（理论物理专业论文）双higgs模型下对辐射过程bc→τντγ的研究.pdf

摘要 粒子物理的标准模型是迄今为止描述电弱和强相互作用的最成功的理论。该模型在 过去的三十年中得到了充分的检验。然而，标准模型并不是完美无缺的，它自身还存在 着一些缺陷。并且它对一些过程的理论预言和实验结果还有或大或小的差别。这些都表 明粒子物理的标准模型并不是一个终极的理论，它应该是某一能标下的一个低能有效理 论，在更高的能标下应该有更基本的理论出现。 b 物理研究不仅能够揭示近距离时的强相互作用物理，而且也是研究c p 破坏、稀 有衰变和味改变过程等的良好场所，还可以通过对b 物理的研究寻找新物理存在证据。 本文的主要内容是在标准模型( s m ) 和双h i g g s 模型h 下，我们利用非相对论夸克模 型对b 寸f _ r 7 衰变过程进行了研究。在标准模型下我们得到该过程的分支比约为 5 9 1 0 - 4 ，这个数值在目前的加速器上可以实现，当未来大型加速器上产生足够多的b c 介子时可以对该衰变进行更精确的测量，同时我们发现辐射过程随着新物理模型参数r 变化很敏感，这在未来大型加速器上产生大量b c 介子时可以进一步限制新物理模型中 参数r 的数值。 关键词：标准模型、双h i g g s 模型、b 介子辐射衰变、分支比、新物理。 a b s t r a c t t h es t a n d a r dm o d e l ( s m ) o fe l e m e n t a r y p a r t i c l e i st h em o s ts u c c e s s f u lt h e o r e t i c a lm o d e li n d e s c r i b i n gt h es t r o n ga n de l e c t r o w e a ki n t e r a c t i o n sb e t w e e nt h ef u n d a m e n t a lp a r t i c l e s d u r i n gt h ep a s t3 0 y e a r s , i th a ss u r v i v e de x p e r i m e n t a lt e s t se x t e n s i v e l y h o w e v e r , t h es mi t s e l f i sn o tp e r f e c t t h e r ee x i s ts o m e p r o b l e m st h a th a v en o ty e tb e e ns o l v e dr e a s o n a b l yb e t w e e ne x p e r i m e n t a la n dt h e o r e t i c a lr e s u l t s t h e r e 黜 s t i l ls o m ed i s c r e p a n c i e sb ya n dl a r g e a l lt h e s ei n c o n s i s t e n i e sm a yi n d i c a t et h a ts mi sn o ta nu l t i m a t e t h e o r y i ti sc o m m o n l yb e l i e v e dt h a ts mi so n l ya l le f f e c t i v et h e o r y a tt h eh i g h e re n e r g ys c a l e ，t h e r es h o u l d e x i s ts o m en e wa n dm o r eb a s i ct h e o r y t h es t u d yo fbp h y s i c so f f e r sn o to n l yt h ep o t e n t i a li n s i g h ti n t ot h eh a d r o n i cd y n a m i c so fs t r o n g i n t e r a c t i o n sa tv e r ys h o r td i s t a n c e s ，b u ta l s oag o o dp l a c et os t u d yp h e n o m e n as u c ha sc p v i o l a t i o n , r a r e d e c a y s ，a n df l a v o rc h a n g i n gn e u t r a lc u r r e n t0 7 c n c ) p r o c e s s e s m o r e o v e r , i tm a yp r o v i d ei n d i r e c ts i g n a l so f t h en e w p h y s i c s i nt h i st h e s i s ，w ea n a l y z et h er a d i a t i v e d e c a yw i t h i nt h es t a n d a r dm o d