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第四章 圆与方程达标复习课一圆的标准方程与一般方程【课标要求】回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。【例题1】已知圆的圆心在直线4x+y=0上，并且圆与直线x+y-1=0相切于点P(3，-2)，求圆的方程。【解析】本题考查圆的方程的确定，一般先设出圆的方程，此题可设圆的标准方程，也可设圆的一般方程，不管哪种形式的方程，都含有三个未知数，求圆的方程时需要寻找三个相互独立的条件列方程，解方程组可求出圆方程中的参数，从而确定出圆的方程，这里用的是“待定系数法”求圆的方程。【答案】解法一：设所求圆的标准方程为由题意得，半径所以所求圆的方程为：解法二：设圆心c坐标为（a，b），圆的半径为r，过切点p（3，-2）且垂直于切线的直线方程为：y+2=x-3，它一定过圆心，所以可由确定圆的圆心c点的坐标（1，-4），半径所以所求圆的方程为：解法三：设圆的一般方程为：圆心坐标，由题意知：解得：，所以圆的方程为： 【归纳拓展】用待定系数法求圆的方程也要选择圆的方程的形式，如果题目条件与圆心、半径联系密切，很容易求出圆的这两个要素来，通常设圆的标准方程，否则设圆的一般方程，本题的解法一、解法二设的是标准方程，先通过方程组，确定出圆心坐标，再求出半径，进而求出圆的方程，解题时多利用了圆的几何性质来分析（解法二用到的圆的几何性质是：过切点垂直于切线的直线必过圆心），思路简单，运算量也不大，特别是解法二能很好的体现出解析几何问题是代数法和几何法的有机结合，解法三设的是一般方程，更侧重于代数运算，计算量略大。在解决与圆有关的问题时，要仔细审题，充分利用好圆的一些几何性质，能使解法方法简洁，计算量小。【变式训练1】已知圆过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上，求此圆的方程。二直线与圆的位置关系【课标要求】能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆位置关系。【例题2】 直线y=x+b与曲线有且仅有一个公共点，则b的取值范围_【解析】要解决此题，首先要明确曲线表示什么图形，才能结合直线的图像用数形结合法来解答，我们需要对曲线方程进行等价变形，两边平方化为：，一定要注意这个条件，xOA(0,1)B(0,-1)这个曲线表示一个右半圆，如图所示:y=x+b表示斜率为1的直线，当直线与y轴交于线段AB上（不含B点）时，直线与半圆有一个公共点，此时要求：，当直线与半圆相切时，直线与半圆也有一个公共点，此时很容易求得，所以b的取值范围为:。【答案】【归纳拓展】直线与圆的位置关系的客观题，要尽量作图分析，多运用数形结合的方法解决，抓住题目涉及的某一位置状态（相切、相交或相离）观察，然后根据题意和参数的几何意义确定出符合条件的解。【变式训练2】当曲线与直线y=k(x-1)+2有两个相异交点时，则k的取值范围是 三两圆的位置关系【课标要求】能根据给定直线、圆的方程，判断圆与圆的位置关系。【例题3】已知圆G经过点M(3,-1) ,且与圆C 相切于点N(1,2)，求圆G的方程。OCMNGxD【解析】首先可以考虑标准方程，根据圆的性质先求圆心G坐标，再求半径r，最后直接写出圆的标准方程，又因为知道所求圆上的两点，所以也可设圆的一般方程，需要布列三方程组成的方程组，解参数得方程。【答案】解法一：C坐标（-1,3），N（1,2），由两点式可求直线CN的方程为：x+2y-5=0，又因为M(3,-1)，线段MN的中点D坐标是，直线MN的斜率是，弦MN中垂线的斜率是，由点斜式得弦MN中垂线的方程为：4x-6y-5=0，由圆的性质可知直线CN与弦MN中垂线都过圆心，联立方程,所求圆的圆心G，半径，所以圆G的方程为解法二：设圆G的一般方程为： 圆心G坐标，C坐标（-1,3），M(3,-1)，N（1,2），其中M、N点都在圆上，C、N、G共线，NG与NC斜率相等，由题意知：解得：，所以圆的方程为： 【归纳拓展】仔细审题，深刻挖掘题目中两圆位置关系中的几何条件，利用几何性质结合方程分析，就能确定出圆心坐标和圆的半径，得出圆的标准方程，就像解法一，就用到两个性质：（1）弦的垂直平分线经过圆心，（2）两圆相切圆心连线经过切点，也可以单纯从方程角度进行代数分析，设出圆的一般方程后，寻求三个独立的条件列出方程组来，解参数得方程，就像解法二。由例1和例3可以看出解决解析几何问题一般有两个思路：结合一些几何性质的“几何法”和单纯用方程的“代数法”，前者因为结合了一部分几何分析，所以计算量就小了些，但思维量大了些，后者因为单纯代数分析，思路简单，思维量小了，计算量有时候反而大了。它们各有自己的优缺点，解决问题时要认真审题择优选取。【变式训练3】已知圆A的半径为，且与圆C：相切于原点，求圆A的方程。四用直线和圆的方程解决一些简单的问题【课标要求】能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。【例题4】船行前方的河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面为9m，拱圈内水面宽22m船只在水面以上部分高6.5m、船顶部宽4m，故通行无阻近日水位暴涨了2.7m，船已经不能通过桥洞了船员必须加重船载，降低船身试问船身必须降低多少，才能顺利地通过桥洞？图1422965O1OxyC(2,y)AB图2【解析】当船行驶在河道的正中央时，要使船能够通过桥洞的最低要求是船顶最宽处的角点在圆拱桥的拱圈上。【答案】画出正常水位时的桥、船的示意图如图1；涨水后桥、船的示意图如图2以正常水位时河道中央为原点，建立如图2所示的坐标系设桥拱圆顶的圆心在O1(0,b)，桥拱半径r，因此桥拱圆顶在坐标系中的方程为x2+(y-b)2=r2桥拱最高点B的坐标为(0,9)，桥拱与水线的交点A的坐标为(11,0)圆O1过点A,B，因此02+(9-b)2=r2，112+(0-b)2=r2，两式相减后得 121+18 b -81=0, b =-2.22；并且可解出r11.22所以桥拱圆顶的方程是：x2+(y+2.22)2=125.94 水位上涨并且船行驶在河道的正中央时，参考圆O1上横坐标为2的点C，坐标设为(2,y)应满足圆O1的方程，即 22+(y+2.22)2=125.94，解出 y8.82扣除水面上涨的2.70, 点C距水面为8.82-2.70=6.12 船身在水面以上部分原高6.5，所以为使船能通过桥洞，必须降低船身6.5-6.12=0.38(m)以上。