（应用数学专业论文）几种随机微分方程数值方法与数值模拟.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 随机微分方程的理论广泛应用于经济 生物 物理 自动化等领域 然而 在很长一段时间里 由于缺乏有效的求解随机系统的数值方法以及足够强大的 计算机计算能力 在实际问题中 以随机微分方程 组 为代表的描述物理现象 的许多复杂的数学模型或者被束之高阁 或者被迫通过忽略随机因素而简化 均不能得到很好的应用 可喜的是近十年来 在随机微分方程数值解方面已取 得了一些成就 这意味着由某些随机微分方程描述的数学模型可以借助于计算 机进行研究 本文首先介绍了随机微分方程的背景知识及其理论解的重要性质 其中通 过随机积分导出了i t o 型和s t r a t o n o v i c h 型两种重要形式的随机微分方程 并给 出了计算随机积分期望的相关引理 介绍了随机微分方程强解的存在唯一性定 理 对于线性随机微分方程 给出了解的解析表达式 推导了解的随机t a y l o r 展开式 由于随机系统的复杂性 一般情况很难得到方程理论解的解析表达式 这 样一来 数值方法的构造显得尤为重要 现在对随机微分方程数值解的研究还 处在初级阶段 为了构造有效的数值方法 首先要考虑到数值方法的收敛性和 稳定性 本文介绍了随机微分方程理论解的随机渐进稳定性和均方 m s 稳定性 同时介绍了数值解的m s 稳定性和t 稳定性 在主体部分 本文分别通过直接截断随机t a y l o r 展开式和比较理论解与随 机r u n g e k u t t a 格式的t a y l o r 展开式的方法分别得到了数值求解随机微分方程 的t a y l o r 方法和r u n g e k u t t a 方法 并对具体方法进行了m s 稳定性分析 对 实际算例进行了数值模拟 其中显式e u l e r m a y a m m a 方法和m i l s t e i n 方法是求解i t o 型随机微分方程 的基本方法 本文在此基础上介绍了相应的半隐式e u l e r m a y a r u m a 方法 m i l s t e i n 方法和隐式e u l e r t a y l o r 方法 m i l s t e i n 方法 并通过截断随机t a y l o r 展开式的方式推导了1 5 阶t a y l o r 方法 在推导具体的r u n g e k u t t a 方法时 本文首先介绍了r u n g e k u t t a 方法在常 微分方程中的应用 形式上类比得到了随机r u n g e k u t t a 方法 通过应用有根 树理论简化了r u n g e k u t t a 格式的t a y l o r 展开式 应用阶条件构造了3 级显式 r m 2 和3 级半隐式 s i m l 两个具体的r u n g e k u t t a 格式 稳定性分析表明各种数值方法的隐式格式稳定性优于相应的显式格式和半 隐式格式 数值模拟表明新格式m 2 和s i m l 与经典的r u n g e k u u a 格式 如4 级显式 m 3 和2 级对角隐式 d i m l y 样具有较高的数值精度 关键词 随机微分方程 收敛性 稳定性 t a y l o r 方法 r u n g e k u t t a 方法 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo fs t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o nf s d e w a sw i d e l ya p p l i e di nt h e f i e l d so fe c o n o m y b i o l o g y p h y s i c sa n da u t o m a t i z a t i o n h o w e v e r d u r i n gq u i t ea l o n gp e r i o do ft i m e d u et ot h el a c ko fe f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs o l v i n g s t o c h a s t i c s y s t e m sa n dc o m p u t e r sw i t h s u f f i c i e n t p o w e r m a n yc o m p l i c a t e d m a t h e m a t i c a lm o d e l st h a ta t t e m p tt or e p r e s e n tp h y s i c a lp h e n o m e n a s u c ha ss d e s h a db e e np u ta s i d eo rs i m p l i f i e dw h e na p p l i e di np r a c t i c a lp r o b l e m sb yo m i t t i n g s t o c h a s t i cf a c t o r s t h u st h e s