e l ( s m ) a n dt w o h i g g s _ d o u b l e t - m o d e l ( 2 h d m ) u s i n g l i o n r e l a t i v ec o n s t i t u e n t q u a r k m o d e l o u r p r e d i c t i o n i s ：b r ( e 斗_ z - , l r 25 9 x i 0 。) ，t h i sc h a n n e l i se x p e r i m e n t a l l y p r o m i s i n g i n v i e wo f t h e l a r g e n u m b e r o f b cm e s o n sw h i c ha l ee x p e c t e dt ob ep r o d u c e da tt h ef u t u r eh a d r o nf a c i l i t i e s m e a n w h i l e w ef i n dt h a tt h e b r a n c h i n gr a t i oo ft h i sc h a n n e li ss e n s i t i v e l yd e p e n d e n to nt h ep a r a m e t e rro ft h en e wp h y s i c sm o d e la n d t h en e wp a r a m e t e rc a l lb ed e f i n e dp r e c i s e l yw i t he n o u g hn u m b e rb cm e s o n si nt h en e a rf u t u r e k e y w o r d s ：s t a n d a r dm o d e l ，h i g g s - d o u b l e t - m o d e l ，bd e c a y s ，b r a n c h i n gr a t i o i i 独创性声明和论文使用授权的说明 独创性! 声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意。 签名： 犟控考吼 渺76 “ 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权河南师 范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 盘垒垒! 日期： 伽qj ji 6 第一章引言 第一章引言 1 1 粒子物理标准模型简介 1 1 1 简单回顾 古典物理学理论是对1 9 世纪以前大量实验事实和所发现的物理规律的总结，它对 于描述低速宏观物理现象起着普遍作用。在2 0 世纪初，随着一系列新的物理现象和规 律的发现，物理理论经历了两次飞跃：对微观物理现象的研究产生了量子论，进一步发 展为量子力学；相对论是描述高速物理现象的得力工具。在相对论和量子力学两块基石 上，人们建立和发展了现代物理学，并逐渐成为研究物理学现象和规律的主导性理论。 粒子物理学所研究的现象和规律，既要反映微观粒子的量子性，又要反映粒子物理 高速运动的相对性，同时还应体现粒子的产生、湮灭以及粒子之间的相互转化过程。量 子性和相对论性要求对粒子运动规律的描述应是在量子理论和相对论基础之上的，而自 由度可变的特性又要求所描述的体系应具有无穷多自由度，即应以“场”理论为基础。 因此，粒子物理学的理论基础是相对论的量子场论。量子场论是由狄拉克t 约旦、魏格 纳、海森伯和泡利等人在相对论量子力学的基础上发展起来的，其基本思想可以概括为： 对应不同的粒子，应有不同的场；粒子是相应场的量子；场的激发对应粒子的产生，场 的退激发对应粒子的湮灭。 1 9 5 4 年杨振宁和米尔斯首先建立了普遍的具有规范对称性的数学理论。他们提出物 理学中的对称性有整体对称性和定域对称性，定域对称对理论要求更严格。为了使描写 粒子间相互作用的拉氏量在定域规范对称变换下具有不变性，就必须引入辅助的规范 场，用来解释粒子问的相互作用来源。根据规范理论，自然界的所有基本的相互作用都 具有因果性，都是通过规范场来传递的，而不是所谓的超作用；对于某种相互作用来讲 尽管各种场所属的表示可以不同，但所需要的规范场却是统一的，各种场与规范场的耦 合方式由定域规范不变性完全决定。在六十年代后期关于真空对称性的破缺机制提出 后，规范理论开始得到广泛的应用，并逐渐成为描述粒子之间相互作用统一理论的基础。 众所周知，自然界存在四种基本的相互作用：强相互作用、电磁相互作用、弱相互 作用和引力相互作用。人们认为自然界是如此的完美、和谐，这四种相互作用应该可以 本研究得到国家自然科学基金( 1 0 3 0 5 0 0 3 ，1 0 6 7 5 0 3 9 ) 资助 i 第一章引言 统起来进行描述。为此，人们进行了多方面努力。到目前为止，虽然还没有获得最后 的成功，但人们已经将引力以外的其它三种相互作用成功的统一于粒子标准模型的理论 框架中。