【归纳拓展】求解本题的关键是要得到桥拱圆的方程，有了圆的方程，计算点C距水面高度等，问题就迎刃而解了。这实际上是一个的通过数学模型解决实际问题的典型案例，数学建模分析的大体步骤： （1）读懂题目。应包括对题意的整体理解和局部理解，以及分析关系、领悟实质。 “整体理解”就是弄清题目所述的事件和研究对象； “局部理解”是指抓住题目中的关键字句，正确把握其含义； “分析关系”就是根据题意，弄清题中各有关量的数量关系或空间形式； “领悟实质”是指抓住题目中的主要问题，正确识别其类型。 （2）建立数学模型。将实际问题抽象为数学问题，建模的直接准备就是审题的最后阶段，从各种关系中找出最关键的数量关系，将此关系用有关的量及数字、符号表示出来，即可得到解决问题的数学模型。 （3）求解数学模型。根据所建立的数学模型，选择合适的数学方法，设计合理简捷的运算途径，求出数学问题的解，其中特别注意实际问题中对变量范围的限制及其他约束条件。 （4）检验。既要检验所得结果是否适合数学模型，又要评判所得结果是否符合实际问题的要求，从而对原问题作出合乎实际意义的回答。【变式训练】有相距100km的A、B两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民从两地运回商品时，A地的单位距离的运费是B地的2倍。问怎样确定A、B两批发市场的售货区域对当地居民有利？五、用代数方法处理几何问题【课标要求】在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。【例题5】已知内接于圆的四边形的对角线互相垂直，求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.ExyOC(c,0)ABD(0,b)(0,d)QMN【解析】此题用几何方法证明较难，故采用坐标法，需要先建直角坐标系，建系时要结合图形的特点，使尽量多的点位于坐标轴上，用上图形的对称性，这样得到的点的坐标，曲线的方程比较简单，运算量小。【答案】如图，以四边形ABCD互相垂直的对角线CA，DB所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系。设,过四边形ABCD外接圆圆心Q分别作AC，BD，AD的垂线，垂足分别为M，N，E，则M，N，E分别是线段AC，BD，AD的中点，由线段的中点坐标公式得：,所以：，所以，同理可以证明其它，所以圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半【归纳拓展】用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆，将几何问题转化为代数问题；然后通过代数运算解决代数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论。这就是用坐标方法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论。【变式训练5】等边三角形ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，且满足|AE|=2|EC|，|CD|=2|DB|，AD与BE相交于点P，求证：APPC。BDAPEC六空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置【课标要求】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。【例题6】在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90,ADBC,AB=BC=1,AD=2,PA底面ABCD，PDA=30,AEPD于E.试建立适当的坐标系，求出各点的坐标. 【解析】由题意易知，AP，AB，AD两两互相垂直，故以A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.【答案】如图所示，以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.AB=BC=1，点A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0）,AD=2，D（0，2，0）,PA底面ABCD，PAAD. 又PDA=30,PA=ADtan30=,所以点，面PAD面ABCD，过E作EFAD于F，则F为E在底面ABD内的射影，在RtAED中，EDA=30,AE=AD=1,故。【归纳拓展】在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，空间图形中有三线两两垂直的或很容易构造三线垂直的，就可以以这三线为坐标轴来建立直角坐标系。【变式训练6】结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体）,其中白色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系O-xyz 后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。yzx七空间两点间的距离公式【课标要求】通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索空间两点间的距离公式。【例题7】正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=a，。（1）求MN的长；（2）求a为何值时，MN的长最小.【解析】条件中存在两两垂直的三条直线，故可以建立空间直角坐标系.用代数法解决。【答案】面ABCD面ABEF，面ABCD 面 ABEF=AB,ABBE,BE