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第六章 不等式 不等关系与不等式 第38讲 比较大小 点评 比较两个代数式的大小往往可以首先将两个式子相减 再因式分解 将式子变形为几个因式的乘积的形式 而后判断各因式的符号 进而确定差的符号 最终达到比较大小的目的 当然 当比较大小的两个式子是幂的形式时 也可以将两个代数式作商 但要注意两代数式是同时为正还是同时为负 然后利用 1 a b 0 a b 或 1 a b 0 a b 来解决 求取值范围 例2 设二次函数y f x 的图象过原点 且1 f 2 2 3 f 1 4 求f 2 的取值范围 解析 依题意 设f x ax2 bx a 0 则f 2 4a 2b f 1 a b f 2 4a 2b 设f 2 af 2 bf 1 4a b a b 2a b 点评 本题是用同向不等式相加性求取值范围问题 一不小心就会产生如下错误 由 分类讨论 点评 本题体现的是近几年比较热门的考点 用函数观点解决不等式问题 将两式相减得到几个因式的积后 发现符号取决于m的正负 所以对m进行讨论是必然的 对于 p q是常数 这样的问题 用分离常数的方法往往可以使问题得以简化 复习时要多加积累 另外 本题最后如果没有写上 综上所述 及其后面的内容 是不完整的 变式练习3 若00且a 1 试比较 loga 1 x 与 loga 1 x 的大小 解析 因为01时 loga 1 x loga 1 x loga 1 x loga 1 x 所以 loga 1 x loga 1 x loga 1 x2 loga 1 x 当0 loga 1 x 综上所述 loga 1 x loga 1 x 真 真 真 真 a a2 a3 4 向一杯未饱和的糖水中加入一些糖 溶解后糖水更甜了 请根据这个事实写出一个不等式 并证明 5 设实数x y z满足y z 6 4x 3x2 z y 4 4x x2 求x y z的大小关系 本节内容是不等式的入门知识 也是以后解不等式 组 证明不等式的依据 主要从两个方面考查 一是利用两个实数大小的事实 比较两个 或多个 数或代数式的大小 有可能结合到指数函数 对数函数 幂函数等的性质 二是利用不等式的性质判断有关不等式的命题的真假 或者求变量的取值范围 这部分内容的考查以填空题为主 题目不难 但如果做题不在状态或是对性质记忆模糊 甚至随意篡改性质的前提条件 都可能将简单的问题弄得很糟糕 1 利用不等式的性质判断命题的真假时 一定要保持清醒的头脑 注意各个性质结论成立的前提 不能随意改变性质的条件 2 利用不等式的性质求取值范围的过程中 要保持变形的等价性 不要随意扩大或缩小变量的范围 事先要判明变量是独立的还是互相制约的 3 比较两个代数式的大小 一般是将代数式相减后 通过因式分解 凑配等方法将化简到容易判断符号为止 如果是解答题 往往会含有参数 因而需要用到分类讨论思想 4 对于判断在某些范围内
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