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山东省实验中学高一数学组必修一集体备课材料第二章 函数第三章 基本初等函数参与编辑：山东省实验中学本校高一数学组潘洪艳、刘建宇、林宝磊、郭红星、张永花、吴建广徐 萍、盛喜鑫、周明君、宋中华、王 虎、胡志明第二章 函数第一课时 映射一、基础知识1、构成映射的基础条件：A不余且象唯一。2、映射的要素：3、映射的分类和关系4、构成映射的个数：A中有m个元素，B中有n个元素，则的映射个数是个课堂例题与练习：例1：下列对应是从A到B的映射的是_； 是从A到B的一一映射的是_；是从A到B的函数的是_.(1);(2)(3); (4) (5) (6)(7)(8);(9)例2：求映射的象和原象1、已知映射中，（1）是否存在这样的元素，使它的象还是它本身？若存在求出这个元素，若不存在说明理由。（2）求A中元素在B中的象；（3）求B中元素在A中的原象2、若是从集合到集合的一个一一映射，的象是，的原象是，求自然数的值及集合。例3求映射的个数已知，问（1）可构成多少个的映射？（2）可构成多少个的一一映射?（3）映射满足，可构成多少个满足条件的映射?第二课时 函数的概念 1函数的定义（1）两要素（2）如何判断给定两个变量之间的关系是否为函数关系（3）判断两个函数是否为同一个函数2函数的表示方法：函数是非空数集与非空数集之间的映射。例1、下列几组表示同一函数的是_（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）3分段函数：函数的特点是在不同的区间上有着不同的解析式在求函数的定义域、值域时，求各个区间上的定义域、值域的并集。例2、已知定义在上的函数，求_。例3已知函数为，求下列的值。（1）_；（2）_；（3），求的值；（4）若，求的取值范围；（5）函数的值域为_。例4 课本44，例34复合函数：如果是的函数，记作；是的函数，记作；那么是的函数，记作。注：（1）要掌握两个原则：复合函数的自变量是；复合函数的对应法则施加的对象性质相同；（2）在求单调性的时候，要做到“同增异减”，分别求两部分的单调性和单调区间；（3）在求奇偶性的时候，要做到“有偶则偶”，但前提是定义域关于原点对称。例5 第三课时 函数的定义域基础知识：函数的定义域：使得函数成立的自变量的取值范围。（1）整式函数的定义域是全体实数；（2）分式函数的分母不为零；（3）偶次根式或者是幂指数的指数为分母是偶数时，底数不小于零；（4）奇次根式或者是幂指数的指数为分母是奇数时，定义域是全体实数；（5）对数中底数大于零且不等于1，指数大于零；（6）零指数函数底数不为零；（7）分段函数各部分的定义域取并集；（8）几个简单函数通过加减乘除运算的各部分定义域取交集；例1求下列函数的定义域（1） （5） （6）（7）实际问题中的定义域用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架，若矩形的底边长为，求此框架围成的面积与的函数关系式，并指出其定义域。例2 （1）已知函数的定义域为，则的定义域 ; （2）已知函数的定义域为，则的定义域 ；（3）已知函数的定义域为，则的定义域 ；例3若函数的定义域为，求实数的取值范围。作业：1求下列函数的定义域（1）； （2） ； （3）2（1） 函数的定义域为，求下列函数的定义域； ； （2）已知函数的定义域为，其中且，求函数的定义域3（1）已知函数的定义域为，求实数的取值范围是； （2）已知函数的定义域为，求实数的取值范围。（3）设函数的定义域为，求实数的值。第四课时 函数的值域一、基础知识（1）单调性求值域：首先求函数的单调性，则只需求解函数两个端点的值就行了；（2）反函数求值域：要求函数的值域，只需要求反函数的定义域就是了；要求函数的定义域，只需要求反函数的值域就是了；（3）换元法求函数的值域，将函数转换成为复合函数来求；（4）分式函数：分离系数法、判别式法、直接观察法等。（5）复合函数：分解成两个函数，分别求值域，注意第一个函数的值域是第二个函数的定义域（6）图像：通过图像观察各部分函数的特点。例1、求下列函数的值域（1） （2） （3）例2、求下列函数的值域（1） （2）例3、求下列函数的值域（1） （2） （3）例4、 求下列函数的值域（1） （2）（） 例5、求下列函数的值域（1） （2）例6、分段函数：例7、求函数（为常数），的最小值（或值域）。例8、求函数在（为常数）的最小值（或值域）。