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文档简介

9.4重积分的应用9.41曲面的面积 设有光滑曲面，它在面上的投影区域，函数在有一阶连续的偏导数。求曲面。在上任取一个直径很小的子域（也代表该子域的面积），在上任取一点，对应地有曲面上的一点，过点作切平面，它被以的边界曲线为准线，母线平行于轴的柱面割下部分的为，则相应于的小曲面部分的面积可用近似代替， 设曲面在点处的法向量与正向的夹角， ，又切平面的法向量为， ，称为曲面的面积元素。 曲面的面积。或， 若曲面的方程为或，可将曲面分别投影到平面或平面，则得或。 若曲面的方程为隐式：，且函数的偏导数有一个不为零，例如，将，代入 得， 其中为曲面在面上的投影区域。1例1求旋转抛物面上在平面下面的一部分曲面的面积。 解：所求曲面在面上的投影区域为 ，D ， ，。9.42重积分在物理上的应用举例1物体的质心设三维空间有n个质量为的质点组，它们的坐标分别为，由力学可知，这个质点组的质心是，其坐标分别为，。 其中为该质点组的总质量，分别称为该质点组对，和的静力距。，。 设质量连续分布的物体，占有空间闭区域，密度函数为连续函数，求该物体的质心。 设为上任一点，取包含点M的一体积微元，则质量微元为 ，它对，和的静力距微元分别为，则该物体的质心坐标为， ， 。若物体的质量是均匀分布的，即密度函数为常数，此时质心称为形心。均匀物体的质心坐标为， ， 。若是平面区域，面密度函数为，则平面薄片的质心坐标为 ，。 若薄片是均匀的（即常数），则有 ， 。 其中表示区域的面积。D2C例2求位于两圆和之间的均匀薄片的形心。 解：区域关于轴对称， 重心必位于轴上，于是， ， ， ， 故所求形心为。例3求空间均匀立体形心。解：对称，形心在，。两曲面的交线为，即， ：，：， 。 。 ，形心的坐标为（0，0，）。2物体的转动惯量设三维空间有n个质量为的质点组，它们的坐标分别为，。这个质点组绕着某一条直线l旋转，设这个质点到直线的距离分别是，由力学可知，质点组对直线的转动惯量为 。 当l分别是，时，则质点组分别对，的转动惯量分别为 ，。设质量连续分布的物体，占有空间闭区域，密度函数为连续函数，求该物体对，的转动惯量。 设为上任一点，取包含点的一体积微元，则质量微元为，点的距离为，于是点的质量微元关于的转动惯量为，从而，同理可得 ，。 若是平面区域，面密度函数为，则平面薄片对、的转动惯量为 ， 。例4求均匀球体对于过球心的一条轴转动惯量（设密度为1）。解：取球心为坐标原点，轴与轴合，又设球的半径为，则球体所占有的空间闭区域可用不等式表示。所求转动惯量就是球体对于轴的转动惯量。 为了简化计算，同时考虑球体对、的转动惯量 ，由对称性可知，于是 。3物体对质点的引力例5如图，一空心柱体由柱面，及平面，为界面组成，有一质量为m的质点位于坐标原点，求空心柱体对质点的引力。解：设为空心柱体任一点，dV为包含点
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