理论上，标准模型是一个基于规范对称群 s u ( 3 ) co s u ( 2 ) o u ( 1 ) r ( 1 1 ) 的量子场论( 其中s u ( 3 ) c 表示强相互作用对称群，s u ( 2 ) l o u ( 1 ) r 表示电弱相互作用 群) ，标准模型是迄今为止人们公认的能最好的描述弱、电、强三种相互作用的规范理 论。下面简单介绍一下弱电统一理论的发展历史： 1 、1 9 6 1 年格拉肖( g l a s h o w ) 首先提出s u ( 2 ) lo u ( 1 ) ，弱电统一理论模型；但这 个模型是不可重整化的，中间玻色子的质量是手放进去的。 2 、1 9 6 7 年和1 9 6 8 年，温伯格( w e i n b e r g ) 哪和萨拉姆( s a l a m ) 嘲将这个理论建立 在杨一米尔斯( y a n g m i l l s ) 规范理论的基础之上，并引入希格斯电弱对称性自发破缺 机制“1 ，使得中间矢量玻色子获得质量，从而使该理论成为一个自治的、完整的理论。 3 、1 9 7 1 年和1 9 7 2 年，特霍夫特( th o o f t ) 和维特曼( v e l t m a n ) 4 1 等人给出了具 有自发破缺规范对称性的杨一米尔斯场论是可以重整的严格证明；在将此理论推广到包 括夸克和强子时，理论上遇到了如何保证奇异数改变( s = 1 ) 的弱中性流不出现的 问题，1 9 7 0 年，格拉肖( g l a s h o w ) 等人提出了g i m 机制”1 ，引进了璨( c h a r m ) 夸克， 解决了味改变中性流问题，同时轻子和强子的儿三角图发散( 即阿德尔( a d l e r ) 反常) 正好抵消。 4 、1 9 7 3 年，小林( k o b a y a s h i ) 和益川( m a s k a w a ) 又将两代夸克的混合推广到了 三代夸克的情形，给出了c k m 混合矩阵m 。至此，s u ( 2 ) 。o u ( 1 ) r 弱电统一理论模型最 后建立起来。 自理论建立到现在三十多年来，它经受住了各种考验，它所包含的粒子( 除h i g g s 粒子外) 都已经被实验所发现，所预言的粒子的性质以及弱中性流的存在的都已经被证 实，在单圈水平上理论与实验符合得很好，目前对该理论的检验己精确到1 0 3 的水平。 强相互作用理论是粒子物理学长期试图解决的重要课题之一。量子色动力学 ( q u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s 或q c d ) 嘲是描述强相互作用理论的最好的候选者，它是描 述夸克和胶子间的强相互作用的可重整化的非阿贝尔的s u 0 ) ，规范理论，具有渐近自 2 第一章引言 由的性质啪。也就是说夸克和胶子间的耦合常数口，( q 2 ) 是随着转移动量的增加而呈对数 型减少的： “q 2 ) 2 蒜奄小萨1 ( 萼一争 ( 1 _ 2 ) 因此，q c d 具有两重性：一方面在小距离大动量下耦合常数变小，可用微扰论来处 理，并且得到了很好的实验验证。到目前为止，微扰q c d 所作的理论预言都与实验定性 的或半定量的相符合。另一方面，在大距离小动量的情况下耦合常数变大，进入非微扰 区域，微扰论在此失效。这个非微扰的区域是至今为止人们理解最少的部分，因此人们 不得不借助于唯象模型。 现在，人们一般将s u ( 2 ) 。o u ( i ) ，电弱统一模型和s u ( 3 ) c 量子色动力学( q c d ) 统 称为粒子物理的标准模型，它是迄今为止公认的描述弱、电、强三种相互作用的最好的 理论。尽管标准模型取得了巨大的成功，但它本身也还存在着一些基本问题，比如标准 模型中c p 破坏的起源、1 9 个自由参数的起源等问题。尤其是标准模型中的质量起源问 题，在模型中，理论的规范不变性要求规范场和费米子场最初是没有质量的，为了使这 些粒子获得质量，人们引入了希格斯场，通过希格斯机制使它们获得了质量。但是理论 所预言的希格斯粒子至今尚未被发现，因此人们普遍相信：标准模型是在费米能标 ( v = 2 4 6 g e v ) 附近的有效理论，在较高的t e v 能标下应当还存在着更为基本的物理理 论。 1 1 2 标准模型的基本粒子和拉氏量 通常，基本粒子可分为轻予、重子、介子和光子四类。但是，从规范场论的观点来 看，基本粒子应该分成三种新的类型：费米子、规范玻色子、h i g g s 粒子。费米子包括 1 夸克和轻予，是自旋为去的费米子。已知的轻子包括荷电的电子p 一，p 一轻子和f 一轻子， z 以及相应的电子中微子匕，一中微子和f 一中微子匕。带电轻子既参与电磁相互作用， 也参与弱作用，它本身没有结构，可看作点粒子。中微子只参与弱作用，不参与强相互 作用和电磁相互作用，它只有左手分量，相应的反中微子只有右手分量。在标准模型中 认为它们的质量为零，因此需要引入轻子数t ，l 。和t 来区分三代轻子 第一章引言 ( e ，k ) ，( 卢一，匕) ， 一，匕) 之间的差异。 夸克共有六种味道( 上夸克u ，下夸克d ，粲夸克c ，奇异夸克s ，项夸克t ，和底 夸克b ) ，每种味道的夸克又有三种不同颜色( 红r ，黄y ，绿g ) 。我们可以把颜色理解 为夸克的状态参量，所有的强子都是由更基本的组元一夸克构成的色单态。