谈雨水中行进少淋雨.doc

21世纪数学网谈如何在雨水中行进少淋雨江山中学 杨笑山（现就读于北京大学） 下雨天忘记带伞总是件恼人的事，因为你往往不得不硬着头皮跑回家，弄得一身湿。怎样才能在跑动中少淋雨，自然是一件非常重要的事，本文就试图从定量的角度，分析人奔跑的速度与淋到雨的关系，从而总结出少淋雨的三原则。 一、怎样计算淋雨量 雨水可视为以一定速度运动且在空间中分布均匀的流体，不妨设其质量分布系数为Q（kgm 3 ）。当人淋雨时，就普通人而言，看到的只是雨水纷纷而下。 但若换一个角度，把雨水视为静止不动，那人就在相对雨水而运动了。更为形象地讲，当雨水被视为静止时，它便与空间“凝固”在一起了，仿佛牢牢地盛装于一个硕大无比的桶内，纹丝不动。而人则在静止的雨水中“穿梭”。显然，这种“穿梭”是相对于雨水而言的。而且人在“穿梭”的过程中，外表面还不断地扫过一定的空间，而这空间中的水便“附”在了人体表面，人便这样淋到了雨。 基于上述视角，我们可以很快发现，人的淋雨量m（kg），即为V（m3）与Q（kgm 3）的乘积，这里的V即是人体外表面相对于“雨水凝固体”所扫过的空间的体积，更确切地说，是体表相对于运动的雨水所扫过的雨水的体积。通过上述解释，我们可以得到公式： mVQ . 这也是本文最基本的一个公式。其中Q是常量，要使m小，V就得小。于是求V便成了关键，究竟V该怎样求，下文将有专门论述。 二、关于人体等效模型的证明 在本文的第一部分，笔者已将人体外表面等效为一个长方体的外表面，这有理可依。下面就逐步论证这一等效方法的合理性。 首先证明以下这个结论： 任取一个平面图形P，设其面积为Sp（m2）；再取一个平面，P在其上的射影为T，面积记为ST（m2）。当P沿垂直平面的直线平动时，若通过的距离为d（m），则其所扫过的体积VSTd（m3）。证明：如图(2)所示分别以P和T为底垂直于平面作两等高柱体和，且高均为d（m）,P所对应的另一底面记为P，同样再设出底面T，设面P 上任意两点A1、B1在面上的射影为A2、B2，并记平面A1B1B2A2为平面（A1A2，B1B2，A1A2B1B2，可以确定平面）。而截得线段A1B1 ，截得线段A2B2,柱体中面T面T,A2B2A2B2，又B2B2A2A2,且B2B2平面， A2B2B2A2是一个矩形，其面积SIA2B2A2A2A2B2d.面P在这过程中是沿着垂直于平面的直线平动的，面PP ， 同理有A1B1 A1B1,又B1B1A1A1, A1B1B1A1是一个平行四边形，其面积SIIdh，这h即是边A1A1与边B1B1的距离。显然hA2B2。SIIA2B2dSI。当初选取A1、B1点是任意的，平面也是任意的。由祖日桓原理有VI= VII。 若把面T等（面）积变形为一矩形，则VII（m3）不会改变。 由上述推理可知：任一平面图形在平动中所扫过的空间体积，均可表示为一矩形面积S与移动距离d之积。其等效变形的原则已如前所述。 上面的这种投影等积变形方法，即可用于计算平动平面所扫过的空间体积，也可用于计算平动曲面所扫过的空间体积。因为曲面可看作由无数微小的平面拼成，每个小平面适用，整个大曲面也同样适用。 下面来考虑人体的外表面。 在三维坐标系中,人体外表面相对于雨水的运动有三个方向（即x、y、 z 三向）,由物理学中的运动独立性原理可知，这三个方向上的运动彼此独立、互不干扰，可以分而论之。不妨设人在这三个方向上相对于雨水的速度为Vx、Vy、Vz （单位：ms 1 ），并让体表分别在垂直于这三个方向的三个平面上投影，投影面积分别为S3（x向）、S2（y向）、S1（z向）（单位：m2）。通过等积变形， 将这三者拼成长方体的三个相邻表面。zoyxy 设人体（也就是那个长方体）在雨水中行进了t（s）时间。由上文的等效原理可知，人体外表面在x 方向上扫过的空间体积Vx（m3）可等效为投影面S3所扫过的体积。