浙江省温州市高三数学下学期第三次模拟试卷 理（含解析）.doc

浙江省温州市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题p：x0r，x02+2x0+20，则p是( )ax0r，x02+2x0+20bxr，x2+2x+20cxr，x2+2x+20dxr，x2+2x+202已知a，b是实数，则“a|b|”是“a2b2”的( )a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件3已知m，n是两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中错误的是( )a若m，m，则b若m，n，则mnc若，则d若，则4为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点( )a向左平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动个单位长度d向右平行移动个单位长度5已知向量，满足|=|=|=|+|=1，记|的最大值为m，最小值为m，则m+m=( )a2b2cd16已知双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点为f1，f2，若双曲线c上存在一点p，使得pf1f2为等腰三角形，且cosf1pf2=，则双曲线c的离心率为( )abc2d37如图，正三棱柱abca1b1c1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，d为aa1的中点m、n分别是bb1、cc1上的动点（含端点），且满足bm=c1n当m，n运动时，下列结论中不正确的是( )a平面dmn平面bcc1b1b三棱锥a1dmn的体积为定值cdmn可能为直角三角形d平面dmn与平面abc所成的锐二面角范围为（0，8若对任意x1，2，不等式4x+a2x+1a20（ar）恒成立，则a的取值范围是( )aa或a2ba或a4ca或a2da或a4二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分9设全集u=r，集合a=x|x24x5=0，b=x|x2=1，则ab=_，ab=_，a（ub）=_10已知等差数列an，sn是数列an的前n项和，且满足a4=10，s6=s3+39，则数列an的首项a1=_，通项an=_11如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是_cm2，体积为_cm312已知sincos=，0，则sin2=_，sin（2）=_13已知实数x，y满足，则|x2y1|的取值范围是_14已知正数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为_15在平面内，|ab|=4，p，q满足kapkbp=，kaqkbq=1，且对任意r，|的最小值为2，则|pq|的取值范围是_三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，内角a、b、c对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosbb）=a2b2（）求角a；（）若a=，求b+c的取值范围17（16分）如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为平行四边形，adb=90，ab=2ad（）求证：平面pad平面pbd；（）若pd=ad=1，=2，求二面角pade的余弦值18如图，在abc中，b（1，0），c（1，0），cd、be分别是abc的两条中线且相交于点g，且|cd|+|be|=6（）求点g的轨迹的方程；（）直线l：y=x1与轨迹相交于m、n两点，p为轨迹的动点，求pmn面积的最大值19对于函数f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点设函数f（x）=ax2+bx+1（a0）（）当a=2，b=2时，求f（x）的不动点；（）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，（）当x11x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m；（）若|x1|2且|x1x2|=2，求实数b的取值范围20已知数列an的前n项和为sn，满足3sn=an1（）求an的通项公式；（）设bn=，数列bn前n项的和为tn，证明：tn浙江省温州市2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知命题p：x0r，x02+2x0+20，则p是( )ax0r，x02+2x0+20bxr，x2+2x+20cxr，x2+2x+20dxr，x2+2x+20考点：命题的否定 