em o d e l sw e r ei u s tb e a u t i f u li nf o r ma n dn e v e rf u l l y u t i l i z e d f o r t u n a t e l y i nt h ep a s td e c a d eo rs e tn u m e r i c a lm e t h o d sf o rs d 尉s h a v e m a d es o m ec h e e r i n ga c h i e v e m e n t s w h i c hp r e d i c a t es o m em a t h e m a t i c a lm o d e l s r e p r e s e n t e db ys d e s a r eb e i n gr e s e a r c h e dw i t hc o m p u t e r s f i r s t t h eb a c k g r o u n do fs d ea n dt h ei m p o r t a n c eo fi t st h e o r e t i c a ls o l u t i o na r e i n t r o d o c e d t w oo ft h ev e r yi m p o r t a n tf o r m so fs d e i t os d ea n ds t r a t o n o v i c hs d e a r ed e d u c e db ys t o c h a s t i ci n t e g r a l sa n ds e v e r a li e m m a sa b o u tt h em o m e n t so f s t o c h a s t i ci n t e g r a l sa r ea l s og i v e ni nt h ep a p e li na d d i t i o n im e n t i o nt h et h e o r e m 西v i n gn e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa s o l u t i o nt os d ea n dig i v er e p r e s e n t a t i o nf o r m u l a eo fs o l u t i o n so fl i n e a rs d e s a n d t h es t o c h a s t i ct a y l o rs e r i e so fs o l u t i o na r ed e d u c e d f o rt h ec o m p l e x i t yo fs t o c h a s t i cs y s t e m s i t sv e r vd i f f i c u l tt oc a l c u l a t et h e r e p r e s e n t a t i o nf o r m u l a eo fs o l u t i o n so fg e n e r i cs d e t h u sc o n s t r u c t i n gn u m e r i c m e t h o d si sp a r a m o u n t n o w a d a y s t h er e s e a r c ho fn u m e r i c a ls o l u t i o no fs d ei ss t i l l i ni t sn a s c e n ts t a t e c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yn e e dt ob ec o n s i d e r e db e f o r e d e v e l o p i n ge f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d s s t o c h a s t i ca s y m p t o t i c a ls t a b i l i t ya n dt h a t i n m e a r l s q u a r es e n s e m s s t a b i l i t y o ft h et h e o r e t i c a ls o l u t i o ni si n t r o d u c e di nt h e p a d e r a sw e l la sm s s t a b i l i t ya n dt s t a b i l i t y i nt h eb o d yo ft h ep a p e r b o t hd i r e c tt r u n c a t i o no fs t o c h a s t i ct a y l o rs e r i e sa n da c o m p a r i s o no ft h et a y l o rs e r i e so ft h et h e o r e t i c a ls o l u t i o na n di t sc o r r e s