例9已知的定义域和值域都是，求实数的值。例10函数在上的值域是，则的取值组成的集合是（ ）A B C D 第五课时 函数的图像1、简单函数的图像 （1）复习一次、二次、反比例函数的图像例1画出下列函数的图像(1) (2) (3)(4)根据定义域，画出函数的图像 例2、画出函数的图象. 例3、分别画出下列函数的图象思考：已知函数的图象，通过怎样的图象变换可得到的图象。 平移变换 向 平移 个单位；以 代换 向 平移 个单位；以 代换 向 平移 个单位 对称变换 关于 对称 ； 关于 对称； 关于 对称 翻折问题 ：:第六课时 图像的对称性函数的对称性 知识点：问题1. 已知函数的图象关于. 问题1.证明: 设关于, 若即 也在 反思升华1：如果函数的图象关于直线证明：设的图象上的任意一点为关于的对称点是上的一点. 若即 重合图象上的任意一点也在图象上图象关于直线反思升华2：如果函数满足则函数的图象关于直线对称反思升华3：如果函数满足则函数的图象关于直线问题2. 已知函数若的图象关于原点对称问题2证明：设的图象上的任意一点为关于原点的对称点为图象上的点. 若这时重合图象上的任意一点关于原点的对称点也在图象上反思升华4：如果函数满足则函数的图象关于点（1,0）对称.证明：设的图象上的任意一点为对称点图象上的点，若即重合图象上的任意一点的对称点 也在图象上 图象关于点(1,0)对称反思升华5：如果函数满足则函数的图象关于点(a,o)对称反思升华6：如果函数满足，则函数的图象关于点(a,b)对称问题3.设函数定义在实数集上，则函数与函数 的图象关于直线对称证明：设函数图象上的任意一点为关于直线对称点为即=即函数图象关于直线对称反思升华7：设函数定义在实数集上，则函数与函数的图象关于直线对称反思升华8：设函数定义在实数集上，则两个函数与的图象关于直线对称例题与练习1. 设二次函数满足,图象与轴交点为（0, 2），与轴两交点间的距离为2，求的解析式。2.二次函数满足,求的顶点的坐标。3.已知,且.（1）写出的关系式（2）指出的单调区间。4若函数在其定义域内满足，方程有五个实数根，则其和为 。5奇函数满足，当时，；则当时， 6.对于任意的函数，在同一坐标系中的图象关于 对称。第七课时 函数的解析式一、基础知识（1）直接代入法 （2）换元法 （3）配凑法 （4）消去法 （5）待定系数法 （6）赋值法（7）利用奇偶性求解析式例1 的解析式例2 已知，求的解析式例3 如果函数是一次函数，且满足，求例4 已知函数满足+2，求例5 设是上的函数，且满足，并且对任意的实数x,y，有，求的解析式.例6 课本44页例2 ； 46页例4 例5；例7 将周长为的铁丝弯成一个下半部分为矩形，上半部分为半圆形的框架，圆的半径为，求此框架的面积与的函数关系。作业：1已知满足，求 2已知，则= 3设二次函数满足，且=0的两个实根平方和为10，图象过(0,3)求的解析式。4求5设函数为常数，且，满足，方程有唯一解，求的解析式，并求出的值。第八课时 函数的单调性1、 单调性的概念：建立感性认识：观察分析二次函数、反比例函数的图象，总结图象的“升、降”进行数学定义：P48P49增函数、减函数、单调区间、单调性注意：、单调性是相对于定义域内区间而言的。单调区间有时是整个定义域。、关于区间端点。、对同一函数，可能在某些区间上是增，另一些区间上为减。、同一函数在定义域某些区间上为增（减），并不说明在这些区间的并集上为增（减）。2、 单调性的证明：步骤：设量作差变形定号结论3、 单调性的判断、单调区间的求法（利用定义、图象）典型例题：1、 教材例1、证明函数在上是增函数2、教材例2、证明函数在和上是减函数3、求证f(x)=在定义域上为减函数。4、f(x) 、g(x)在（）上是增函数，求证f(g(x) 在上是增函数。5、求的单调区间6求的单调区间7求的单调区间8函数在区间上是增函数，求a的范围9y=x2+2ax+1在上最大值为4，求a的值。10求y=x22x+3 (2)的最值。11与；与；与第九课时 函数的奇偶性1、奇偶函数的概念：P50注：定义域内的任意x均f(x)=f(x)之一成立2、奇偶性的判定与证明。步骤：1、 考虑定义域是否对称。（2）验证f(x)=f(x)是否成立例题：（1） （2） （3） （4）（5） （6）（7） (8)2.设f（x）是定义在A上的奇函数，g（x）是定义在B上的奇函数，那么在上，f(x)+g(x)是奇函数， f(x)*g(x)是偶函数，类似的结论还有：3、性质及应用。 