专题：简易逻辑分析：直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可解答：解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：x0r，x02+2x0+20，则p是：xr，x2+2x+20故选：c点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2已知a，b是实数，则“a|b|”是“a2b2”的( )a充分必要条件b充分不必要条件c必要不充分条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：先判断pq与qp的真假，再根据充要条件的定义给出结论；也可判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系解答：解：“a|b|”能推出“a2b2”，但是当a=2，b=1时，由a2b2”推不出“a|b|”“a|b|”是“a2b2”的充分不必要条件，故选：b点评：此题主要考查不等式与不等关系之间的联系，考查充要条件的有关定义3已知m，n是两条不同的直线，为三个不同的平面，则下列命题中错误的是( )a若m，m，则b若m，n，则mnc若，则d若，则考点：空间中直线与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：根据空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理对选项分别分析选择解答：解：对于a，若m，m，根据线面垂直的性质定理以及面面平行的判定定理可以得到；故a正确；对于b，若m，n，根据线面垂直的性质定理容易得到mn，故b正确；对于c，若，根据面面平行的性质定理和判定定理容易得到；故d正确；对于d，若，则与可能相交；如墙角的三个面的关系；故d是错误的故选d点评：本题考查了空间线面垂直、面面垂直、面面平行的性质定理和判定定理的运用；牢固掌握运用定理是关键4为了得到函数y=sin（2x+）的图象，只需把函数y=sin2x图象上所有的点( )a向左平行移动个单位长度b向右平行移动个单位长度c向左平行移动个单位长度d向右平行移动个单位长度考点：函数y=asin（x+）的图象变换 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故只需 故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位得到解答：解：函数y=sin（2x+）=sin2（x+），故把函数y=sin2x的图象向左平移各单位，即可得到函数y=sin（2x+）的图象，故选：a点评：本题考查函数y=asin（x+）图象的平移变换规律，把已知函数的解析式化为 y=sin2（x+）是解题的关键5已知向量，满足|=|=|=|+|=1，记|的最大值为m，最小值为m，则m+m=( )a2b2cd1考点：平面向量数量积的运算 专题：空间向量及应用分析：根据|=|=|=|+|=1的几何意义可知，设，则abc是等边三角形，得到，得到c在以d为圆心的单位圆上，得到|的最大值，最小值解答：解：由题意，设，因为|=|=|=|+|=1，则abc是等边三角形，设，则e在以d为圆心的单位圆上，如图所以|的最大值为m=，最小值为m=，则m+m=2；故选：a点评：本题考查了平面向量的几何意义的运用；关键是由已知的等式得到向量的位置关系6已知双曲线c：=1（a0，b0）的左、右焦点为f1，f2，若双曲线c上存在一点p，使得pf1f2为等腰三角形，且cosf1pf2=，则双曲线c的离心率为( )abc2d3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：运用双曲线的定义和等腰三角形的定义，由离心率公式，计算即可得到解答：解：由双曲线的定义可得，|pf1|pf2|=2a，由pf1f2为等腰三角形，则|pf1|=|f1f2|或|f1f2|=|pf2|，即有|pf2|=2c2a或|pf1|=2c2a，即有cosf1pf2=e=2故选：c点评：本题考查双曲线的定义和性质，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题7如图，正三棱柱abca1b1c1（底面是正三角形，侧棱垂直底面）的各条棱长均相等，d为aa1的中点m、n分别是bb1、cc1上的动点（含端点），且满足bm=c1n当m，n运动时，下列结论中不正确的是( )a平面dmn平面bcc1b1b三棱锥a1dmn的体积为定值cdmn可能为直角三角形d平面dmn与平面abc所成的锐二面角范围为（0，考点：棱柱的结构特征 专题：空间位置关系与距离；简易逻辑分析：由bm=c1n，得线段mn必过正方形bcc1b1的中心o，由do平面bcc1b1，可得平面dmn平面bcc1b1；由a1dm的面积不变，n到平面a1dm的距离不变，得到三棱锥a1dmn的体积为定值；利用反证法思想说明dmn不可能为直角三角形；平面dmn与平面abc平行时所成角为0，当m与b重合，n与c1重合时，平面dmn与平面abc所成的锐二面角最大解答：解：如图，当m、n分别在bb1、cc1上运动时，若满足bm=c1n，则线段mn必过正方形bcc1b1的中心o，而do平面bcc1b1，平面dmn平面bcc1b1，a正确；当m、n分别在bb1、cc1上运动时，a1dm的面积不变，n到平面a1dm的距离不变，棱锥na1dm的体积不变，即三棱锥a1dmn的体积为定值，b正确；若dmn为直角三角形，则必是以mdn为直角的直角三角形，但mn的最大值为bc1，而此时dm，dn的长大于bb1，dmn不可能为直角三角形，c错误；当m、n分别为bb1，cc1中点时，平面dmn与平面abc所成的角为0，当m与b重合，n与c1重合时，平面dmn与平面abc所成的锐二面角最大，为c1bc，等于平面dmn与平面abc所成的锐二面角范围为（0，d正确故选：c点评：本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题8若对任意x1，2，不等式4x+a2x+1a20（ar）恒成立，则a的取值范围是( )aa或a2ba或a4ca或a2da或a4考点：函数恒成立问题 