度高中数学 2.2.2等差数列的前n项和同步辅导与检测课件 苏教版必修5.ppt

2 2等差数列2 2 2等差数列的前n项和 数列 数学史上有一颗光芒四射的巨星 他与阿基米德 牛顿齐名 被称为历史上最伟大的三位数学家之一 他就是18世纪德国著名的数学家 高斯 高斯在上学时 就能很快地算出1 2 3 100的结果 高斯是这样算出 1 2 3 99 100 1 100 2 99 3 98 50 51 101 50 5050 他的这种算法 就是等差数列求和的方法 等差数列的前n项和的公式 式可以改写成 当d 0时 sn是关于n的二次函数 且不含有常数项 所以可以借助二次函数的有关性质 如单调性 极值性等 来处理等差数列前n项和sn的有关问题 它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一群孤立的点 若d 0 则sn na1 数列 an 为等差数列的充要条件是 数列 an 前n项和可以写成sn an2 bn的形式 其中a b为常数 且公差为2a 等差数列前n项和公式的性质 1 设sn是等差数列 an 的前n项和 则sn s2n sn s3n s2n仍然是等差数列 2 若等差数列的项数为2n n n 则s2n n an an 1 an an 1为中间两项 且s偶 s奇 nd 若项数为2n 1 则s2n 1 2n 1 an an是中间项 且s奇 s偶 an 下面对它们做简要证明 若等差数列的项数为2n 则s偶 s奇 a2 a4 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a1 a4 a3 a2n a2n 1 d d d d nd 1 注意 1 熟悉解题基本方法 在等差数列中 涉及5个元素a1 d n an sn 其中a1 d称为基本元素 因为等差数列的首项a1 公差d已知 则此数列完全确定 故等差数列中不少问题都可转化为求基本元素a1和d的问题 2 熟悉并掌握性质 往往能找到简捷明快 优美灵活的解题技巧 3 要灵活地处理求和问题 对于有的问题 如果利用等差数列前n项和公式 问题完全可以得解 但是如果根据等差数列有关性质 灵活地加以处理 不使用前n项和求和公式 反而使问题解答得更加简单 快捷 对于这类问题也要引起注意 以便提高我们解题质量和效果 如已知等差数列 an 中 a2 a5 19 s5 40 求a10 因为s5 5a3 40 则a3 8 a2 a5 a3 d a3 2d 2a3 d 16 d 19 得d 3 a10 a3 7d 8 3 7 29 此解法比常规解法优越得多 等差数列前n项和与函数 设函数f n 的定义域为正整数n 且满足f m n f m f n mn 且f 1 1 求f n 分析 正确理解函数符号和函数方程的赋值法 然后利用等差数列求和公式求出结果 解析 当m 1时 有f n 1 f 1 f n n 即f n 1 f n n 1 令n 1 2 3 k 1得 f 2 f 1 2 f 3 f 2 3 f 4 f 3 4 f k f k 1 k 将这k 1个等式相加 得 f k f 1 2 3 4 k 名师点评 将f n 1 f n n 1赋值得出k 1个等式后再累加 充分利用了n 1 n的两个函数式之差这一具体特征 变式迁移 1 已知一个等差数列的前四项和为21 末四项和为67 前n项和为286 求项数 sn中的最值问题 等差数列 an 中 a1 0 s9 s12 该数列前多少项的和最小 分析 写出前n项和的函数解析式 再求此式的最值是最直观的思路 但注意n取正整数这一条件 解法三 s9 s12 a10 a11 a12 0 3a11 0 a11 0 a1 0 前10项或前11项和最小 解法四 s9 s12 sn的图象所在的抛物线的对称轴为x 10 5 又a1 0 数列 an 的前10项或前11项和最小 名师点评 本例四种解法从四个侧面解前n项和最值问题 方法迥异 殊途同归 解等差数列的前n项和最大 最小 问题的常用方法有 1 二次函数法 由于是关于n的二次式 因此可用二次函数的最值来确定sn的最值 但要注意这里的n n 2 图象法 可利用二次函数图象的对称性来确定n的值 使sn达到最大 或最小 3 通项法 由于sn sn 1 an 所以当an 0时 sn sn 1 当an 0时 sn sn 1 因此当a1 0且d 0时 使an 0最大的n的值 使sn最大 当a1 0 d 0时 满足an 0最大的n的值 使sn最小 变式迁移 2 数列 an 是首项为23 公差为整数的等差数列 且第六项为正 第七项为负 1 求数列的公差 2 求前n项和sn的最大值 3 当sn 0时 求n的最大值 求数列 an 的前n项和 已知数列 an 的前n项和求数列 an 的前n项和tn 分析 由知sn是n的缺常数项的二次函数式 所以数列 an 为等差数列 可求出通项an 然后再判断哪些项为正 哪些项为负 最后求出tn 名师点评 此类求和问题先由an的正负去掉绝对值符号 然后分类讨论转化为an的求和 另外 本题在利用前n项和sn求an时 易忽视分n 1和n 2两种情况讨论 应引起注意 变式迁移 3 已知数列 an 中 sn n2 10n 数列 bn 的每一项都有bn an 求数列bn的前n项之和tn的表达式 基础巩固 1 等差数列 an 中 s