高三数学 专题6 三角恒等变换与解三角形练习.doc

专题6：三角恒等变换与解三角形（两课时）一、前测训练1(1)已知cos()，(0，)，则cos ；sin() ；，cos(2) 答案：（2）；（2） (2)已知cos(x)， x，则 答案： (3) 答案：2 (4)已知tan(a)则 答案：2 (1)在abc中，b，b60，c1，则c ；a 答案：300；2 (2)在abc中，a1200，a7，bc8，则b ；c 答案：3或5；5或3 (3) 如图，在四边形abcd中，已知adcd， ad10， ab14， bda60， bcd135 ，则bc .答案：83(1)在abc中，acosabcosb，则abc的形状为 答案：等腰或直角三角形 (2) 在abc中，sina2cosbsinc，则abc的形状为 答案：等腰三角形二、方法联想1三角变换基本想法 (1)角：观察角的联系，实现角的统一 (2)名：弦切互化，异名化同名 形：公式变形与逆用幂：平方降幂，根式升幂解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择注意 判断角的范围，确定三角函数值的正负或角的值若在已知范围内不能确定时，利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围2三角形中边角计算方法 正、余弦定理的本质是六个量中四个量可以建立一些关系式，如涉及三边一角考虑用余弦定理，两边两角考虑用正弦定理3边角转化、角角转化方法 关于含有边角的关系式，利用(1)a2rsina，b2rsinb，c2rsinc或(2)cosa等进行边角互化，即边化角或角化边方法 角角转化，即利用abc消元实现三角化两角，若已知一个角，可以将两角化一角三、例题分析第一层次例1、在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosb=，abc的周长为5，求b的大小解 (1)=2.(2) b=2.教学建议（1)主要问题归类与方法： 边角互化问题 利用a2rsina，b2rsinb，c2rsinc将边化为角；利用cosa等将余弦化为边；ccosbbcosca等化角为边方法选择与优化建议：1、对于等式的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出；2、利用cosa等将等式的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法3、等式可以化为bcosaacosb2(bcosc+ccosb),即c=2a, ，所以可以选择方法(2)主要问题归类与方法： 求边长 利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a，又abc5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法的余弦定理解决问题比较方便例2 已知函数f(x)2 cos2x2sinx cosx（1）求函数f(x)在，上的值域；（2）在abc中，若f(c)2，2sinbcos(ac)cos(ac)，求tana的值解 （1）函数f(x)在，上的值域为0，3 （2） tana教学建议（1)主要问题归类与方法： 将已知函数转化为函数f(x)asin(x)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数方法选择与优化建议：平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点（2）主要问题归类与方法： 三角形中求某一个角的三角函数值，正弦定理 余弦定理 三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法不作考虑；注意到角c已知，又abc，因此本题可化为只有一个只有未知角a；利用第第二个条件2sinbcos(ac)cos(ac)，化为只有一个未知量角a的方程解决例3 如图所示，在半径为2、圆心为的扇形ab弧上任取一点p，作扇形的内接平行四边形pnmq，使点q在oa上，点m，n在ob上，设bop,平行四边形pnmq的面积为s(1)求这之间的函数关系；(2)求s的最大值及相应的的值解 （1）s=（2）当时，教学建议（1)主要问题归类与方法： 平行四边形pnmq的面积mnqmsinqmn；平行四边形pnmq的面积mnh(h为mn边上的高)方法选择与优化建议：mn、qm、qmn不好表示，所以方法不作选择；方法实际上就是分别过点p、q作垂足分别为d、e，将平行四边形pnmq转化为矩形pdeq，这个问题就可以仿照苏教版数学（必修4）中的习题解法求解（2)主要问题归类与方法： 转化为函数f(x)asin(x)+b的形式，此函数只含有一个三角函数方法选择与优化建议：化为只含有一个角的一次三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点 第二层次例1、在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosb=，abc的周长为5，求b的大小解 (1) =2. (2) b=2.