数学实验--多项式插值计算及其收敛实验.doc

Lab02多项式插值计算及其收敛性实验【实验目的和要求】1使学生深入理解Langrage插值法和Newton插值法以两者之间的异同，能用Matlab语言编写按Langrage插值法和Newton插值法计算插值的程序；2用所编写的程序进行插值计算、验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性；3使学生深入理解教材介绍的两种分段低次插值法，熟悉掌握函数interp1的使用；4使用函数interp1用不同方法进行插值计算，对教材介绍的几种分段低次插值法进行分析比较。【实验内容】1根据Matlab语言特点，描述Langrage插值法和Newton插值法。2用Matlab语言编写按Langrage插值法和Newton插值法计算插值的程序。3对，分别取3个，5个、9个、11个等距节点，用所编写的程序进行插值计算并画图，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。4用函数interp1，对，用n=11个节点(等分)作分段线性插值、分段Hermit插值和三次样条插值，用m=101个插值点(等分)作图，比较结果。【实验仪器与软件】 1CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2Matlab 6.0及以上版本。实验讲评：实验成绩： 评阅教师：2012 年5 月 1 日Lab02多项式插值计算及其收敛性实验一、算法描述Langrange算法描述：1) 若次多项式在个节点上满足条件 （1）就称这个次多项式为节点上的差值基函数。2) 差值基函数为显然它满足条件（1）。于是，满足条件（1）的差值多项式可表示为 就称为拉格朗日Lagrange差值多项式。Newton插值多项式算法描述：Newton插值多项式的表达式如下：其中每一项的系数ci的表达式如下：根据以上公式，计算的步骤如下：(1) 计算(2) 计算(3) (4) 计算(5) 计算二、算法程序编写lagrange函数如下function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;end编写Newton插值法如下function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) = length(y) n = length(x); c(1:n) = 0;else display(你所输入的x与y的维数不相等！); returnendf = y(1);y1 = 0;l = 1; for(i=1:n-1) for(j=i+1:n) y1(j) = (y(j)-y(i)/(x(j)-x(i); end c(i) = y1(i+1); l = l*(t-x(i); f = f + c(i)*l; simplify(f); y = y1; if(i=n-1) if(nargin = 3) f = subs(f,t,x0); else f = collect(f); f = vpa(f, 6); end endend三、插值计算对，分别取3个，5个、9个、11个等距节点，用所编写的程序进行插值计算并画图，以验证Runge现象、分析插值多项式的收敛性。Langrange算法:1. 取3个等距节点进行差值计算：编写m函数如下：x0=linspace(-5,5,3);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b) 2. 取5个等距节点进行差值计算x0=linspace(-5,5,5);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b); 3. 取9个等距节点进行插值计算 x0=linspace(-5,5,9);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b) 4. 取11个等距节点进行差值计算x0=linspace(-5,5,11);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=lagrange(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b); 从图上看，在区间-1，1上，插值的误差比较小，在两端出现明显的振荡现象，即：Runge现象 Newton插值法:(1) 取3个等距节点进行差值计算：编写m函数如下：x0=linspace(-5,5,3);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=Newton(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b) (2) 取5个等距节点进行差值计算x0=linspace(-5,5,5);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=Newton(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b); (3) 取9个等距节点进行插值计算 x0=linspace(-5,5,9);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=Newton(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b); (4) 取11个等距节点进行差值计算x0=linspace(-5,5,11);y0=1./(1+x0.2);x=-5:0.1:5;y=1./(1+x.2);y1=Newton(x0,y0,x);plot(x,y,r,x,y1,b); 虽然牛顿迭代做了改进，但从图上看，在区间-1，1上，插值的误差比较小，在两端还是存在明显的振荡现象（Runge现象）。4、用函数interp1，对，用n=11个节点(等分)作分段线性插值、分段Hermit插值和三次样条插值，用m=101个插值点(等分)作图，比较结果。解：编写分段线性插值的m文件分别如下：a) 用n=11个节点(等分)作分段线性插值 m函数1： function y = fenduan_linear(x0,y0,m,n)%*%x0-横坐标%y0-纵坐标%m-x的值%n-迭代的次数%*for i = 1:n-1 if (m = x0(i) &(m = x0(i+1) y = (m - x0(i+1)/(x0(i) - x0(i+1)*y0(i) + ( m- x0(i)/(x0(i+1) - x0(i)*y0(i+1); endend m函数2：function y=fun_12(x)y = 1./(1+x.2);endm函数3：function linshi11()n = input(输入=:);x0 = linspace( -5,5,n);for x = -5:0.01:5y = fenduan_linear(x0,fun_12(x0),x,n);hold on;plot(x,y,g);plot(x,fun_12(x),b);end编写三次样条插值的m文件如下：注意：此程序需在matlab中运行function linshi14()%*%spline-matlab中自带的三次样条差值%n-插值点%o-原函数值的点 %*n = input(输入=:);x0 = linspace( -5,5,n);for x = -5:0.01:5 hold on; plot(x0,fun_12(x0),ro,x,spline(x0,fun_12(x0),x)end四、算法分析通过图像及数值的对比都可以看到：拉格朗日多项式，当n 增大时，并不能保证在所有区间都收敛于原函数由于拉格朗日多项式的次数增大，在收敛区间外的点上，高阶导数不为零。光滑性变差，从而产生了极大的振荡。也就是说只有已知插值点落在收敛区间以内时，才可采用。所以影响了这种方法的实用价值。牛顿多项式与拉格朗日差值多项式具有一样的性质，但是由于具有的承袭性，使得计算的量大为减少。分段线性插值的曲线不如拉格朗日和三次样条的曲线光滑。