但是，自由 的夸克至今在实验上仍没被发现，使物理学家相信“夸克禁闭”的存在。在标准模型中， 三个上夸克( 电荷q = 导e ) 之间是没混合的；而三个下夸克( 电荷q = 一：1p ) ，其弱作用 本征态d 7 ，j 和b 与其质量本征态d ，s 和b 是不同的，二者之间通过c k m 矩阵m 相联系。 c k m 矩阵元在后边有具体的说明。 规范玻色子是传递强、电磁、弱相互作用、自旋为1 的矢量玻色子。光子是电磁相 互作用的交换子；八个胶子传递夸克与胶子之间的强相互作用；弱玻色子矽+ ，z o 是弱相 互作用的传播子。光子无质量，不带电，无自相互作用；胶子也无质量，电中性且带有 颜色量子数，它们不仅和夸克有作用，而且自身之间也有相互作用；弱玻色子矽2 。z o 有 质量而且也有自相互作用。形+ 分别带有电荷q = 1 ，而z o 不带电。 h i g g s 粒子具有奇异的性质：当它们以虚质量的面目出现时，破坏真空的对称性； 当把对称性的破坏由真空转向“实物”时，它们又以实质量的面目出现，并使其它粒子 获得质量。 在规范场论的理论框架下，粒子物理标准模型的拉氏量可写为： 么= 口+ 磊m + 彳， 磊，= 一三g ：丢形，渺7 一丢吃 七i q d u q o + u 4 d 0 。七t d 9 d u d 。 + i l d 。l 。+ i e 。y pd 。e 。七p 了0 d 圆， 二。，= y u 短釉+ 记 o o d 诤+ 吱i 善番h “ z 鸟。= 矿= 2 + 矿一詈( + ) 2 其中 ，= a ，曰一a ，晖+ 器，“哦嘭， w 0 = o f , w ：一a ：+ g s 聃w ：w _ b w = 8 h b v 一8 v b “， 4 第一章引言 见q = ( 吼一，薹r 孵一，詈邑一z 譬z 。q ) q ， 见吒= ( 钆一t ；g r t 譬g 二) ， 见吃= ( 吼+ ，等露一t 譬 见， b 乞= ( 以一r 薹一嘭+ t 手吃) l ， d 。e 。= 婶。+ i g 。b o e 。， 孑：，厶d f 1 孙 1 2b 物理介绍 1 2 1b 物理研究的重要性 当前理论物理学界的两个主流研究方向：一个是继续检验和完善标准模型，而另一 个则是寻找超出标准模型的新物理存在的信号。b 夸克物理的研究不仅与微扰和非微扰 q c d 相关，而且与超出标准模型的新物理的探讨有密切关系。b 介子以及由b 夸克构成 的重子的弱衰变在检验标准模型的同时还有可能通过圈图效应来揭示新物理存在的证 据。基于这些原因，目前无论是在实验上还是在理论研究中，b 物理都是十分活跃的。同 其它粒子相比，在b 介子弱衰变过程中，有更多的衰变道被打开，末态相互作用的影响 减弱，这些都有利于抽取标准模型的自由参数，进而对标准模型进行更精确的检验。另 外，b 介子衰变的许多过程也是研究、寻找c p 和t 破坏的理想过程，b 介子系统也是 继k 介子系统之外的研究c p 破坏的另一个良好的场所。当前，粒子物理界对b 介子弱 衰变感兴趣的方面主要有： 1 b 介子的稀有衰变研究一方面为检验标准模型提供了极好的机会，另一方面又是 寻找新物理的重要窗口。 2 它们可以用来测量标准模型的一些自由参数，提供了确定弱混合角和c l ( m 矩阵元 的幺正性的方法。 3 由于夸克永远禁闭在强子束缚态中，因此强子弱衰变不仅与弱作用有关而且与强 相互作用的短距离行为( 微扰) 和长距离行为( 非微扰) 紧紧联系着。关于强子弱衰变 的研究会给我们提供关于强相互作用的信息。 第一章引言 4 b 介子弱衰变的许多过程都是研究、寻找c p 和t 破坏的理想过程。 基于以上凡个方面，我们可以将发现b 介子系统的c p 破环、检验标准模型并测量模型 中的自由参数以及寻找超出标准模型的新物理存在的迹象或证据三个方面作为b 物理实 验测量和理论研究的三个目标。 1 2 2b 物理研究的理论及实验方面的进展 近几年来，无论在实验上还是在理论上，b 物理的研究都取得了很大的进展。 实验上对b 物理的研究情况可以简单地概括为； 1 1 9 7 7 年在正负电子对撞机实验中，人们发现了一个长寿命的重粒子，命名为y 粒 子，并发现丫( 4 s ) 共振态主要衰变到砸：对。从此，人们便开始了对b 物理的研究。 2 在b 介子工厂运行之前，欧洲核子研究中心( c e r n ) 的l e p 和费米实验室的 t e v a t r o n 等实验都作了很多有关b 物理的实验。 3 从1 9 7 9 年开始，康乃尔( c o r n e l l ) 大学的c l e o 合作组便在质心能量约为1 0 5 g e v 的正负电子对撞机上的t ( 4 s ) 共振上收集数据，目前已经收集至q 约1 0 x 1 0 6 的最瓦对事 例数，已经测量到了分支比1 0 “的很多衰变道。 4 两家b 介子工厂b a b a r ( s l a c ) “”和b e l l e ( k e k ) o “从1 9 9 9 年也开始运行。由于由 非对称束流对撞所产生的b 介子对在实验室系不是静止的，运动很快，因而寿命延长， 有助于探测器来测量与b o 介子混合有关的物理。