p o n d i n g r u n g e k u t t af o r ma r ec o n s i d e r e d w h i c hl c a dt ot a y l o rm e t h o d sa n dr u n g e k u t t a m e t h o d s f o rt a y l o rm e t h o d s e x p l i c i te u l e r m a y a r u m am e t h o da n dm i l s t e i nm e t h o d a r eb a s i cf o rs o l v i n gi t os d e s o nw h i c hb a s i ss e m i i m p l i c i te u l e r m a y a r u m a m e t h o d s e m i i m p l i c i tm i l s t e i nm e t h o d i m p l i c i te u l e r t a y l o rm e t h o da n di m p l i c i t m i l s t e i nm e t h o da r ei n t r o d u c e da n do r d e r1 5t a y l o rm e t h o da r eo b t a i ni nt h es i m i l a r w a v f o rr u n g e k u t t am e t h o d s t h e i ra p p l i c a t i o nt oo r d i n a r yd i f 诧r e n t i a le q u a t i o na r e m e n t i o n e da tf i r s ta n dt h es t o c h a s t i cs e t t i n g sa r ec o n s t r u c t e db yc o m p a r i s o n r o o t e d t r e et h e o r ys i m p l i f i e st h ef o r mo fr a n g e k u t t am e t h o d sa n dt w on e wr u n g e k u t t a m e t h o d so f3s t a g ee x p l i c i t m 2 a n d3s t a g es e m i i m p l i c i t s i m l a r ed e s i g n e d i nt h ee n d s t a b i l i t ya n a l y s e su n d e rm e a n s q u a r es e n s ea r ep e r f o r m e do n c o n c r e t em e t h o d sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ei m p l e m e n t e d w h i c hi l l u s t r a t e i m p l i c i tf o n no u t p e r f o r m ss e m i i m p l i c i t a n ds e m i i m p l i c i ti sb e t t e rt h a ne x p l i c i ti n s t a b i l i t yf o re v e r ym e t h o d a n dn e wm e t h o d sm 2 s i m lh a v et h es a m er e l a t i v e l y h i 曲e rn u m e r i c a lp r e c i s i o na st h ec l a s s i c a lr u n g e k u t t am e t h o d s e g 4s t a g ee x p l i c i t m 3 a n d2s t a g ed i a g o n a li m p l i c i t d i m l k e yw o r d s s d e c o n v e r g e n c e s t a b i l i t y t a y l o rm e t h o d s r u n g e k u t t am e t h o d s 独创性声明 本人声明 所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果 也不包含为获得武汉理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中明确的说明并表示了谢意 研究生签名 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留 使用学位论文的规定 即 学校有 权保留送交论文的复印件 允许论文被查阅和借阅 学校可以公布论文的全部 内容 可以采用影印 缩印或其他复制手段保存论文 保密的论文在解密后遵守此规定 研究生签名 豸蔓刍 一导师签名 日期丝 五 z 羔步 