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文档简介
第一讲 偏好、效用平新乔微观经济学十八讲答案EatingNoodles第一讲 偏好、效用与消费者的基本问题1 根据下面的描述,画出消费者地无差异曲线对于1.2和1.3题,写出效用函数1.1 王力喜欢喝汽水,但是厌恶吃冰棍可能的一个无差异曲线是这样:1.2 李楠既喜欢喝汽水,又喜欢吃冰棍,但她认为三杯汽水和两根冰棍是无差异的只要满足(0,2)和(3,0)在同一条无差异曲线上就符合题目要求可能的一个无差异曲线是这样:321.3 萧峰有个习惯,它每喝一杯汽水就要吃两根冰棍,当然汽水和冰棍对他而言是多多益善效用函数为1.4 杨琳对于有无汽水喝毫不在意,但她喜欢吃冰棍效用函数为2 作图:如果一个人的效用函数为:2.1 请画出三条无差异曲线(10,0)2.2 如果,请在图上找出该消费者的最优的消费组合在图中,赭色直线是预算线与之有公共点集的唯一最高无差异曲线是过点(10,0)的那条无差异曲线(上图中为橙线)消费者的最优的消费选择是(10,0)3 下列说法对吗?为什么?若某个消费者的偏好可以由效用函数来描述,那么对此消费者而言,商品1和商品2是完全替代的说明:本章没有完全替代商品的定义范里安的书上给出的完全替代是拿作为例子本题的思路是说明两个效用函数在偏好的描述上是等价的答:令,由单调变换的定义知,与是同一个偏好的效用函数且,即所描述的偏好中,商品1与商品2是完全替代的因此所描述的偏好中,商品1与商品2是完全替代的4 若某个消费者的效用函数为,其中,4.1 证明:与的边际效用都递减证明:对取二阶偏导,得到因此的边际效用是递减的同理,的边际效用也是递减的4.2 请给出一个效用函数形式,使该形式不具备边际效用递减的性质答:可能的一个效用函数是5 常见的常替代弹性效用函数形式为请证明:5.1 当,该效用函数为线性证明:当时,效用函数为,此时,函数是线性的5.2 当时,该效用函数趋近于说明:如果,该效用函数在时发散,如果,那么函数在时极限为5.3 当时,该效用函数趋近于证明:令,则的一个单调变换结果是当时,;同理,当时,有当时,有综上所述,当时,原效用函数描述的偏好关系趋近于所描述的偏好关系如果与满足,那么当时,同时有效用函数,趋近于以下效用函数注我们可以发现该效用函数的边际替代率当时,边际替代率趋近于,即为完全替代效用下的边际替代率;时,趋近于,即柯布道格拉斯效用下的边际替代率;时,若,趋近于0,若,趋近于正无穷,即完全互补品的边际替代率6 茜茜总喜欢在每一杯咖啡里加两汤匙糖如果每汤匙糖的价格是,每杯咖啡的价格是,她有元可以花在咖啡和糖上,那么她将打算购买多少咖啡和糖?如果价格变为和,对她关于咖啡和糖的消费会发生什么影响?解:咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品,即她的效用函数可以表示为(假设她的偏好满足单调性):其中,代表咖啡的量,以杯为单位;表示糖的量,以汤匙为单位很明显,她的最优选择必然是(*)考虑,那么“多”出来的糖或者咖啡不会让茜茜觉得更好,反而还浪费了还不如将买“多”出来的糖或咖啡的钱用来买咖啡或糖使得她面临的约束条件为:由于她的偏好是单调的,而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和(或)糖,因此她的最优选择必然在预算线上也就是说,她的约束条件可以表达为:(*)综合*与*式,可以得到,如果价格变成和,同样可以得到,咖啡和糖的消费比例不会发生变化注 严格地说,一般地,约束条件应该写成,但只要效用满足局部不厌足性,我们就可以将写成;同时,在十八讲的习题里我们遇到的大多数效用函数下,最优的和都是严格大于零的,因此,在这样的条件下,我们也可以省略,在后面,如非特别说明,我们的约束条件均仅仅写成7 令为偏好关系,为严格偏好关系,为无差异关系证明下列关系说明:本题的解答仅作参考我不认为类似“=”是一个规范的表达方式,也许它的本意是对任意消费束的无差异集均属于它的弱偏好集其余符号的解释与以上类似7.1 说明:此题的含义是,弱偏好集是唯一的(如果按照上面的解读)7.2 =证明:7.3 证明:7.4 证明:8 证明下列结论(或用具说服力的说理证明)8.1 与都不具有完备性说明:严格偏好关系真包含于偏好关系,而偏好关系是完备的,因此,严格偏好关系不具有完备性同理可以说明无差异关系也不具有完备性8.2 满足反身性说明:如果无差异关系不具有完备性,那么根据无差异关系的定义,则必存在一个消费束严格偏好于它自身,也就是说,这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本身,这是矛盾的8.3 严格偏好关系不满足反身性说明:如果严格偏好关系满足反身性,那么根据严格偏好关系的定义,则对任一对消费束a, b,如果a严格偏好于b,则说明b不可能偏好于a;而根据假设b严格偏好于a,b必然偏好于a因此它们是矛盾的8.4 对于任何中的与,在下列关系中,只能居其一:,或说明:根据8.3的说明,与不可能同时成立,那么,当和同时不成立的时候,必有且,即9 一个只消费两类物品的消费者面临正的价格,其拥有正的收入,他的效用函数为:导出其马歇尔需求函数解:本题的最大化问题为由约束条件知当时,有最大值此时,的消费量为即,马歇尔需求函数为=,注 以后所称“需求函数”,若非特别说明,均为马歇尔需求函数10 一个人的效用函数为,这里,假定存在内点解,请导出其马歇尔效用函数解:本题的最大化问题为其拉格朗日函数为使最大化的,满足一阶条件:,(1),(2)(3)将1式除以2式,得,即;(4)代4式入3式,得;(5)代5式入4式,得(6)5与6式即为与的马歇尔需求函数注该效用函数称为柯布道格拉斯效用函数记住以下这个结论是很有用的,若效用函数形如,那么在约束条件下,需求函数为,在以后的计算中我将直接使用这个结论
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