因此，k e k 、k e k b 和s l a c 的p e p i i 都 采用了非对称的对撞束流。到目前为止，它们已经分别收集到了约7 6 6 x 1 0 6 和4 4 3 x i 0 6 的 b 百对事例数，基本上接近测量分支比为1 0 4 的b 介予稀有衰变过程。 5 伴随着将来的s u p e r b 、费米实验室的b - t e v 实验的运行，以及在即将开始的欧 洲核子研究中心的l h c b ( c e r n ) o ”实验中，每年将产生l o ”个6 i 事例对，其中的百 分之十将构成爱介予，它们为将来的b 介子实验积累更多更精确的实验结果。 在理论上，b 物理研究的基本方法大致可以分为以下三种： 1 基于有效场理论的重夸克展开( h q e ) 和手征微扰理论( c h p t ) 。在有效场理论中， 通常存在一个小的参数，我们可以按此参数作微扰展开，由于有微扰论的控制，原则上 讲计算结果是精确可靠的。 2 基于量子色动力学( q c d ) 的格点规范理论( l a t t i c eq c d ) 和q c d 求和规则( q c ds u m r u l e s ) 等动力学方法。这些方法从q c d 第一性原理出发，但由于技术上的原因，目前 6 第一章引言 这些方法还只能适用到有限的情况。 3 唯象模型方法( 如夸克模型等) 。它们不是从q c d 的基本原理出发的，但其中所 引入的某些参数是可调的，通常在没有其它方法时才采用的方法，比如简单因子化方法、 推广的因子化方法、q c d 因子化方法、微扰q c d 方法以及软共线有效理论( s o f tc o l l i n e a r e f f e c t i v et h e o r y 或s c e t ) 等。 由于b 介子的弱衰变深受强相互作用的影响，尤其是末态都是强子的非轻衰变过程， 唯象模型的理论计算具有很强的模型依赖性，同时唯象参数也会给理论预言带来很大的 不确定性。特别是对于b 介子的非轻衰变过程，理论上最困难的是强子矩阵元的计算。 b 介子衰变的能标o ( 坍6 ) ，而b 夸克的质量远大于q c d 的标度a 0 c d ，因此， 我们可以将强子矩阵元按耦合系数a ，和幂次a o c d m 。作展开，从而使和强相互作用相 关的理论不确定性得到一定的控制。本文所采用的q c d 因子化方法充分利用了这些事实 并发展成为难象上对b 介子两体非轻衰变研究的一个重要方法。在这种方法中，强子矩 阵元可以写成硬散射函数和强子光锥分布振幅的乘积，硬散射函数是微扰可算的，而长 程的非微扰贡献可以吸收到b 到强子的跃迁形状因子或是强子的光锥分布振幅中，从而 大大简化了强子矩阵元的结构。并且在这种方法下，考虑了0 c o 辐射修正之后所得到的 b 介子衰变振幅在口。级是和重整化标度、规范选取无关的，以及红外有限的。 本文的主要内容是在标准模型( s m ) 和双h i g g s 模型下，利用非相对论夸克模型对 b _ f f y 衰变过程进行了研究。主要内容有以下三部分组成：第一部分是综述部分( 即 第二章) ，在这一部分中，我们首先对b 物理研究中所用到的基本理论工具进行了阐述； 接着我们列举了几种计算强子矩阵元的方法，并针对本文计算中所用到的q c d 因子化方 法作了详细的介绍；最后我们介绍了q c d 因子化方法在b 介予两体非轻衰变中的应用。 第二部分( 第三章) 是我们的工作部分，我们首先对双h i g g s 模型进行了介绍。接下来， 我们在标准模型( s m ) 和双t t i g g s 模型1 i 下，利用非相对论夸克模型对b j 疵y 衰变过程 进行了研究，在合理的参数空间内得到辐射过程随着性新物理模型参数r 变化很敏感。 最后一部分( 第四章) 是总结和展望。 7 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 本章，我们将给出粒子物理规范场论计算经常用到的相关概念和理论工具，具体详 细地讨论可参阅有关场论书籍【】4 1 。 2 1 重整化和重整化群 2 1 1 重整化 对任一给定理论，如果已知描述该理论的拉氏量，那么我们就可以利用路径积分等 方法导出该理论的费曼规则，然后就可以按照微扰理论对各种过程进行计算和讨论。但 在涉及到含有圈图的计算时，往往会遇到有对内线动量积分所引起的发散，这是因为在 对内线虚粒子动量进行积分时，其相空间取值范围为0 - - o o 而导致的。发散困难的存在 反映出点粒子量子场论基本理论结构是不完整的。重整化方法就是一种分离并消去发 散，从而得到有限的物理可观测量的程序，它最初由费曼( f e y n m a n ) 、施温格( s c h w i n g e r ) 在1 9 4 8 年为了解决量子电动力学中的发散问题而引入的，最早系统研究重整化的工作 是由戴逊( d y s o n ) 等人完成的“。在以后的发展过程中，它逐渐成为相对论量子场论 的重要内容。重整化程序包括两个步骤：正规化和重整化。分别加以阐述如下： 在重整化过程中，首先面临的一个问题便是如何计算发敞，由于发散积分不便处理， 因此，重整化第一步就是暂时修正理论使发散积分成为有限的，且使得对收敛图的影响 可以忽略，这通常称为正规化。