专题：函数的性质及应用分析：分别取a=3，x=2或者a=3，x=2排除即可解答：解：当a=3时，4x+32x+190，若x=2，则42+322+190，故a，d不符合，当a=3时，4x32x+190，若x=2，则42322+190，故c不符合，故选：b点评：考查学生理解掌握不等式恒成立的条件，直接算很难，采取举反例，属于中档题二、填空题：本大题共7小题，前4题每题6分，后3题每题4分，共36分9设全集u=r，集合a=x|x24x5=0，b=x|x2=1，则ab=1，ab=1，1，5，a（ub）=5考点：交、并、补集的混合运算；并集及其运算；交集及其运算 专题：集合分析：确定出a与b，找出a与b交集、并集及a与b的补集即可解答：解：集合a=x|x24x5=0=1，5，b=x|x2=1=1，1，ub=b=x|x1，ab=1，ab=1，1，5，a（ub）=5故答案为：1，1，1，5，5点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键10已知等差数列an，sn是数列an的前n项和，且满足a4=10，s6=s3+39，则数列an的首项a1=1，通项an=3n2考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：设出等差数列的首项和公差，由已知列方程组求得首项和公差，则答案可求解答：解：设等差数列an的首项为a1，公差为d，由a4=10，s6=s3+39，得，解得an=1+3（n1）=3n2故答案为：1，3n2点评：本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题11如图是某几何体的三视图（单位：cm），则该几何体的表面积是14+2cm2，体积为4cm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：判断得出该几何体是三棱锥，利用题中数据，即可求解几何体的表面积、体积解答：解：根据三视图得出：该几何体是三棱锥，ab=2，bc=3，db=5，cd=4，ab面bcd，bccd，几何体的表面积是+=14+2其体积：scbdab=4，故答案为：14+2；4点评：本题考查了三棱锥的三视图的运用，仔细阅读数据判断恢复直观图，关键是确定几何体的形状，属于中档题12已知sincos=，0，则sin2=，sin（2）=考点：二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：由sincos=，两边平方，再利用同角三角函数基本关系式、倍角公式，两角和与差的正弦函数公式即可得出解答：解：sincos=，0，两边平方可得：1sin2=，可得：sin2=cos2=，sin（2）=（sin2cos2）=（+）=，故答案为：，点评：本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题13已知实数x，y满足，则|x2y1|的取值范围是0，5考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可解答：解：设z=x2y1，则y=+，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=+，由图象可知当直线y=+过点a时，直线y=+的截距最小，此时z最大，由，解得，即a（1，0），代入目标函数z=x2y1，得z=11=0目标函数z=x2y1的最大值是0经过b时，直线y=+的截距最大，此时z最小，由得，即b（2，3），此时z=261=5，即5z0，则0|z|5，即|x2y1|的取值范围是0，5，故答案为：0，5点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法14已知正数x，y满足xy+x+2y=6，则xy的最大值为2考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：正数x，y满足xy+x+2y=6，可得x=0，解得0y3可得xy=，化简整理利用基本不等式的性质即可得出解答：解：正数x，y满足xy+x+2y=6，x=0，解得0y3xy=+10=2，当且仅当y=1（x=2）时取等号xy的最大值为2故答案为：2点评：本题考查了基本不等式的性质，考查了变形能力、推理能力，属于基础题15在平面内，|ab|=4，p，q满足kapkbp=，kaqkbq=1，且对任意r，|的最小值为2，则|pq|的取值范围是2，2+考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设a（2，0），b（2，0），p（m，n），q（s，t），由斜率公式可得p，q的轨迹方程，对任意r，|的最小值为2，运用向量的坐标运算，结合二次函数的最值求法，可得m=1，n=，即p为定点，由