成贤教材-高数B下§7.4 平面方程.doc

7.4 平面方程空间的曲面和曲线可以看作是满足一定条件的点的轨迹。：（1）都满足方程；（2）不在都不满足方程，则方程的方程，程的图形。7.3.1 平面的点法式方程 与平面垂直的非零向量称为该平面的法向量。 ，。解：， ，。 ， ， 方程点法式方程。例1求过点且垂直于向量的平面方程。解：取为法向量， 由平面的点法式方程得所求平面的方程： ，即。例2求坐标平面的方程。解：，故取为法向量， 又面过原点，所求方程为 ， 即面的方程为。同理，面的方程为；面的方程为。7.4.2 平面的一般方程 将方程展开得： ， 令，则有 。 这是方程，所以平面可用方程来表示；反之，不全为零时，方程一定表示一个平面。 取方程的一组解，则有 -得：，它表示过点，且以为法向量的平面。 方程 称为平面的一般方程。 注意： 在平面解析几何中，一次方程表示一条直线； 在空间解析几何中，一次方程则表示 一个平面。下面讨论方程的特殊情况。1通过原点的平面 方程表示通过原点的平面；2平行于坐标轴的平面当时，方程； 平面的法向量为与垂直， 方程。 当时，方程； 当时，方程。3通过坐标轴的平面，方程；，方程；，方程。4平行于坐标平面的平面 ，方程； 平面的法向量， 方程。，方程；，方程。平面的截距式方程设平面与坐标轴分别交于，三点，其中。求平面的方程。 设平面方程为， 则有， ， ，。 ， 化简得 。 方程称为平面的截距式方程，称为此平面在，轴上的截距。例3，且与平面：，。解：方法1：设，其法向量为，法向量为。 ，有， 又， ，即， ，。为，即。方法2：设，。 ，=， 故可取， 取定点为代入点法式，： ，即。例4的平面方程。解：方法1：设所求平面的方程为，其法向量为，平面的法向量为，即为所求的平面方程。方法2：设所求平面的法向量为， 平面的法向量为， ， 可取=， 取定点为，代入点法式，得所求平面的方程： ，即。平面的三点式方程已知平面上不共线的三点，求平面方程。 解：设为平面上任一点，作向量，则 ，即.7.4.3 有关平面的一些问题1。两平面的夹角 两平面法向量的夹角（通常指锐角）称为两平面的夹角。 设两平面为：， ：， 法向量分别为， 它们的夹角应是或两者中的锐角， 故，则 平面； 平面。例5求两平面与的夹角。 解：、，。2.点到平面的距离 设是平面外一点，求点到这平面的距离。解：在平面上任取一点，则从，即 . ， 在平面上， 。例6求点到平面的距离。 解：。7.5直线的方程7.5.1直线的方程 以下任何一种情形,都唯一确定一条直线： （1）作为两个相交平面； （2）；1.直线的一般方程 当空间直线L作为两个相交平面 ：，：，的交线时， 方程组 就表示交线的方程，式称为空间直线的一般方程。 例如：方程组， 分别表示、。O2.直线的标准方程（或点向式方程） 与直线平行的非零向量称为直线的方向向量。 设直线L过点，方向向量为， 是L上任意一点， 则， 由，得， 式称为直线的标准方程或点向式方程。 直线的任一方向称为直线的一组方向数。 当中有一个为零，例如，则应理解为； 当中有两个为零，例如，则应理解为3.直线的参数方程 在直线方程中，设，则有 ， 方程组称为直线的参数方程。 直线的点向式、参数式、一般式方程之间的互化 由直线的点向式方程容易得出参数式方程。反之，由参数式方程显然能直接写出点向式方程。把点向式方程的连等式写成两个方程，即便是直线的一般式方程。把一般式方程化为点向式方程，归结为在直线上找出一确定点和求出直线的方向向量。例7用点向式方程及参数方程表示直线。解：（方法1）先求直线上的一点，令代入原方程组得，即点在直线上。再求直线的方向向量。由于两平面的交线与这两平面的法向量和都垂直，故取，直线的点向式方程为。（方法2）方程组中分别消去，得 ，即， 写成连等式，便得点向式方程：，即。（方法3）在直线上取两点，则直线的方向向量为。直线的点向式方程为，即。 令上式比值为，得直线的参数方程：。4.直线的两点式方程 求过点，的直线的方程。解：设所求直线的方程为， 可取， 故所求直线方程为。 方程称为直线的两点式方程。7.5.2 关于直线与平面的一些问题1.直线与平面的位置关系 两直线方向向量的夹角（通常指锐角）称为两直线的夹角。 设有两直线和的方向向量分别为 ，则它们的夹角应是或两者中的锐角，故，即2.空间两直线的位置关系 设有两直线， ， 为方向向量，为方向向量。 （1） ， （2）； （3）； （4）； （5） 。例8直线L过点且与直线和都相交， 求直线L的方程。解：设L的方程为， 则，。， 解得，故L的方程为，即。3、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角（），称为直线与平面的夹角。当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角。 设直线的方向向量为， 平面的法向量为，直线与平面的夹角为，则，故，即 直线：， 平面：， 直线与平面的位置关系如下：（1）（2）（3）。例9选择题设有：及：，则（ ） （A）；（B）；（C）；（D）。解：的方向向量为，的法向量为， ，从而，故应选（C）。4.直线与平面的交点 设直线的参数方程为，平面方程为，将直线方程代入平面方程，得， 即，（1）若，则，将代入直线方程，即得直线L与平面交点。（2）若，则直线与平面平行，且点不在平面上，故无交点。