（基础数学专业论文）lagcd2d的一个子集的连通性.pdf

l a g c ( d ，2 a ) 的一个子集的连通性 彭凌霄 南开大学数学研究所 南开大学，天津3 0 0 0 7 1 摘要： 设s 是一个2 d 维的辛线性空间，其中s 的正定子空间的最大维数等 于d ，且s 有直和分解s = & o ，满足 & ：& 】= 0 记l a g c ( d ，2 d ) 为s 的 所有的l a g r a n g i a n 子空间，我们将证明由g r a d e ( l ) = f 定义的l a g c ( d ，2 d ) 的 子集的连通性，其中g r a d e ( l ) 是一个与直和分解& o 有关的指标 关键词：辛空间，拉格朗日子空间，道路连通，度数 t h ec o n n e c t e d n e s so fas u b s e to fl a g c ( d ，2 d ) l i n g x i a op e n g n a n k a ii n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s n a n k a iu n i v e r s i t y , t i a n j i n3 0 0 0 7 1 t h ep e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a a b s t r a c t l e tsb ea2 dd i m e n s i o n a ls y m p l e c t i cs p a c ew i t hp o s i t i v ei n d e xd a n dsh a sad e c o m p o s i - t i o ns = s 10 ，【s 1 ：& 】= 0 d e n o t eb yl a g c ( d 2 d ) t h es e to fa l ll a g r a n g i a ns u b s p a c e so f s ，w es h a l lp r o v et h ec o n n e c t e d n e s so ft h es u b s e to fl a g c ( d ，2 d ) d e f i n e db yg r a d e ( l ) = , w h e r e g r a d e ( l ) i sa ni n d e xr e l a t e dt ot h ec o m p o s i t i o ns 1o & k e y w o r d ：s y m p l e c t i cs p a c e ，l a g r a n g i a ns u b s p a c e ，p a t hc o n n e c t e d n e s s ，g r a d e 土上j l _ 刖舌 0 8 月6 月左右朱老师让我去读w n e v e r r r t 和l m a r k u s 写的一篇文章( c o m p l e x s y m p l e c t i cs p a c e sa n db o u n d a r yv a i i 甩p r o b l e m s ) ) ，在文章的末尾作者留下了 一个关于l a g r a n g i a n 子空间全体的一个子集的连通性的猜想，证明这个猜想就是我的毕业 论文所要解决的问题。在解决这个问题的过程中我尝试过许多不同的方法，由于我本人比较 喜欢分析的方法，而且对用几何的方法解决这类问题不是很熟悉，所以花了不少时间去想一 个复杂的分析的证明，但使问题变得很复杂。后来我和我的同学熊梅魁讨论这个问题，他说 可以用几何的方法来做，而且在儿何方法的证明的一个关键部分教给我一种解决办法。可以 说论文的一大部分功劳要归他。实际上论文有两个关键部分，第一个关键部分是熊梅魁想出 来的，第二个关键部分与我们开始讨论和预计的不同，这部分后来是由我自己解决的。熊梅 魁同学在我的这篇论文的完成过程中给予我非常大的帮助，我想对他表示衷心的感谢。 我要感谢我的导师朱老师把这个问题介绍给我，并且给予我信任去解决这个问题。让我能 有机会去检验一次自己解决问题的能力。 在此，我还要感谢我的父母和我的女朋友，是他们让我在面对困难的时候仍然保持着信心 和动力。 0 9 年4 月2 2 日 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：影。鍪? 矿 口卜 乙oo | 耳 妇z 7 日 f 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作：伤丝噌 砂7 年阳z 7 日 t h ec o n n e c t e d n e s so fas u b s e to fl a g c ( d ，2 d ) l i n g x i a op e n g n a n k a ii n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s n a n k a iu n i v e r s i t y , t i a n ji n3 0 0 0 7 1 t h ep e o p l e sr e p u b l i co fc h i n a a b s t r a c t l e tsb ea2 dd i m e n s i o n a ls y m p l e c t i cs p a c ew i t hp o s i t i v ei n d e xd a n dsh a sad e c o m p o s i - t i o ns = s 1o ，【s 1 ：岛】= 0 d e n o t eb yl a g c ( d ，2 d ) t h es e to fa l ll a g r a n g i a ns u b s p a c e so f s ，w es h a l lp r o v et h ec o n n e c t e d n e s so ft h es u b s e to fl a g c ( d ，2 d ) d e f i n e db yg r a d e ( l ) = 1 , w h e r e g r a d e ( l ) i sa ni n d e xr e l a t e dt ot h ec o m p o s i t i o ns 1o k e y w o r d ：s y m p l e c t i cs p a c e ，l a g r a n g i a ns u b s p a c e ，p a t hc o n n e c t e d n e s s ，g r a d e 1i n t r o d u c t i o n m a n yb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sl i k es t u r m - l i o u v i l l eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m s a n dl a p l a c eb oundary v a l u ep r o b l e m sc a nb eo b s e r v e da sp r o b l e m so ns y m p l e c t i cs p a c e si nt h e s eb o u n d a r yp r o b l e m s c e r t a i nb o u n d a r yc o n d i t i o n sh a v et h e i rc o r r e s p o n d i n gl a g r a n g i a ns u b s p a c e so fa2 dd i m e n s i o n a l s y m p l e c t i csw i t hp o s i t i v ei n d e xd ，o rc o r r e 8 p o n d i n gs e l f - a d j o i n to p e r a t o r si nah i l b e r ts p a c eh f f o r d e t a i l ss e e i1f 2 1 2 ) t h e np r o b l e ma r i s e sw h e nt h e r ea r et w od i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sg e n e r a t i n g t w oc o r r e s p o n d i n gl a g r a n g i a ns u b s p a c e sl 1a n dl 2o fs ，a n dt w os e l f - a d j o i n to p e r a t o r s 噩a n d 而 i nh ，i st h e r eac o n t i n u o u sd e f o r m a t i o no ft xi n t ot 2w i t ha l li n t e r m e d i a t es t a g e sc o r r e s p o n d i n gt o b o u n d a r yc o n d i t i o n sd e f i n i n gs e l f - a d j o i n to p e r a t o r s ? o ri st h e r eap a t hi nl a g ( d ，2 d ) c o n n e c t i n gl 1 a n dl 27 s i n c el a g ( d ，2 d ) i sh o m e o m o r p h i ct ot h eg r o u po fa l ldxdu n i t a r ym a t r i c e s ，t h ea n s w e r i sa f f i r m a t i v e h o w e v e rt h ee x p l i c i td i s p l a yo ft h ed e f o r m a t i o ni sn o tr e a d i l ya v a i l a b l e a n dw es h a l l p r o v eam o r es t r i c tt h e o r e m ( n a m e l yt h e o r e m1 1 ) o nt h ec o n n e c t e d n e 8 so fl a g ( d ，2 d ) a sad i s p l a y i nt h i ss e c t i o nw ew i l l 酉v es o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a sa sa ni n t r o d u c t i o n d e f i n i t i o n1 1ac o m p l e xs y m p l e c t i cs p a c esi sac o m p l e xv e c t o rs p a c e t o g e t h e rw i t hap r e s c r i b e ds y m p l e c t i c1 0 啪 ：】，n a m e l yas e s q u i l i n e a r 阳rc o n j u g a t eb i l i n e a r ) c o m p l e x - v a l u e df u n c t i o n u ，v _ 阻：v f o r sxs _ c s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n ga x i o m s ，y o ra l lu ，v ，叫sa n da l lc o m p l e xn u m b e r sc l ，c 2 c ， 以夕 c l u 十c 2 v ：w 】= c l u ：w + c 2 v ：w ( 1 i n e a r i t yp r o p e r t yi nf i r s ta r g u m e n t ) ， 俐 仳：v = - i v ：u 】( s k e w h e r m i t i a np r o p e r t y ) ， 俐m ：翻= 0i m p l i e su = o ( n o n d e g e n e r a c yp r o p e r t y ) d e f i n i t i o n1 2f o re a c h ( n o n e m p t y ) s u b s e tvcs t h es y m p l e c t i co r t h o c o m p l e m e n t d e f t n e db y y 襻：= u s l u ：v 】= o 1 ( 1 1 ) o | vi s ( 1 2 ) a n dw en o t et h a tv 静i sal i n e a rs u b m a n i f o l do fs n o t et h a t 矿s = o 屹w i t h 【：】= 0 ，t h e n 时= 屹a n d 蟛= y 1 ( 1 3 ) d e f i n i t i o n1 3 l e tsw i t hl ：1b eac o m p l e xs y m p l e c t i cs p a c e t h e nal i n e a rs u b s p a c el st s c a l l e di s o t r o p i ci nc a s e 【l ：l = o ( a l s ow r i t t e nlcl 群) f u r t h e rai s o t r o p i cs u b s p a c eli sc a l l e dl a g r a n g