武汉理工大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 随机微分方程的起源与基础研究内容 随机微分方程起始于k o l m o g o r o v 的分析方法与f e l l e r 的半群方法 随着随 机微分方程越来越广泛地应用于系统科学 工程控制 生态学等各个方面 对 方程本身及其解性态的研究就显得十分重要 目前 对于随机微分方程理论解 的研究已有了一些研究成果 如 1 4 同等 根据问题的物理起源和数学特点 将随机微分方程分成三类 最简单的一类随机微分方程是只有初始条件是随机 的 第二类随机微分方程的特点是随机元素只出现在方程的非齐次项或输入项 第三类随机微分方程是指有随机系数的微分方程 然后分别就这三种情况讨论 其解过程的存在唯一性 统计性质等等 随机微分方程有强解与弱解之分 泽 夫斯曲斯 2 j 对于随机微分方程的强解与弱解及它们与扩散过程和某些带跳跃的 马氏过程之间的联系进行了探讨 与常规微分方程的情形一样 在大多数情况下 随机微分方程理论解的解 析表达式是无法求出的 x u e r o n g m l7 l 证明了当解的存在唯一性满足时 对于某 些特殊的线性方程 可以求出其解析解 当无法给出方程解的解析表达式时 也可通过考察解过程的各阶矩性质从而把握解的性态 目前 对随机系统稳定 性的研究也取得了一定的成果 但是还远未达到确定性的常微分方程稳定性理 论那样成熟 在确定性系统的研究中有各种各样的稳定性概念 因此随机系统 中将有更多种类的稳定性概念 实际上 对每一种确定性系统的稳定性定义至 少有四种相应的随机系统的随机稳定性定义 它们是由依分布收敛 依概率收 敛 均方收敛 几乎一定收敛这四种随机序列的收敛性标准导出的 许多研究 确定性微分方程稳定性的方法 诸如一次近似 李雅普诺夫直接法 积分不等 式和微分不等式的方法都被移植到随机系统中来 并已取得显著的成果 x u e r o n gm l r l 中详细讨论了随机系统的平均稳定性 平均渐近稳定性 均方稳定 性 均方渐近稳定性 按概率稳定性 指数均方稳定性等等 并讨论了随机微 分方程在实际中的应用 1 2 数值解的研究意义 微分方程数值解是一个内容丰富的研究领域 以常微分方程为代表的确定 性系统数值解已经开展了深入研究 有许多软件包和工具箱可以用来数值求解 常微分方程通常用来描述物理系统 它们的解提供了对发生变化时系统如何变 武汉理工大学硕上学位论文 化和发展 不同的初始点对系统的解有何影响等问题的解释 目前 以表现物 理现象为目的的数学模型正在变锝越来越精密复杂 这在蓬勃发展中的计算生 物学 生物信息学 金融数学 湍流扩散 人口动力学 聚合体动力学 生物 废物处理 水文学和v l s i 回路设计等领域显得尤为突出 1 5 删 以生物学为例 随着人类基因序列和其它完整组织序列的破译成功 人类将沿着从基因到蛋白 质到细胞再到器官的目标逐步理解生命组织的完整的自然规律 描述组织全貌 的模型必须建立在时间和空间尺度之上 而改善这些模型的关键是清晰地理解 随机驱动因素对组织系统演化及其稳定性的影响 因此 随机因素在数学模型 中的作用日趋重要 甚至成为求解数学模型的首要问题 这些模型的自然表现 形式是带有时间 空间变量的随机常微分或偏微分方程 以随机常微分方程为 例 从单纯的数值计算角度它可视为将随机元素并入常微分方程而得到 在过 去的近十年中 虽然人们对应用随机微分方程建立数学模型的兴趣日益高涨 但是由于随机因素带来的复杂性 在缺乏有效数值算法和计算工具的情况下 仅有模型对解决实际问题是毫无意义的 随着计算机计算能力的飞速提高和数 学家们 如p e t e rk l o e d e n 和e c k h a r dp l a t e n 的不懈努力 数值求解随机微分方程 的范围和精度在不断地扩大和提高 武汉理工大学硕士学位论文 2 1 引言 第2 章随机微分方程预备知识 随机微分方程的一般形式可写为 p y f f f t f r r t 一k 2 1 其中l f 是分量为x f i 1 1 2 m 的m 维矢量 n t 是d 维矢量 和k 是m 维矢量 且 r f 1 2 d 和 i 一1 2 m 是随机的 在控制论 滤波和通讯理论中有重要应用的一类随机微分方程是方程但 1 中矢量随机过程n t 只含白噪声分量的情形 更特殊地 我们研究方程 毋 f 一 y o t d t g f t d w t 2 2 y o 一y t e t r w f m f w 2 t o te l l y o 啡 一 o t 事实上 w i e n e r 过程不可微 但是 形式上我们仍然可以研究它的导数和 确定其性质 可以证明形式导数d w t d t 也是有零均值的高斯过程 称为白噪 声 2 3 随机积分及其期望 随机微分方程 2 2 的积分形式为 y o y t y s s d s g y o s 葫 s f f 引 2 4 式 2 4 中的第一个积分定义为一般意义下的均方黎曼 司梯捷斯 r i e m a n n s t i e l t j e s 积分 然而将第二个积分同样定义为黎曼一司梯捷斯积分则没 有 意义 这是因为 若定义随机变量 垂 荟g y f d w q t 一w t t t e t 一 气 此随机变量序列并非均方收敛 于唯一极限 