简单地说，正规化就是将发散积分作为某种有限积分的 极限，并在极限情况下将有限部分和发散部分分离出来。经过这一步之后，在构造拉氏 量函数中用来抵消发散的抵消项时，就可以保证所进行的数学处理有意义，而不致得到 含混的结果。在这方面，历史上曾经出现过多种正规化方案，例如，简单而直观的大动 量截断法( 费曼割断方法) ；在对动量k 的费曼积分中插入一个或多个因子1 ( k 2 一+ f 占1 的泡利一维勒斯正规子方案“”；通过降低积分维数使积分收敛的特霍夫特一维特曼维数正 规化方案“”。前两种方法由于破坏规范不变性而不适用于非阿贝尔规范理论；而维数正 规化方案能够自动地保持原有理论的内部对称性，包括规范对称性，因而被广泛地应用 到相对论量子场论的高阶计算过程中。 维数正规化所依据的基本事实，如果积分在四维时空是发散的，则它在较低的时 8 墨三童呈坌至塑塞銮塑苎查型堡堑塑 空维数d = 4 一( 4 ) 下是收敛的。其基本做法是：首先把发散积分延拓到d 维时空，使 得积分是收敛的，计算完之后再取极限d 斗4 p _ 0 ) 。结果发散图形的奇异性表现为 i ( 4 - d ) 型的极点。利用维数正规化计算时唯一的问题就是如何处理儿，由于四阶全反 对称张量，唧是四维时空所特有的。无法直接将其延拓到d ( 4 ) 维时空中去，因此认 为常规延拓儿2 去占，唧广，。，9 是与规范不变性不相容的。在所谓的简单维数正规化 ( n a i v ed i m e n s i o n a lr e g u l a t i o n 或n d r ) “8 1 中，度规张量被推广到d 维时空彰= d ， 并且狄拉克y 矩阵以及以遵守与四维时空相同的运算关系，即 以，凡j = 2 9 讥，j = 0 ( 2 1 ) 尽管这些规则在代数上存在着某些不致性“”，在某些情况下会得到不正确的结果( 如： 无法得到轴矢流反常的结果) ，但在不涉及求诸如n ( 如以以) 等运算时，利用简单 维数正规化方案，我们仍能得到正确的结果。 另一种处理方案是由特霍夫特和维特曼提出的h v 方案“”。在这种方案中，除了引 入d - 维和4 - 维度规张量g 和季之外，还引入了占一维张量鸯，并满足； 色，= 季，雪，季f = 季，誊：= 一占 ( 2 2 ) 三个张量g ，季和雪满足条件： 1 0 9 ；= 芭，季，g ；= 雪， 垂，誊? = 0 ( 2 3 ) 这时，d 一维狄拉克矩阵，。便可以分成4 - 维和s 一维两部分 以= 乃+ 冗 ( 2 4 ) 其中，和歹分别遵守反对易关系 以，y j = 2 9 皖，刊- = 2 晚， ( 2 5 ) 而尹满足 汐，允 = 2 誊，侈j ，尹， = 0 ( 2 6 ) 在以上规定的基础上，我们便可以引入与夕反对易而和夕对易以矩阵 走= 1 ，饥，死 = o ，玩，户。 = 0 ( 2 7 ) 到目前为止，这一方案是唯一的在处理儿矩阵时前后一致( 在维数正规化下) 的方案， 然而，在这种方案中，由于儿和凡并不具有简单的对易关系性质，将给计算过程带来 9 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 很大的复杂性。 一般地，经过正规化处理后的费曼积分，其结果是一些发散部分( 表现为无穷极限 或极点) 和有限部分之和。因此，重整化的第二步就是使发散部分消去，以得到有限的 贡献，这一都常称为重整化( 方案) ，其中有两个问题需要解决：一个是如何消去发散 部分，二是如何划分发散部分和有限部分。 对前一问题的回答导致两种重整化的观点：一种观点认为理论的原始拉氏量中的参 量( 如质量、耦合常数等) 都是裸( b a r e ) 量，是非物理的。通过对它们重新定义以吸 收相应的发散部分，我们便可以得到有限的物理量( 重整化量) ；另一种观点认为原来 拉氏量中的量都是物理的，在最低阶近似下是可以得到正确的物理结果的；但在高阶 近似下，我们需要在各个相应项中引进适当的抵消项来消除发散，( n 三) 则是裸 拉氏量( 其中的参量都是裸量) 。后一个观点是目前比较流行的一种，其所用的方法常 称为抵消项方法，具体的讲，首先我们定义裸量( 带下标“0 ”) 和重整化量( 不带下 标) 之间的关系 g o = z g g l z2 ，m o2 z m m ， g o = z ：”q ，一f = z l n a 4 ( 2 8 ) 其中具有质量量纲的参数z 的引入是为了保证耦合常数g 的无量纲性。互为引入的重整 化常数，理论计算中的所有发散都应归入到这些常数中去。然后，根据上式，他们用重 整化量来重新表示原来的拉氏量。 o 。口l ( 2 - 9 ) 一般的讲。抵消项正比于( 互一1 ) ，可以看作新的相互作用项，相应的费曼规则也 可以导出，通过要求这些抵消项恰好抵消掉格林函数中的发散部分，从而得到有限的物 理结果，我们就可以将重整化常数z 确定下来。 对后一问题的回答导致各种重整化方案，所有的重整化方案都是通过固定抵消项来 划分发散部分和有限部分的。最简单也最适用于规范理论的重整化方案是从维数正规化 中自然产生的所谓最小减除( m s ) 。”方案。在这种方案中，抵消项的各种参量恰好是相 应的极点项，因而只将发散部分减除掉而将有限部分保留。