等边三角形的判定与性质难题.doc

等边三角形的判定与性质难题一、选择题（共1小题）1（2006曲靖）如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（）A25B30C45D60二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是_三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3如图，P是等边ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5求AC24如图（1），ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由5（2008朝阳区二模）已知：在等边ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得DGH是等边三角形”成立（如图），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论6如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则PMC是_三角形；（3）若PA：PB：PC=1：，试判断PMC的形状，并说明理由7（2006徐州）如图1，ABC为等边三角形，面积为SD1、E1、F1分别是ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得D1E1F1是等边三角形，此时AD1F1的面积S1=S，D1E1F1的面积S1=S（1）当D2、E2、F2分别是等边ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，求证：D2E2F2是等边三角形；若用S表示AD2F2的面积S2，则S2=_；若用S表示D2E2F2的面积S2，则S2=_（2）按照上述思路探索下去，并填空：当Dn、En、Fn分别是等边ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=AB时，（n为正整数）DnEnFn是_三角形；若用S表示ADnFn的面积Sn，则Sn=_；若用S表示DnEnFn的面积Sn，则Sn=_8（2009莆田）已知：等边ABC的边长为a探究（1）：如图1，过等边ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成MNG，求证：MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E、F如图2，若点O是ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1 OD+OE+OF=a；结论2 AD+BE+CF=a；如图3，若点O是等边ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由【考点训练】等边三角形的判定与性质-1参考答案与试题解析一、选择题（共1小题）1（2006曲靖）如图，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则A等于（）A25B30C45D60考点：等边三角形的判定与性质菁优网版权所有分析：先根据图形折叠的性质得出BC=CE，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可得出CE=AE=BE，进而可判断出BEC是等边三角形，由等边三角形的性质及直角三角形两锐角互补的性质即可得出结论解答：解：ABC沿CD折叠B与E重合，则BC=CE，E为AB中点，ABC是直角三角形，CE=BE=AE，BEC是等边三角形B=60，A=30，故选：B点评：考查直角三角形的性质，等边三角形的判定及图形折叠等知识的综合应用能力及推理能力二、填空题（共1小题）（除非特别说明，请填准确值）2一个六边形的六个内角都是120度，连续四边的长为1，3，4，2，则该六边形的周长是17考点：等边三角形的判定与性质；多边形内角与外角菁优网版权所有专题：计算题分析：先延长其中三边构造等边三角形，利用等边三角形的性质解题即可解答：解：如图所示，六个内角都是120，三角形的每个内角都是60，即CDE，BFG，AHI，ABC都为等边三角形，CE=2，BF=3，BC=2+4+3=9，AH=ABGHBG=913=5，DI=ACAICD=952=2，HI=AH=5，该六边形的周长是：1+3+4+2+2+5=17故答案为17点评：主要考查了正多边形的相关性质边相等，角相等三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）3如图，P是等边ABC内部一点，PC=3，PA=4，PB=5求AC2考点：等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有分析：首先将BCP绕点C顺时针旋转60得ACQ，连接PQ再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，易证得PCQ是等边三角形，APQ是直角三角形，则可求得APC的度数，然后可求得APD的度数，在RtAPD中，即可求得AD与CD的长，继而求得AC2解答：解：将BCP绕点C顺时针旋转60得ACQ，连接PQ再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，AQ=PB=5，CQ=PC，PCQ=60，PCQ是等边三角形，PQ=PC=3，QPC=60，在PAQ中，PA=4，AQ=5，PQ=3，AQ2=PA2+PQ2，APQ=90，APC=APQ+QPC=150，APD=30，在RtAPD中，AD=PA=2，PD=APcos30=2，则CD=PC+PD=3+2，在RtACD中，AC2=AD2+CD2=4+（3+2）2=25+12点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及直角三角形的性质此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用4如图（1），ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE，EF（1）求证：BE=EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理菁优网版权所有分析：（1）利用等边三角形的性质以及三线合一证明得出结论；（2）由中位线的性质、平行线的性质，等边三角形的性质以及三角形全等的判定与性质证明解答：（1）证明：ABC是等边三角形，ABC=ACB=60，AB=BC=CA，DE是中位线，E是AC的中点，BE平分ABC，AE=EC，EBC=ABC=30AE=CF，CE=CF，CEF=FCEF+F=ACB=60，F=30，EBC=FBE=EF；（2）结论任然成立DE是由中位线平移所得，DEBC，ADE=ABC=60，AED=ACB=60ADE是等边三角形DE=AD=AE，AB=AC，BD=CE，AE=CF，DE=DF，BDE=180ADE=120，FCE=180ACB=120，FCE=EDB，BDEECF，BE=EF点评：此题考查