教学建议（1)主要问题归类与方法： 边角互化问题 利用a2rsina，b2rsinb，c2rsinc将边化为角；利用cosa等将余弦化为边；ccosbbcosca等化角为边方法选择与优化建议：1、对于等式的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出；2、利用cosa等将等式的左边余弦化为边来做，运算量较大，所以不选择方法3、等式可以化为bcosaacosb2(bcosc+ccosb),即c=2a, ，所以可以选择方法(2)主要问题归类与方法： 求边长 利用正弦定理求边； 利用余弦定理求边方法选择与优化建议：因为从第一问已经可以得到c=2a，又abc5，所以三边可以转化为只含有一个未知量b,利用减元消元解方程的方法解决问题，因此选择方法的余弦定理解决问题比较方便例2 已知函数f(x)2 cos2x2sinx cosx（1）求函数f(x)在，上的值域；（2）在abc中，若f(c)2，2sinbcos(ac)cos(ac)，求tana的值解 （1）函数f(x)在，上的值域为0，3 （2）tana教学建议（1)主要问题归类与方法： 将已知函数转化为函数f(x)asin(x)+b的形式，使此函数变为只含有一个三角名称的一次三角函数方法选择与优化建议：平方降幂，将2次变为1次；角统一，化为只含有一个角的三角函数；注意利用角的范围来确定函数的值域，防止学生求值域时只是代入两个端点（2）主要问题归类与方法： 三角形中求某一个角的三角函数值，正弦定理 余弦定理 三角恒等变形方法选择与优化建议：本题没有边的的条件，所以方法不作考虑；注意到角c已知，又abc，因此本题可化为只有一个只有未知角a；利用第第二个条件2sinbcos(ac)cos(ac)，化为只有一个未知量角a的方程解决例3、已知的面积为，且（1）求的值； （2）若，求abc的面积解 （1）.(2) 3教学建议（1)主要问题归类与方法： 向量的数量积表示有两种方法，是数量积的定义，是数量积的坐标表示方法选择与优化建议：本题中没有涉及到向量的坐标，同时还需要表示三角形的面积，所以选择方法（2）主要问题归类与方法： 求三角形的面积问题计算三角形的面积需要三个条件，已知两条边一夹角；已知三条边；已知一条边以及此边上的高等等方法选择与优化建议：已经知道了两个角一条边，以上的三个方法都可以解决问题，但相对而言，方法的运算量较小 第三层次例1、已知，(0，)，且tan2，cos （1）求cos2的值；（2）求2的值解 （1）cos2 （2） 2 教学建议（1)主要问题归类与方法： 问题1、cos2cossin2cos112sin问题2、由于cos2cos2sin2， 这可以化为tan的齐次式方法选择与优化建议：对于问题1，选择以上三个公式中的任何一个都可以，但在从(0，)，tan2求cos、sin时要注意判断它们的符号对于问题2，os2cos2sin2 ，处理起来更加便捷（2)主要问题归类与方法： 求角的问题求角就需要选择一个关于2的三角函数，它可以是正弦、余弦，也可以是正切，关键在于这个三角函数值可以求。另外，2的范围不仅影响角的结果，也影响着选择正弦、余弦、正切中的哪个三角函数方法选择与优化建议：通过推理，我们得到2(，)，所以可以选择计算sin(2)值，也可以选择计算tan(2)的值，但不宜选择计算cos(2)，因为在(，)上，正弦函数、正切函数都是单调的，而余弦函数却是不单调的 例2 设的内角的对边分别为,且.(1)求b；(2)若,求c解 (1). (2)或. 点评：求角一般要先求值，即求出该角的某一个三角函数值，但求哪一个三角值，要根据条件选择；由值求角，要注意角的取值范围，有时会有多个角教学建议主要问题归类与方法： 在三角形中求角的大小通常利用正弦定理，利用已知的两边一对角，求另外一个对角；是利用余弦定理，已知三条边求任意一个角方法选择与优化建议：条件可化为，所以选择方法余弦定理可以直接得到角b的大小（2)主要问题归类与方法： 在三角形中求角的大小由第一问，我们已经得到了，所以，代入到条件中去，求解关于角c的方程，利求得角c的某个三角函数值；从，以及，可以求得，进而得到角c的大小方法选择与优化建议：方法代入后化归为，这个解法虽然比较麻烦，但是多数学生会采取这个方法，它符合学生的正常思维方法解法简洁，但是学生不太容易想到计算的值方法值得学生选择并掌握例3 在abc中，内角a，b，c的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cosb=，abc的周长为5，求b的大小解 (1) =2. (2) b=2.教学建议（1)主要问题归类与方法： 边角互化问题 利用a2rsina，b2rsinb，c2rsinc将边化为角；利用cosa等将余弦化为边；ccosbbcosca等化角为边方法选择与优化建议：1、对于等式的右边，我们可以选择方法，化变为角，推导出；2、利