其极限值依赖于f 的选取 所以积分fg o s 咖o 在通常意义下 的均方积分值是不存在的 导致这一结果的根本原因在于w i e n e r 过程满足 v a r w t 一f 即其方差随着时间的推移不断变大导致无界 而其期望值保持为 零不变 例1 求值r w t d w t 解 用函数簖 f 来近似w f 即刃 f 加 f 帕 1 一a f 忿 f 匙s ts f 4 武汉理工大学硕士学位论文 v o 墨a s l 于是f 刃 f 咖 f 荟n a f x w 姑 一呻魁 上式右边可写成a 荟 f w f 一w f 拦 1 一a 荟 f 魁 w o 一w f 拦 其中 耋w f x w o 一 心盘 一i 1w 2 1 2 f 2 三砉 o p 一w f 艘 2 砉w 般 x w f 一w c b 一i l w f 2 1 2 w f 2 一三砉 w f 一啡描 2 所以 荟n 簖o t t w f 一 f 出 互1 w f 2 一i 1w t g 2 丢 2 a 一1 妻 o 一 f 艘 2 将区间 口 卅 n 等分 每个子区间长度为p a n 层 o p 一w f 2 2 f 一f 2 对每个k 都成立且等于子区间长度 所以 罗 w f p 一州z 器 2 的均方极限为b 一4 对 取极限6 一f p t i n 一0 得 蜀 f w f 咖 f 1w 2 p w 2 0 一争p 一口 当a 取不同值时 所求的积分值不同 其中有两类重要的积分 当a 0 时 积分称为伊藤 1 t o 积分 有f w f d w f 吉 w 2 6 一w 2 一吉 6 一n 当a 一1 2 时 积分称为斯特拉托诺维奇 s t r a t o n o v i c h 积分 有 f f 砂心 一专 w 2 6 一 2 口 两者存在概念上的差别但可以相互转换 当 2 4 中的第二个积分是i t o 积分时 方程 2 2 称为n 0 型微分方程 当 2 4 中的第二个积分是s t r a t o n o v i c h 积分时 2 2 称为s t r a t o n o v i c h 型微分方 程 记为 方 f 厂o f t d t g y f f d w t 相应的s t r a t o n o v i c h 型积分方 程 2 4 记为 y f y t i of y s s d s 上g o s d w s 从例1 可以看到伊藤积分与通常的积分不一样 按照通常的积分法则式 右端中只有第一项 而伊藤积分的结果还要加上 修正项 一仿一a 2 修正 项 是为了保证伊藤积分是一个鞅 即e f f w t d w t 1 0 r j i t o 型微分方程和s t r o t o n o v i c h 型微分方程有如下转换规则 武汉理工大学硕士学位论文 i t o 型微分方程砂 f 一 0 f f 出 g y o t d w t 在标量情形下 令 y f f y o f 一i 1i o g y f f g t y t f 在矢量情形下 f i y t 力 正 f 专蓦妻鲁 f 啪m f h 小 则d y t 厂 f t d t g f f d w t 即为相应的s t r a t o n o v i c h 型方程 为了得到随机t a y l o r 展式 下面给出多重随机积分的定义 s t r a t o n o v i c h 多重积分记作 咖嘶 f t 工r z 2 d w f i s d w o 其中 o 1 刃对应标号不同的d 个w i e n e r 过程 而且 d w o s d s 在本 文中 如 m f 可简记为 咖 j 该积分还可写作上 知 o d o 例妣乩一上 郴 卜 i t 多重积分记作 知一 f 一j c r 誓2 d w s d o 其中 0 1 d 对应标号不同的d 个w i e n e r 过程 而且d t d s 在本 文中 枷 f 可简记为 如 该积分还可写作 c 盼扎 s d w o 生成随机t a y l o r 展开式中的多重随机积分是一件非常复杂的事情 虽然一 些多重积分可以用较简单的积分来表示 但是其它的多重积分必须通过近似方 法获 得 这些近似可以通过使用时间区间 o 上的b r o w n 桥 m t w h h 0 t 的 带有随 f o u r i e r 展开式来计算 3 5 1 根据多重随机积分近似值的收敛 性 将展开式在某处截断 本文中的高阶数值方法使用了两种随机积分 p f h l 上的j 和 h 它 们可以通过两个独立随机数u v 一 似 得到 1 一 i l o 五 v 4 3 1 2 当然 i t o 积分之间 s t r a t o n o v i c h 积分之间以及l t o 积分和s t r a t o n o v i c h 积分之 阳l 也有许多关系 常见的有 6 武汉理工大学硕士学位论文 o l 墨 0 1 l o o 1 ll 1 1 0 1 0 l 0 1 l1 j o j l 曩 o l l o o l 军 1 l o 1 0 1 o l l l li 1 1 一 o 2 1 1 1 一 1 1 1 一j m 2 一 1 0 2 i 这些公式可以由k l o e d e n 和p l a t e n 1 5 提出的下列引理直接导出 引理中用到指 标a 指标口 j l 一 j 是指由集合 