T, 3=(1,1,1)T2. 1=(1,2,1)T, 2=(2,3,3)T, 3=(3,7,1)T自测题（A）一、设1=(1,1,1)T, 2=(2,1,0)T,3=(3,4,5)T, 计算1-2, 31+22-3二、已知三维向量满足2+(1,2,4)T-12(0,1,-1)T=(5,0,2)T 求.三、 讨论下列向量组的线性相关性 1. 1=(1,0,1)T, 2=(x,0,1)T, 3=(0,1,1)T 2. 1=(1,1,3,1)T, 2=(4,1,-3,2)T, 3=(1,0,-1,2)T四、求下列矩阵的列向量组的秩及一个最大无关组A= 1-2-1 1-2-1 2-1 0333 2-4-2 0 -3 23-3 2 3 34 5四、 验证1=(1,-1,0)T, 2=(2,1,3)T,3=(3,1,2)T为R3的一个基，并求=(1,1,1)T在这组基下的坐标.自测题(B)一、单项选择题1. 设向量组1,2,3线性无关，1可由1,2,3线性表示，2不能1,2,3由线性表示，则对于任意常数k 必有（ ）（A）1,2,3, k1+2线性无关 （B）1,2,3, k1+2线性相关 （C）1,2,3, 1+k2线性无关 （D）1,2,3, 1+k2线性相关 2. 设向量组A: 1, 2,r可由向量组B: 1, 2,s线性表示，则（ ）（A）当rs 时，B组必线性相关（C）当rs 时，A组必线性相关3. 设1=(1,-1,2,4)T,2=(0,3,1,2)T,3=(3,0,7,14)T, 4=