性质 图像 （充要条件） （指出判定方法）典型例题：例1、求做f(x)=2x2_6|x|+5的图象例2、正确的命题：偶函数的图象与y轴相交奇函数的图象过原点偶函数的图象关于y轴对称既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0一个函数不是奇函数就是偶函数例3、f(x)=x5+ax3+bx8 若f(-2)=10 ,求f(2)例4y= f(x)的图象与x轴有四个交点，则f(x)=0的实根之和为0是y= f(x)为偶函数的 条件。例5、已知函数中，对于任意的，有，则是_函数。例6、已知函数与定义在R上，为奇函数，为偶函数，且有，求例7、若函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且，则的解集是_，的解集是_。例8、设函数为定义在R上的偶函数且，在上是增函数，（1）求证（2）若，求解不等式。第十课时 单调性奇偶性综合一、 复习两种性质的知识。二、 综合应用1已知函数在上是奇函数而且在上是增函数，证明在上也是增函数2为奇函数，当时，则时，3的定义域为，且为奇函数，当时，求的解析式4满足，求5定义域为满足，判定的奇偶性6 函数在上满足（1）（2）在定义域上单调递减（3）求：（1）为奇函数（2）的取值范围7为偶函数，试比较的大小8已知是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若，试确定的取值范围9设函数对任意非零实数均满足，求证：是偶函数10设是R上的奇函数，当时，求11、已知奇函数在上的减函数，对任意的实数，恒有成立，求的取值范围。12、设在上的偶函数，在上递增，且有，则实数的取值范围13、函数是定义在上的奇函数，且（1）确定的解析式；（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式14、设是实数，函数（1）讨论的奇偶性；（2）求的最小值。 第十一课时 函数的零点课堂引入例：研究的以下情况：（1）（2）（3）一、定义：一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做函数的零点。说明：（1）函数的零点指的是一个实数，自变量取这个实数时，其函数值为零；（2）函数的零点即是函数图像与横轴焦点的横坐标；（3）我们只讨论函数的实零点。练习：右图的函数零点是多少？二、函数零点的性质 通过观察图像得到。（1）相邻两个零点之间的所有函数值同号；（2）函数在一个区间不间断，且端点处异号即，则函数在此区间上至少有一个零点；（3）函数在一个单调区间上之多有一个零点；（4）函数图像通过零点时，如果是二重零点，函数值不变化；如果不是二重零点，函数值变号。三、求函数零点的方法（1）分解因式 （2）公式法 （3）图像法 （4）二分法四、判断函数零点的个数图像法 例：函数零点的个数是_。参考例题：1、求解函数零点（1）函数，又，则函数的零点是_。（2）函数的两个零点是2和3，则函数的零点是_。（3） （4） （5）2、对于函数，若，则函数在区间内零点有（ ）A、一定有零点 B、一定没有零点 C、可能有两个零点 D、至多有一个零点3、若函数没有零点，试求的取值范围。4、已知函数，求满足下列条件的的取值范围。（1）函数没有零点 （2）函数只有一个零点 （3）函数有两个零点5、函数，且与有一个共同零点，试求（1）的值（2）如果与还有零点，试求之。参考作业：同步训练 同步测控相应题目（选作）第十二课时 一元二次方程根的分布首先研究一元二次方程根的存在条件：例：求为何值时，函数（1）有两个零点（2）有唯一的零点（3）没有零点？那么大家思考：上述函数什么时候（1）有两个正根（2）有两个负根（3）有两个异号根（4）两个根在中。方法一、一二三韦达； 作图的思路：1、判断两根之和与两根之积的情况；2、列相应的不等式组；3、求解结果解前面出的题目方法二、一二三图像；做题的思路：1、画图像草图；2、列相应的不等式组；3、求解结果解前面出的题目参考例题：1、已知函数的图像与横轴没有交点，求实数的取值范围。2、已知函数的两根都大于2，求实数的取值范围。3、方程在内恰有一个根适合方程，求实数的取值范围。4、已知函数的图像与横轴的交点至少有一个在原点右侧，则实数的取值范围是 5、二次函数的两个零点满足关系：一个小于1，另一个在（1,3）上，求实数的取值范围。参考作业：对于函数，在函数零点满足下列关系时，求实数的取值范围。