0 工 d 中元素构成的长度为 的整数串 a 一指口除去最后一个分量 即口一 j 1 一 j l fl 引理1 w j q t o q 荟7 n 矗m 一神 f 荟7 伽 叫7 一础 舢 f 芑o 其 中a t o 1 d 指示函数定义为 l 一 乙 引理2w f y n f 荟 矗m 神 f o 口l 1 一 引理3 令a 一 j 卢 丘 其中f p 1 2 而j 丘e o l d l o 厶 f j l o 一 矽 o 丘 d o i p s d w j s 上l o p o i u j 0 西 在确定数值方法收敛的阶时 必须计算多重随机积分的期望 由k l o e d e n 和p l a t e n 提出的下列引理指出了计算这些期望的方法 首先声明一些术语 若 将多 重随机积分的指标记为at j l 则口 指将a 除去所有的0 分量 k o 指 口的第一个非0 分量之后的0 分量个数 t 位 一1 l c t 指第f 个和第f 1 个非0 分量之间的0 分量个数 例如 若口一 o 1 1 o 2 那么 a 1 工2 k 1 k l 以 一o k 2 似 一1 k 一0 引理4 f 0 8 一卢 研l 如 卜 嵩礁 篱 小 其中7 以 是a 的长度 酬陋 7 陋 荟 似 k z 卢 7 武汉理工大学硕士学位论文 例2e i 三 一e t j 2 2 一e j 4 3 h 2 4 证明 因为 一 0 1 1 所以e u 2 2 t e i j 4 3 h 2 4 j 1 1 2 令a 一 一 由引理4 衙zq 2 h 2 2 所以 e a 1 e 瑶 l o l i l 露 4 2 2 o h 2 4 3 h 2 4 例3 计算e 1 1 解 令口一 1 卢 q o 则口 1 一声 由引理4e 1 1 非0 计算分量 七0 似 i 七 o k 伊 4 1 七t 够 i o 所以 卢 1 荟 t 屯垆 1 2 由引理4 得研 o 一h 2 2 弓i n5 粕t 以州e o 艟儆加熵觌那纰0 c i 吒 卸 引理s 令a h 护害 咆砌u e 陋小 当a 为偶 数时成立 其中n 指a 的非零分量个数 通过以上的引理 可求出如表1 所示的随机积分的期型1 5 表1一些随机积分的期望 e x p e c t a t i o n v a l u e e x p e c t a t i o n v a l u e e x p e c t a t i o n v a l u e 1 0 1 0 h 3 i o i l l o h 2 2 而i l l i l l h 2 2 h 1 2 h z 2 1 0 2 h 3 3 1 0 1 1 1h 2 2 3 3 i i l l l l l l l 6 h 3 0 1 2 l i l j 1 2 j l o h 4 劬3 3 1 1 1 2 1 6 h 3 1 3 0 l 劬2 j f f j l o h 5 5 护 6 l l l 2 6 h 3 1 1 3 i l o 拍3 2 以 6 5 h 3 9 此外 常用的随机积分的期望还有 e l 盐 1 o e j 1 强一1 j i l 觑 1 1 j 1 2 2 w 1 0 2 h 3 3 2 4 随机微分方程解的存在唯一性 对于一般的随机微分方程来说 通常很难或者根本就无法求出显示解 为 此 首先给出随机微分方程 2 2 解的定义 定义1 设随机过程d o f e t 列婶自足方程 2 4 则称 f f f r 为随机微 8 武汉理工大学硕士学位论文 分方程 2 2 在初始值y f 0 一y o 的解 由于随机微分方程的解是随机过程 所以本质上与常微分方程的解有很大 差别 事实上 在随机分析中 有两种类型的解 随机微分方程的第一种类型 的解 与常微分方程的解的情形类似 给定漂移系数 扩散系数和随机微分项咖 f 确定一个随机过程 f 使它的路径满足方程 2 4 显然 d f 依赖于时间 f 及w i e n e r 过程呱f 过去和现在的值 这种类型的解称为强解 第二种类型的 解就是所谓的弱解 对于弱解 我们确定一个过程 罗o 夕 f f f f t t 这 里的w i e n e r 过程与侈p 同时确定 由此对于随机微分方程的弱解来说 问题 只 需分别给定漂移系数和扩散系数 本文讨论的数值解就属于弱解 但是随机微 分方程强解的存在唯一性是讨论所有随机微分方程的理论前提 下面给出强解 的存在唯一性定理 定理1 4 j 设 月 f o 卅一月 g r x t o r 一r 耐满足 1 f g y f 可测 且厂按分量绝对可积 g 按分量平方可积 2 l i p s c h i t z 条件 存在常数m 0 使得对于t e t t i l o t f y t 1 1 nj i x y 1 i i g x t g y o l ls 肘忙 y l i 3 线性增长条件 对于 2 中的m 有 i i f y f 州2 m2 1 1 y l l 2 i l g y 1 1 2 m2 1 l l y l 2 4 初始条件 随机变量y f 关于 可测 j i e 1 y t 扩t 则存在唯一的具有连续路径的随机过程d o t u t 刀 w f m 满足随机微 分方程 2 4 其中1 2 t o 一 h 伽 是定义在 一 上的舀 可测适应过程 满 足e 阱酽o 