度高中数学 2.2.2 等差数列的性质同步辅导与检测课件 新人教A版必修5.ppt

2 2 2等差数列的性质 数列 1 掌握等差数列定义和通项公式 2 探索发现等差数列的性质 并能应用性质灵活地解决一些实际问题 基础梳理 1 1 设 an 为等差数列 若已知公差为d 则an am 由此知 an am 2 已知 an 为等差数列 已知公差d 3 a2 6 则an 2 1 设 an 为等差数列 则与首末两项距离相等的两项和等于 即 2 在等差数列 an 中 an 2n 1 则a3 a5 a2 a6 可知a3 a5 a2 a6 答案 1 n m d n m d练习1 6 3 n 2 3n2 首末两项的和a1 an a2 an 1 a3 an 2 练习2 1414 3 1 设 an 为等差数列 若m n p q 则 2 设 an 为等差数列 若m n 2p 则 4 1 设 an 为等差数列 则对于任意常数b 有 ban 为 2 已知数列 an 为等差数列 且an 3n 2 则数列 3an 的第n项为 答案 3 am an ap aq练习3 am an 2ap 5 1 等差数列 an 的等间隔项组成的数列为 2 已知 an 为等差数列 且其公差为d 则 a2n 1 是 其公差为 6 1 若 an 为等差数列 bn 为等差数列 且cn an bn dn an bn 则 2 已知数列 an 与 bn 为等差数列 an 2n 1 bn 3n 2 则an bn 为 an bn 为等差数列 答案 5 等差数列练习5 等差数列2d6 cn 与 dn 也为等差数列练习6 5n 1等差数列 n 3 自测自评 1 在等差数列 an 中 a1 a9 10 则a5的值为 a 5b 6c 8d 10 解析 由角标性质得a1 a9 2a5 所以a5 5 答案 a 2 若 an 是等差数列 则下列数列中仍为等差数列的个数有 an an 1 a an 1 an 2an 2an n a 1个b 2个c 3个d 4个3 等差数列 an 中 a2 a5 a8 9 那么关于x的方程 x2 a4 a6 x 10 0 a 无实根b 有两个相等实根c 有两个不等实根d 不能确定有无实根 d a 利用等差数列的通项公式或性质解题 等差数列 an 中 如果a5 11 a8 5 求数列的通项公式 分析 求等差数列的通项公式只要求a1 d两个量即可 跟踪训练 1 数列 an 各项的倒数组成等差数列 如果a3 1 a5 1 求a11 分析 题目中给出了两个数列 首先要清楚两个数列的关系 数列 an 并不是等差数列 它的倒数列才是等差数列 应首先根据等差数列的知识考虑到数列 后根据倒数关系求a11 利用等差数列的性质解题 已知等差数列 an 中 a1 a4 a7 15 a2a4a6 45 求此数列的通项公式 解析 法一 a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 又 a2a4a6 45 a2a6 9 即 a4 2d a4 2d 9 5 2d 5 2d 9 解得 d 2 若d 2 an a4 n 4 d 2n 3 若d 2 an a4 n 4 d 13 2n 法二 a1 a7 2a4 a1 a4 a7 3a4 15 a4 5 a2 a6 2a4 10 又 a2a4a6 45 a2a6 9 从而a2 a6可看成方程x2 10 x 9 0的两根 an 2n 3或an 13 2n 跟踪训练 2 在等差数列 an 中 a5 a13 40 则a8 a9 a10的值为 a 72b 60c 48d 36 分析 在题目中的项很多 利用通项公式转化为两个基本量a1和d 但并不能直接求出a1和d 因此利用a1和d来寻找所求和已知的等量关系 解析 法一 设此数列的首项为a1 公差为d 则a5 a13 a1 4d a1 12d 2a1 16d 40 即a1 8d 20 a8 a9 a10 a1 7d a1 8d a1 9d 3a1 24d 3 a1 8d 60 法二 可以应用等差数列的性质 若m n p q m n p q n 则am an ap aq 所以有a8 a10 a5 a13 2a9 40 故a8 a9 a10 60 故选b 答案 b 等差数列的运算 已知无穷等差数列 an 首项a1 3 公差d 5 依次取出项数被4除余3的项组成数列 bn 1 求b1和b2 2 求 bn 的通项公式 3 bn 中的第110项是 an 的第几项 分析 数列 bn 是数列 an 的一个子数列 其项数构成以3为首项 4为公差的等差数列 由于 an 是等差数列 则 bn 也是等差数列 解析 1 a1 3 d 5 an 3 n 1 5 8 5n 数列 an 中项数被4除余3的项是 an 的第3项 第7项 第11项 这些项组成一个新的等差数列 第二问中加以证明 其首项b1 a3 7 b2 a7 27 2 设 an 中的第m项是 bn 的第n项 即bn am 则m 3 4 n 1 4n 1 bn am a4n 1 8 5 4n 1 13 20n n n bn bn 1 20 n 2 n n bn 是等差数列 其通项公式为bn 13 20n 3 b110 13 20 110 2187 设它是 an 中的第m项 则 2187 8 5m 则m 439 点评 数列的项数相当于函数的自变量 通项公式相当于对应法则 对数列的研究应很好地把握项数 研究数列的子数列一定要研究二者项数的关系 跟踪训练 3 三个数成等差数列 和为6 积为 24 求这三个数 解析 法一 设等差数列的等差中项为a 公差为d 则这三个数分别为a d a a d 依题意 3a 6且a a d a d 24 所以a 2 代入a a d a d 24 化简得d2 16 于是d 4 故三个数为 2 2 6或6 2 2 法二 设首项为a 公差为d 这三个数分别为a a d a 2d 依题意 3a 3d 6且a a d a 2d 24 所以a 2 d 代入a a d a 2d 24 得2 2 d 2 d 24 4 d2 12 即d2 16 于是d 4 三个数为 2 2 6或6 2 2 一 选择填空题1 如果数列 an 是等差数列 则下列式子一定成立的有 a a1 a8 a4 a5b a1 a8 a4 a5c a1 a8 a4 a5d a1a8 a4a5 解析 由等差数列的性质有a1 a8 a4 a5 故选b 答案 b 2 在等差数列 an 中 已知a1 a4 a7 39 a2 a5 a8 33 则a3 a6 a9的值为 a 30b 27c 24d 21 解析 设b1 39 b2 33 b3 a3 a6 a9 则b1 b2 b3成等差数列 39 b3 2b2 66 b3 66 39 27 故选b 答案 b 1 在做等差数列题时 注意利用结论 若m n p q 则am an