在维数正规化中，由于观察 到的与极点项同时出现的一定还有l n 4 z r 一( ，。为欧拉常数) ，因而也可将其归入到抵 l o 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 消项需减除的发散部分，这种重整化方案通常称为修正了的最小减除( 五忝) 翻方案。上 述两种方案的出色之处在于它们是与质量无关的，这对于解重整化群方程式很有用的。 另外，常用的重整化方案还有在壳( o n - s h e l l ) 方案和离壳( o f f - s h e l l ) 方案等。在 这些方案中，抵消项是由对传播子和基本正规顶角附加边界条件( 称为重整化边界条件) 而确定的。 最后说明两点：无论是在最小减除方案( 包括修正了的最小减除方方案) ，还是在 离壳重整化方案中，“重整化质量”，“重整化耦合常数”仅是表征格林函数的参数， 只有在壳重整化方案中，它们才是实际观测到的质量和耦合常数，因而在壳重整化方案 也称为物理重整化方案：无论选择何种重整化方案来确定重整化常数，格林函数都是唯 一的值，这意味着由于所采用的重整化方案不同，由它们所确定的重整化常数可能相差 一有限量。 2 1 2 重整化群 通过前面重整化程序的讨论，我们可以看到场论的重整化是与一些具有质量量纲的 参数有关。例如，在维数正规化方案中“”需要引入一个质量尺度z ( 重整化标度) ，以 使拉氏量保持正确的量纲；如果我们采用质量无关的重整化方案( 如最小减除方案) ， 就会作为一个明显地保留在重整化的正规顶点函数中，习惯上常把看作一个标志所需 要考虑的过程的特征能量或质量。裸参量是与重整化标度因子无关的，而重整化的物 理量是与重整化标度相关的：g ；g ) ，肌z 加以) ，g s 9 0 ) ，不同的将给出不同 的参数值。为了从实验上决定重整化的物理参量，我们需要选择具体的标度。重整化 标度因子是可以任意变化的，其交换具有群的结构，称为重整化群( r e n o r m a l i z a t i o n g r o u p 或r 6 ) 重整化的物理量随着标度的改变满足一定的方程，通常称为重整化群 方程( r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pe q u a t i o n 或r g e ) ，它表示当重整化标度改变时，重 整化量9 0 x 所0 ) 等要作相应的改变，从而使得未重整化的量( 与无关) 保持不变。 有关重整化的量随标度芦变化的重整化群方程，我们可以由裸参数与重整化标度p 无关这一事实而得到。例如，在量子色动力学中，根据关系式( 2 8 ) ，我们可以得到跑 动耦合常数和跑动质量所满足的重整化群方程 ! ! $ 趔：卢( g ，如) ，) ，旦! 幽：一q ，缸咖缸) ( 2 1 0 ) d “41npiiin i n 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 其中一幽数丰d 质重舁衬的反常量捌分别定义如p ： 地鼢) = _ 镊- 毒急， 协 ( g ，o ) ) 专盎( 2 - 1 2 ) 按照重整化程序，准确到两圈水平，我们得到 p k 妣) 叫毋) ) 一番风一南届 防1 3 ) k ) 2 老+ 怯p 伢1 4 ) 其中 属：型导，届：3 ，4 n z 1 ，0 n ，一2 c 1 7 f ， ，= 6 c ， = g ( 。c ，十詈一詈， ， 曲) = 掣，c f = 等 ( n 为夸克的颜色数，f 为夸克的味道数) 。 通过求解方程( 2 1 0 ) ，我们便可以得到。4 擗面胬 1 噜譬斟， 伢 荆面o 制 兹 1 + ( 筹一筹 掣拶 ， 仔m 这里a 菘是在蕊方案下量子色动力学的特征标度，依赖于风和屈中的夸克颜色数n 和 味道数，假定夸克有三种颜色( n = 3 ) 和六种味道( ，= 6 ) ，则风= 7 和，窖2 a = 4 1 7 ， 均为正的。因此，随着标度卢的增加，耦合常数q 啦) 将对数型地趋于零，这种现象称 为渐进自由。同样，质量m 0 ) 也是随着标度的增加而减少。 利用蓖整化群的好处在于它可以将大对数项自动的求和起来。在某一具体过程中， 1 2 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 除了标度因子一之外，如果还有更高质量( m ) 的粒子，大对数项l o g ( m j ) 就可能出现 在重整化的物理量中。从而使微扰展开不是一个很好的近似，一个简单丽有效的方法， 就是把过程计算到所有阶，然后把这些大对数项有效地求和起来。显然，这个工作量是 如此之大，以至于是不可能的。而上面介绍的重整化群技巧恰好能做到这一点。为表明 这一点，我们将球的表达式( 2 1 6 ) 重写为 擀错陪掣错 伢 其中 y 。) 小尾掣m 譬 如果我们将( 2 1 8 ) 的领头阶按a ，0 。) 展开，则有 擗乩。弘剑4 i rk 纠” ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 将上式与式( 2 1 6 ) 相比较，我们可以看到，重整化群方程的解将自动把对数项l i l 讧；卢2 ) 求和起来( 如果 , u o ，这些对数项是很大的，将破坏微扰论的收敛性) 。 