出 t o 8 是 h 上的b o r e l c r 代数 把方程 2 4 的唯一解 记为 y t 一y t t y t t f r 表示解对初始时刻 和初始值y f 0 的依赖 9 武汉理工大学硕士学位论文 2 5 线性随机微分方程 虽然在一般情况下 我们无法求出随机微分方程理论解的j 8 毕析表达式 但 是对于一类特殊的标量线性伊藤型微分方程 d y t 一 爿o f 口 f 班 鼠 f y f 以 f c 帆 f o t e t r 2 6 当爿o n f e r 6 j f 满足适当条件以保证定理1 中解的存在唯一性时 可求出 解过程y f 的解析表达式 定理2 随机微分方程 2 6 的解过程有下列公式 y 伊 y p p 一羹垦p m 卜 l j 一 s 姚 其中 m t e x p f o a 妒羹鳓 z 卜瓤驰帅 o 推论2 5 1 线性齐次随机微分方程 d y t a t y t d t e o y f 姗 f y t 一y 的解为 蚋一 扣叫幽 洳c s 推论2 5 2 自治标量线性随机微分方程 a y q f 口 出 艺 且y o 6 f m f y t 的解为 y m 叫胪p 口 薹e 以卜瓤啪池批o 其中 中p e x 一 爿一薹砰 2 p 一气 薯且c m o 一m o 2 6 随机微分方程解的随机t a y l o r 展开式 随机t a y l o r 展开式是构造随机微分方程数值方法的必要工具 为讨论方便t 首先将方程 2 3 限制为只带1 个标准w i e n e r 过程的自治随机微分方程 其 s t r a t o n o v i c h 形式为 l o 武汉理工大学硕上学位论文 a y t y u j 弦f4 g f o a w t 2 7 方程 2 7 的积分形式为 o y t 正 o s 冲 f o g y s d w s 2 8 由i t o 公式知 解过程 的函数a 可以写作 4 y f 口 o p 4 o 出 正f 4 o d w s 2 9 其中 l o 口 罢 l 1 口o 罢g 2 1 0 o y吖 若方程 2 7 为i t o 形式 则有r 口 y 一面o a 互1 再0 2 a9 2 t 口 y 一考g 2 1 1 w zn vw 在s t r a t o n o v i c h 形式下 分别令a f a g 将 2 9 代入方程 2 8 得 t y 0 01 f y l f y s t 渺t j o l t y o 世 砖 苦 y o l o g y s 出t f g y s d 以s 协 s 再分别令a f f a g 一珈 g i g 将 2 9 代入上式 得 f y f y f d s g0 呃 d w s y 垣z 出 d s 厂 饥 g y 蜕j d w s g b y 墟z 幽 咖o g y 涫o 墟上 d w s d w s z z 7 y s y o z 凼z l i f y y o a w s 如 d s z z r y o g s z m z r y s z g o d w s 加o t 如 j 1 l o g y s z y o z 凼 r g y o z y o d w s 如 州s z z l r g 7 o z g y o z 凼z l g o g o z d w s 加如 矽叫s 使用2 3 中的s t r a t o n o v i c h 积分记号 截去上式二重以上的积分 得到方程 2 7 对应的下列一步s t r a t o n o v i c h 型随机t a y l o r 展开式 y l y o f y y o g y o y l y o o y g y y g y m g y g y 当方程 2 7 是l t o 型随机微分方程时 需要使用i t o 型随机t a y l o r 展开式 运用 2 1 1 q b 的算子 通过类似的分析可得 武汉理工大学硕士学位论文 y f 一y o f y o f 凼 g y o c d w s j 1 0 0 y j 1 厂 y g y g y 正z 出 凼 培 y 正f o d w s a s g o 了1 9 o x g y g t y 正d s 咖o g y g 正z d w o 矽以j 所以 当t r g i 2 乃为i t o 形式时 对应的一步h o 型随机t a y l o r 展开式为 y 1 罨y f y o g o 1 7 y o g y o j l o g y o g o 1 i o y o x g y g y 2 1 g y y g y x g y g y 2 v 上式使用了有根树理论中基本微分的记号 在以后的章节里会详细介绍 这里 先理解为 g 皓2 g 一g 国3 g 一g 9 2 9 3 该方法可扩展到更一般的带d 个w i e n e r 过程的自治随机微分方程 2 3 其 s t r a t o n o v i c h 形式为 d y t 一g o f 出 g i f d 忆o 2 1 2 嗣 方程 2 1 2 可改写为积分形式 f f g y o 渺 荟 o d w k s 将l t o 公式从1 维w i e n e r 过程扩展到d 维情形 解过程y f 的函数a 可写作 4 y o n f p 4 y o 凼 荟 口 y s d w d s 其中 n 