（1）有两个正根 （2）有两个负根 （3）有两个异号根（4）都比1大 （5）两个实根，一个大于2，一个小于2（6）两个实根，一个在（-1,1）上，一个大于2 （7）恰好有一个根在（0,1）中（8）至少有一个正根第十三课时 求函数近似解的一种方法二分法一、数学史引入（简单介绍）数学源于生活。由于解决实际问题的需要，人们经常需要寻求函数 的零点，即方程的根。设一元n次方程，人们总是希望能用各项的系数来表示它的所有根。9世纪，中亚西亚学者穆罕默德。阿里。花拉子模发现了二次方程 的解为。1545年意大利的 卡尔达诺 在他的大法一书中给出了一元三次方程的求根公式；之后，卡尔达诺的学生费拉里给出了一元四次方程的求根公式。 但是当时，人们却找不到方程的公式解。年轻的挪威数学家阿贝尔和法国数学家伽罗瓦证明了：一般五次和五次以上代数方程的解不能用公式给出。下面我们探讨一下求函数零点的其他方法。二、创设情境：（简单分析）在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障。这是一条10km长的线路，如何迅速查出故障所在？三、二分法的定义：对于在区间a,b上连续不断，且的函数，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。四、一般步骤：已知函数定义在区间D上，求它在D上的一个变号零点的近似值，使它与零点的误差不超过正数，即使得.下面我们分步写出，用二分法求函数零点的一般步骤：第一步：在D内取一个闭区间，验证。令 第二步：取区间的中点，则此中点对应的横坐标为 计算和判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止； （2）如果，则零点位于区间中，令；（3）如果，则零点位于区间中，令；第三步 取区间的中点，则此中点对应的横坐标为 计算和判断：（1）如果，则就是的零点，计算终止； （2）如果，则零点位于区间中，令；（3）如果，则零点位于区间中，令；实施上述步骤，函数的零点总位于区间上。判断是否达到精度，当时，函数的近似零点与真正零点的误差不超过，此时区间的中点就是函数的近似零点。参考例题 例1 求函数的一个为正数的零点。 （1）精确到0.1 （2）精确到0.01解:由于可以取区间1，2作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：次数端点（中点）坐标计算中点函数值取区间区间长度01,2111.50.6251,1.50.521.25-0.9841.25,1.50.2531.375-0.2601.375,1.50.12541.43750.1651.375,1.43750.062551.40625-0.054051.40625,1.43750.0312561.4218750.05262371.40625,1.4218750.01562571.4140625-0.00103131.4140625,1.4218750.0078125由上表可知，第3次取中点后，区间长度为0.1250.2，所以1.375和1.5的中点1.4375满足精度要求，精确到0.1后为1.4（4 次取中点）；第6次取中点后，区间长度为0.0156250.02,所以1.40625和1.421875的中点1.4140625满足精度要求，精确到0.01后为1.41（7次取中点）。例2 用二分法求的近似值（结果保留三位有效数字）解:不妨构造函数,那么为函数的一个零点。由于可以取区间1，2作为计算的初始区间。用二分法逐步计算，列表如下：次数端点（中点）坐标计算中点函数值取区间区间长度01，2111.51.3751，1.50.521.25-0.0471.25，1.50.2531.3750.61.25，1.3750.12541.31250.2611.25，1.31250.062551.281250.1031.25，1.281250.0312561.2656250.0271.25，1.2656250.01562571.2578125由上表可知，结果保留三位有效数字，即精度为0.01。第6次取中点后，区间长度为0.0156250时，的值总大于1，则实数a 的范围是 ；2函数恒过一定点P，则P点的坐标是 。3、比较的大小。4、求函数的定义域。5、且，比较的大小6、求函数的值域。求函数的值域7、在0，1上的最大值与最小值的和是3，则a= 。8、求证在定义域上是增函数。9、已知函数求函数发f(x)的定义域、值域讨论函数f(x)的单调性、奇偶性10、判断函数的奇偶性。第三课时 对数及其运算一、对数：1定义：一般地，对于指数式