i a ni 佗c a s e 乱sa n d “：纠= 0i m p l y 珏l ( a l s ow r i t t e nl = l 孝) d e f i n i t i o n1 4 l e tsb eac o m p l e xs y m p l e c t i cs p a c e ，w i t hs y m p l e c t i cp r o d u c t p o s i t i v ei n d e xpa n dt h en e g a t i v i t yi n d e xqo fs a r et h ec a r d i n a ln u m b e r s ： p ：= s u p d i m ( p ) ：pi sap o s i t i v es p a c ei ns 】， q ：= s u p d i m ( n ) ：ni san e g a t i v es p a c ei ns ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ：1 t h e nt h e f o raf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c es ，t h e r ee x i s t sas y m p l e c t i c a l l yo r t h o g o n a ld i r e c ts u md e c o m p o s i t i o ns = h o 日+ ；t h a ti sl e t 日一a n d 耳b ec o m p l e xh i l b e r ts p a c e s ( f i n i t eo ri n f i n i t ed i m e n s i o n a l ) ， w i t hc o r r e s p o n d i n gs c a l a rp r o d u c t sa n dn o r m s ( ) 士a n d 忆1 1 士，r e s p e c t i v e l y , s ot h a te a c hv e c t o r u sh a sau n i q u er e p r e s e n t a t i o na sa no r d e r e dc o u p l e u = ( u 一，乱+ ) ，w i t hu 一三l a n d 让+ 三， a n dt h ev e c t o r s ( u 一，0 ) a n d ( 0 ，u + ) a l - eo r t h o g o n a li ns t h e nw eh a v e ( u 一，钞一) 一= i ( 仳一，0 ) ：( v 一，o ) a n d ( u + ，口+ ) + = - i ( 0 ，乱+ ) ：( 0 ，可+ ) i n d e e d ，sc a nb et r e a t e da st h ed i r e c ts u mh i l b e r ts p a c ew i t h n o r m ( b u tn o tt h et o p o l o g y ) d e p e n d e n to nt h eh i l b e r tp a i r 日士 t h i sh i l b e r ts t r u c t u r ei s a l w a y st h ec a s ew h e nd i m ( s ) p l ，w eh a v e d 9 2 d p 2 ，q 2 p 2 s ow eh a v eq l p lo rq 2 p 2 w i t h o u tl o s so fg e n e r a l i t yw es e t f o rs i m p l i c i t y , w ed e f i n es o m en o t a t i o n s 9 1 p 1 ( 2 6 ) n o t a t ；。n2 1u=ul 1 u l d ) e u ( d ) , w ed e f i n eg ( u ) = u 。1 1 ) ) 二：1 ：。) p 2 + q l = d p l 十q l d ( 2 7 ) l e m m a2 1t h e r ee x i s t sah o m e o m 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1 ) ，a i ( s ) ) q t ( s ) = l n ( s t ) ，l ( s ) l = i ( 叩( s 1 ) ，锄( s 1 ) ) + ( 叩( s 1 ) ，a i ( s ) 一q i ( s 1 ) ) = l ( 7 7 ( s 1 ) ，a i ( s ) 一( s 1 ) ) l f n ( s i ) l l q i ( s ) 一q t ( s 1 ) i = l a i ( s ) 一0 1 i ( 8 1 ) i 1 1 一三 1 一2 8 拟 n o ww ec a nd e f i n e t h ed e f i n i t i o ni sp r o p e ri n 易一1n 巧= s 1 ) s i n c e 嚣揣= 叩( s 1 ) 一名1 ( 叼( s 1 ) ，0 i ( s ) ) 0 i ( s ) 2 叼( s 1 ) ， t h e nw eh a v ee x t e n dn ( s ) s a t i s f y i n g ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) t o 易= 乃一1uj j m e n 力：1 ，w ec h o o s eav e c t o r 叩( s p a n ( a l ( 0 ) ，a r ( o ) ) 上, w i t ht h es i m i l a ri n d u c t i o nw ec 粤 d e f t n e 叼( s ) ( 8 1 1 ) ，s ow eh a v ef i n i s h e dt h er e d u c t i o n ，t h e nw eh a v ed e f i n e dq r + 1 ( 8 ) = ? 7 ( s ) 【0 ，1 j s u c ht h a ti q r + 1 ( s ) i = 1a n df o re a c hs ( o 1 ( 8 ) ，0 f ( s ) ，a r + l ( s ) ) i sa no r t h o n o r m n 2f r a m e s i m i l a r l yw ec a nd e f i n et h er e s tp a t h s0 r + 1 ( s ) ，0 q ( s ) t h ep r o o fi sf i 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