VxS3vxt 同理可得VyS2vyt VzS1vzt人体所扫过的总体积 VVxVyVz 以上四式是下文计算淋雨量的直接依据。 三、扫过体积的计算和讨论 在计算前先作一些必要的说明： （i）雨水并非单纯竖直下落，它还在水平移动。不妨设其坚直下落速度V1(ms 1 )，水平移动速度V2（ms 1 ）。u1L0Lu2 （ii）人在不停地跑动时，其轨迹可视为一系列全等的抛物线，其中每小段都含有一个从起跳到落地的过程。不妨设这每一小段的水平长度为Lo（m）；起跳时， 竖直速度与水平速度分别为u1（ms 1 ）和u2（ms 1 ）；从起跳至落地历时t0（s）。由物理学中斜抛运动公式，我们可得t02u1g,L0u2t02u1u2g。 （iii）人在雨中跑动时，不可能无目的地，不妨设它与人距离为L，因为L往往远大于L0，所以可认为L中正好包含整数个L0，从而忽略“边缘效应”产生的误差。 除此之外，等效人体的三表面积S1、S2、S3也有用。 （一）人在竖直方向上的淋雨量（即头顶和肩上淋到的雨）由式可知VzvztS1。这里的Vz是人相对于雨水在竖直方向上的速度。 在长度为L0的运动过程中，vz按vzu1v1gt的规律变化（t0,t0），这其间S1扫过的雨水体积由公式可知，淋雨量mz0Vz0Q记在总长L中，坚直方向上的淋雨量为m1（kg）由此可见m1f1（u2） ，与u1无关，且在（0，）是减函数。 （二）前（后）面与左（右）侧面的淋雨量 先定义一个角:设由u2的方向转向v2的方向所需转过的绝对值最小的角为，显然0,。 （1）a ,人跑完全程历时t 。设在这段时间内，S2面上的淋雨量为m2，则由 式和式可得m1vyS2tQ。由右边矢量图可知，相对速度vyu2v2cos v2cos0, LQSv2sin0， m2+m+3f2(u2)在（0，）上是关于u2的减函数。 （ 2）a0, ） 通过上述类似的分析可得（三）综合讨论 由（1）（2）可知，m1、m2、m3均是u2（水平速度）的函数与u1（坚直起跳速度）无关。看来在躲雨方向，“跳高的”强不过“跑步的”。 （1） 当 ，时总淋雨量mf1（u2）f2（u2）。 由（一）和（二）（1）的讨论可知f1(u2)与f2(u2)在（0, ）均是减函数，即u2越大，淋雨越少。 记为F（u2）。该函数增减性分以下3种情况：（i）S3sinS2cos 当u2v2cos时，F(u2) v2（S3sin S2cos）0， F（u2）是减函数。F（u2）（v2cosa）。 当0u2v2cos时，F(u2) 同理F（u2）也是减函数，F（v2cos）F（u2）。 由此可得F（u2）在（0，）上是减函数。 u2越大，淋雨越少。 同（1）的分区间讨论可得F（u2）在（0，）上单调递减。 u2越大，淋雨越少。 F(u2)是增函数。 F(u2)F(v2cos). 当0u2v2cos时，同理有F(u2)是增函数。 F（u2）F（v2cos） 。 u2v2cos淋雨最少。 四、讨论结果的实际意义（一）综合讨论中的情况（1） 当a ，时，由图可知，雨是从前面或侧面打来的。此时，u2越大，也即跑得越快，淋雨越少。（二）综合讨论中情况（2）的（i）（ii） 在（i）中，S3sinS2cos Qv2tS3sinQv2tS2cos QS3（v2sin）tQS2（v2cos）t（） 由图可知，当人在雨中站立不动时，v2sin即是雨打向S3的速度，也即S3相对于雨水移动的速度vx. 同理v2cosvy。 （）式 QS3vxtQS2vyt m3m2同理（ii）中，v2 式中m3m2是指体侧淋到的雨比后背多（或相等），式中m2m1m3指后背淋雨比其它部位淋到的雨要少（或相等）。在这两种情况下均是u2越大，淋得越少。此时，雨从侧面或后面袭来。（三）综合讨论中情形(2)中的（iii） 在（iii）中v2，也即人站立在雨中时，后背淋到的雨，比其它部位淋到的总和还要多。 此时，当u2v2os时淋到的雨最少。而u2v2cos m20。 所以在这种情况下，奔跑时尽量使