于q在圆s2+t2=4上，连接op，延长交圆于q，q，则可得|pq|的最小值为2|op|，最大值为2+|op|，进而得到所求范围解答：解：设a（2，0），b（2，0），p（m，n），则kapkbp=，可得=，化简可得m2+9n2=4，（m2），设q（s，t），由kaqkbq=1，可得s2+t2=4，（s2），对任意r，|的最小值为2，=（m+2，n），=（4，0），即有|2=（m+2）2+n22+168（m+2），配方可得最小值为16=4，化简可得3n2=（2+m）2，又m2+9n2=4，解得m=1，n=，即有p（1，），由于q在圆s2+t2=4上，连接op，延长交圆于q，q，则可得|pq|的最小值为2|op|=2=2；最大值为2+|op|=2+则有|pq|的取值范围是2，2+故答案为：2，2+点评：本题考查向量的数量积的坐标表示，考查曲线的方程和运用，同时考查二次函数的最值的求法，圆的性质的运用，属于难题和易错题三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16在abc中，内角a、b、c对应的三边长分别为a，b，c，且满足c（acosbb）=a2b2（）求角a；（）若a=，求b+c的取值范围考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：（）利用余弦定理表示出cosb，代入已知等式整理后再利用余弦定理表示求出cosa的值，即可确定出a的度数；（）由a与sina的值，利用正弦定理表示出b与c，代入b+c中，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用正弦函数的值域确定出范围即可解答：解：（）cosb=，c（acosbb）=a2b2，a2+c2b2bc=2a22b2，即a2=b2+c2bc，a2=b2+c22bccosa，cosa=，则a=；（）由正弦定理得=2，b=2sinb，c=2sinc，b+c=2sinb+2sinc=2sinb+2sin（a+b）=2sinb+2sinacosb+2cosasinb=3sinb+cosb=2sin（b+），b（0，），b+（，），sin（b+），1，则b+c，2点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键17（16分）如图，在四棱锥pabcd中，pd底面abcd，底面abcd为平行四边形，adb=90，ab=2ad（）求证：平面pad平面pbd；（）若pd=ad=1，=2，求二面角pade的余弦值考点：二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定 专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面pbd平面pad；（）以d为原点，da所在直线为x轴，db所在直线为y轴建立直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出二面角的平面角解答：（）证明：pd底面abcd，bd底面abcd，pdbdadb=90，adbdadpd=dbd平面padbd平面pbd，平面pad平面pbd（）解：以d为原点，da所在直线为x轴，db所在直线为y轴建立直角坐标系d（0，0，0），p（0，0，1），a（1，0，0），b（0，0），设p（0，x，y），bd平面pad，平面pad的一个法向量设平面ade的一个法向量，解得设为所求的角，cos=点评：本题主要考查空间面面垂直的判定以及空间二面角的求解，利用向量法进行求解是解决空间二面角的常用方法18如图，在abc中，b（1，0），c（1，0），cd、be分别是abc的两条中线且相交于点g，且|cd|+|be|=6（）求点g的轨迹的方程；（）直线l：y=x1与轨迹相交于m、n两点，p为轨迹的动点，求pmn面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设be与cd交于g点，则g为abc的重心，根据椭圆定理为椭圆方程（）设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为p，此时三角形面积最大，因为相切，故=0列式求得面积最大值，并求得该值解答：解：（）设be与cd交于g点，则g为abc的重心，由于|cd|+|be|=6，则bg+cg=4，根据椭圆的定义，故g是以b，c为焦点，长轴长为4的椭圆（除x轴上点外），即g满足的轨迹方程为（）设m（x1，y1），n（x2，y2），由得到7x28x8=0，得到设直线y=x+b，当直线与椭圆相切时，切点即为p，此时三角形面积最大，因为相切，故=064b228（4b212）=0，b2=7，（舍） h=|=备注：也可以用两平行线距离公式d=点评：本题主要考查了轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题，属于中档题19对于函数f（x），若存在x0r，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的一个不动点设函数f（x）=ax2+bx+1（a0）（）当a=2，b=2时，求f（x）的不动点；（）若f（x）有两个相异的不动点x1，x2，（）当x11x2时，设f（x）的对称轴为直线x=m，求证：m；（）