2 。2 算符乘积展开和低能有效理论 2 2 1 算符乘积展开 由于组成强子的夸克被禁闭在强子内部。而夸克禁闭是强相互作用的特征；同时强 相互作用既可以交换软胶子也可以交换硬胶子。因此强子弱衰变的理论计算是一个既涉 及到弱相互作用又涉及到强相互作用的复杂的多标度理论计算，而具体到b 介子的弱衰 变，其中涉及到三个不同的能量的标度：在夸克层次上，b 介子通过弱相互作用进行衰 变的电弱标度o ( i o o g e v ) ，b 介子弱衰变的内禀标度o ( m 。) 以及夸克被束缚在强子内部 的典型的强子标度0 ( a o c d ) 。在计算中我们会遇到这些标度与重整化标度因子比值的 对数项，显然如果这些标度之间差别很大，我们就不能通过选取合适的重整化标度1 t 而 使所有的对数项都足够的小，但是，通过重整化群的技巧，我们可以将这些大对数项求 和起来。然而，强相互作用的耦合常数a 。在标度o ( i g e v ) 下很大，微扰论在此失效，我 们只能借助于非微扰的方法，就目前来讲，我们还没有十分有效的方法来处理这些非微 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 扰的部分。 对于b 介子的弱衰变过程，典型的能标是0 ( m b ) 。为了将该能标之上的物理信息考 虑进去，我们可以利用算符乘积展开( o p e r a t o rp r o d u c te x p a n s i o n 或o p e ) 得到 o ( m b ) 标度以下的低能有效理论。算符乘积展开的思想可以概括为：对于小距离间隔的 两个场算符爿( x ) 和b ( 力，当x 寸y 时，它们的乘积可以按一组完备的定域算符q 展开： _ ( 曲b ( 力= c ，( x - - 力q 【寺 十州 ( 2 2 1 ) 厶 其中展开系数c g y ) 常称为威尔逊( w i l s o n ) 系数，当xjy 时，它们是发散的，并 且算符q 的量纲越小，系数c j 一力的发散程度越大；而按量纲分析，量纲越大的算符， 其贡献被压低得越厉害( 是以重质量或小距离) 标度的倒数的幂次压低的) 。因此在一 定的近似下，取量纲小的几个算符q 就可以得到有一定意义的结果。以b 介子的弱衰变 为例，其衰变过程是通过荷电流耦合到w 一玻色子场而进行的。弘玻色子的质量 m ，m 8 0 4 g e v ，同强子标度相比是很大的，因此p 玻色子只能传播很短的距离，由w 一 玻色子的传播子连接的两个荷电流正( x ) 和刀 ) 相距很近，从而使得我们可以进行算 符乘积展开。 2 2 2 有效理论介绍 实际的物理过程一般都包含q c d 修正的弱电过程，因此原则上应该把弱电圈图和 o e d 图图一起进行计算，这是一个十分复杂的双圈图过程。并且由于在圈图的计算中会 有两个相差很大的能量标度m 。和埘，计算过程中就会出现l o g ( 聊：肌? ) 的大对数项，使 得它乘上耦合常数五后得到的2 1 0 9 ( m ；聊? ) 项仍然不是个小量，因而圈图展开不再是好 的近似展开。为了解决这个问题，人们发展使用了有效场理论的方法。 有效场理论方法首先要在一个较高的能量标度a ( 比如m ，) 下积分掉质量超出标 度人的粒子，并且把这些重粒子的效应等效到新理论的有效算符系数中去，这是弱电过 程单圈图计算过程。q c d 修正则是通过重整化群方程把有效理论跑动到较低的能量尺度 来实现。在这个过程中，需要计算强相互作用的反常量纲，这是q c d 单圈图的计算过程。 这样我们就把双圈图的计算等效成两个单圈图的计算，计算过程大大简化。同时我们也 可以看到，通过反常量纲的计算和重整化群方程的跑动，虽然只计算了q c d 的一圈图， 1 4 第二章b 介子弱衰变的基本理论框架 却是相当于把所有的高阶圈图的领头对数项都求和起来了，这称为重整化群改进了的微 扰论( r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pi r m p r o v e dp e r t u r b a t i v et h e o r y ) 。通过这种方法，我 们就解决了微扰展开的准确性问题。 假如我们已经知道了一个基本的可重整化的理论( 如粒子物理的标准模型) ，我们 就可以按照路径积分( 或正则算符形式) 把这整个理论中的高质量粒子“积分”( 或“收 缩”) 掉，从而得到一个有效的低能理论。目前，这种方法已被广泛的应用到重味衰变， 特别是b 介子弱衰变过程中。 为阐述有效理论的基本思想，我们考虑一个可重整化的拉氏量，其中包括两种粒子 场；重粒子场和轻粒子场妒。格林函数的生成泛函积分表示为： 2 = f d 庐d i f ，e x p f d 4 扎( 声，妒，a 。矿，a 。y ) ，( 2 - 2 2 ) 如果我们只对包含轻粒子场声的物理过程感兴趣，那么我们就可以对重粒子场作泛函 积分，将其“积分”掉，得到一个有复杂的非定域作用项组成的有效作用量，。： f “删) = f d ￥e x p p 4 址( 矿，a 。庐，a 。y ) ( 2 2 3 ) 当用该有