等边三角形以及三角形全等的判定与性质等知识点5（2008朝阳区二模）已知：在等边ABC中，点D、E、F分别为边AB、BC、AC的中点，点G为直线BC上一动点，当点G在CB延长线上时，有结论“在直线EF上存在一点H，使得DGH是等边三角形”成立（如图），且当点G与点B、E、C重合时，该结论也一定成立问题：当点G在直线BC的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图中，画出相应图形并证明相关结论考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：证明题分析：连接DE、EF、DF（1）当点G在线段BE上时，如图，在EF上截取EH使EH=BG由D、E、F是等边ABC三边中点，可得DEF、DBE也是等边三角形且DE=AB=BD，可证明DBGDEH，然后即可证明；（2）当点G在射线EC上时，如图，在EF上截取EH使EH=BG由（1）可证DBGDEH可得DG=DH，BDG=EDH由BDE=BDGEDG=60，可得GDH=EDHEDG=60，即可证明（3）当点G在BC延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立解答：证明：连接DE、EF、DF（1）当点G在线段BE上时，如图，在EF上截取EH使EH=BGD、E、F是等边ABC三边中点，DEF、DBE也是等边三角形且DE=AB=BD在DBG和DEH中，DBGDEH（SAS），DG=DHBDG=EDHBDE=GDE+BDG=60，GDH=GDE+EDH=60在直线EF上存在点H使得DGH是等边三角形（2）当点G在射线EC上时，如图，在EF上截取EH使EH=BG由（1）可证DBGDEHDG=DH，BDG=EDHBDE=BDGEDG=60，GDH=EDHEDG=60在直线EF上存在点H使得DGH是等边三角形（3）当点G在BC延长线上时，如图，与（2）同理可证，结论成立综上所述，点G在直线BC上的任意位置时，该结论成立点评：本题考查了等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，难度较大，关键是巧妙地作出辅助线进行解题6如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA、PB、PC，以BP为边作等边三角形BPM，连接CM（1）观察并猜想AP与CM之间的大小关系，并说明你的结论；（2）若PA=PB=PC，则PMC是等边三角形；（3）若PA：PB：PC=1：，试判断PMC的形状，并说明理由考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）通过观察应该是相等关系，可通过证三角形APB和BMC全等来实现，这两个三角形中已知的条件有：AB=BC，BP=BM，只要再得出这两组对应边的夹角相等即可得出全等的结论，我们发现ABP和MBC都是60PBC，因此这两个角相等，也就凑成了三角形全等的所有条件因此可得两三角形全等，也就证明了AP=CM；（2）根据（1）的结论AP=CM，又有三角形BPM是等边三角形，因此PA=PB=PC可写成PM=PC=CM，也就是说三角形PMC是等边三角形（3）根据AP=CM，BP=PM，我们可将题中给出的比例关系式写成CM：PM：PC=1：我们发现这三边正好符合勾股定理的要求因此三角形PMC是直角三角形解答：解：（1）AP=CMABC、BPM都是等边三角形，AB=BC，BP=BM，ABC=PBM=60ABP+PBC=CBM+PBC=60ABP=CBMABPCBMAP=CM（2）等边三角形（3）PMC是直角三角形AP=CM，BP=PM，PA：PB：PC=1：，CM：PM：PC=1：设CM=k，则PM=k，PC=k，CM2+PM2=PC2PMC是直角三角形，PMC=90点评：本题主要考查了全等三角形的判定，等边三角形的判定以及直角三角形的判定通过全等三角形得出线段相等是本题的解题关键7（2006徐州）如图1，ABC为等边三角形，面积为SD1、E1、F1分别是ABC三边上的点，且AD1=BE1=CF1=AB，连接D1E1、E1F1、F1D1，可得D1E1F1是等边三角形，此时AD1F1的面积S1=S，D1E1F1的面积S1=S（1）当D2、E2、F2分别是等边ABC三边上的点，且AD2=BE2=CF2=AB时如图2，求证：D2E2F2是等边三角形；若用S表示AD2F2的面积S2，则S2=S；若用S表示D2E2F2的面积S2，则S2=S（2）按照上述思路探索下去，并填空：当Dn、En、Fn分别是等边ABC三边上的点，ADn=BEn=CFn=AB时，（n为正整数）DnEnFn是等边三角形；若用S表示ADnFn的面积Sn，则Sn=；若用S表示DnEnFn的面积Sn，则Sn=考点：等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：探究型分析：（1）由等边三角形的性质和已知条件可证AD2F2BE2D2CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2所以D2E2F2为等边三角形（2）（3）由等边三角形的性质和面积公式可求解答：解：（1）ABC为等边三角形，AB=BC=AC，A=B=60，（1分）由已知得AD2=AB，BE2=BC，AF2=AC，BD2=ABAD2=BE2，AF2=BD2（2分）AD2F2BE2D2（3分）D2E2=F2D2同理可证AD2F2CF2E2F2D2=E2F2（4分）D2E2=E2F2=F2D2D2E2F2为等边三角形；（5分）；（6分）S2=SS3=S（7分）（2）由（1）可知：DnEnFn等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：，S3=S，；（9分）S2=S，S3=（10分）点评：本题考查了等边三角形等性质，和等边三角形等判断，以及内接等边三角形的面积规律8（2009莆田）已知：等边ABC的边长为a探究（1）：如图1，过等边ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成MNG，求证：MNG是等边三角形且MN=a；探究（2）：在等边ABC内取一点O，过点O分别作ODAB、OEBC、OFCA，垂足分别为点D、E、F如图2，若点O是ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1 OD+OE+OF=a；结论2 AD+BE+CF=a；如图3，若点O是等边ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由考点：等边三角形的判定与性质；解直角三角形菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：（1）本题中ABC为等边三角形，AB=BC=a，ABC=60，求出N，G的值，在直角AMB、CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；（2）判定是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；判断是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然