罢g k o 1 d 用随机t a y l o r 序列展开到3 重随机积分 得方程 2 1 2 的一步t a y l o r 展开式 荟咏渺小 驴 州蝴 渺地蜘船渺 髻柳g 啪 o g t 帆 通过相应的分析 仅将算子工 替换为 舯 一缸 昙蓦争g 2 o v 卯付 一 则当方程 2 3 1 为i t o 形式时 有一步t a y l o r 展开式 武汉理工大学硕士学位论文 第3 章随机微分方程数值解的收敛性和稳定性 3 1 随机微分方程数值解的收敛性 不失一般性 为讨论方便将自治随机微分方程 2 3 改记为以下形式 d 咖 g o y 冲 g y d w j t e t 卅 y t 一 y e r 3 1 j l 其中 g 是m 维向量值函数 w t x j 一1 2 d 是d 个独立标准w i e n e r 过 程 在设计 3 1 的数值算法时 会遇到两类问题 对应有两种测量精度可供选择 当问题涉及到对解过程的数值模拟时 数值近似的轨迹必须充分接近真实轨迹 而在另一类问题中 人们关心的并非解过程的轨迹 而仅仅是解过程的矩性质 1 3 唧 一 删 艰 蚰 妒渺 小 荟 0 2 饥 饥 弘吣 洲 洲 嚆 酣 武汉理工大学硕士学位论文 这两种情况分别对应了数值方法的两种收敛性评价标准 即数值方法的强收敛 和弱收敛 从时间t 开始 随机微分方程 3 1 的任何步长为h 的等步长单步数值迭代 方法 令 为迭代到第行步时对精确解y 纯 的数值近似 则有以下定义1 3 定义2 若存在c 0 独立与h 和6 0 使得 e q 陟 y t i i sc h 9 l i l o 6 则称该数值方法全局p 阶强收敛于解过程 o 定义3 若对适当的2 p 1 次可微的多项式v 存在c 0 和6 0 使得 陋 1 l 卜e 1 l 0 f ls c h p h e o 6 则称该数值方法全局p 阶弱收敛于解过程y 0 本文研究的随机微分方程数值解 涉及对解过程轨迹的直接模拟 因此应 具有一定阶的强收敛性质 3 2 随机微分方程数值解的稳定性 3 2 1 引言 作为衡量数值方法有效性的一种标准 稳定性的讨论自然是尤为重要 在 设计随机微分方程数值方法之前 先给出随机稳定性 均方稳定性 t 稳定性 等几类常用分析稳定性及其相应数值稳定性的定义 3 2 2 随机稳定性 随机稳定性是针对平衡解 零解 定义的 h a s m i n s k i i 在1 9 8 0 年给出平衡解 稳定性的下列定义1 2 0 l 定义4 随机微分方程的平衡解如果分别满足下列三个条件 则分别称为随机稳 定 随机渐近稳定和大范围随机渐近稳定 l l i m p 缈8 j 1 0 v 0 f 0 2 在条件1 的前提下有 l i m e 1 1 i m y t i i o j 1 3 在条件1 和条件2 的前提下有 1 4 武汉理工大学硕士学位论文 e l l i m l l y o l j o j 一1 v y 例4 f 1 1 1 3 带乘性噪声的i t o 型随机微分方程 d y a y d t b y d w t y o y 3 2 的精确解为y o e x p a b 2 2 t 咖 f b 容易看出当r e o 一6 z 2 o n 平衡解y t o 为随机渐近稳定解 3 2 3m s 稳定 定义5 平衡解y f 0 称为p 阶矩渐近稳定 若v 0 3 6 0 民 o 使得 e l i y f 州9 ts 2o i i y i it 6 1 鲤e l l y 0 t 1 9 o v l l y i it 6 经常使用的是p 2 的情形 称为均方稳定 m s 稳定 将解过程的范数定义 o 任l y l l 2 7 时 由 一f e 可以得出当r o j 6 j 2 2 o 时 方程 3 2 在均 方意义下渐近稳定 于r e a b 2 2 r e a i b l 2 2 恒成立 m s 稳定强于随 机渐近稳定 在任何一步迭代数值方法中 将e o i y 记为匕 令p 加 口 届 应用 该数值方法求解方程 3 2 均可得到一阶差分方程匕 一r 2 p g k 其中 r p q 称为数值方法的均方稳定函数 定义6 一个数值方法称为对p 和q 的数值m s 一稳定方法 若陋 p q ft 1 此外 s 一 p q 陋 0 g t 1 称为该数值方法的m s 一稳定区域 3 2 4t 稳定 t 二稳定的概念是s a i t o 和m i t s u i 在1 9 9 3 提出的 弘3 5 1 为分析t 稳定 求解 方程 3 3 2 的数值方法y 一r h a b 经过n 步几何平均 得到一步差分 方程 兑 r r a 6 只 其帆 一面甜瓜册舭咖晒称为一 武汉理工大学硕士学位论文 函数 类似可定义t 二稳定区域 m s 稳定可理解为基于算术平均 而p 稳定可理 解为基于几何平均 因此 r 稳定弱于m s 稳定 第4 章基于随机t a y l o r 展开式的随机微分方程数值 方法 4 1e u l e r m a r u y a m a 方法 法 求解方程 3 1 的最简单的数值方法是随机e u l e r 法 即e u l e r m a m y a m a 方 y 一哦 磊 而 y 一 1 6 4 1 武汉理工大学硕上学位论文 其中 h t 1 t n j o h j w f 1 一