数学分析考试纲要.doc

数学分析考试纲要课程目的与教学基本要求 数学分析是数学与应用数学、信息与计算科学专业的一门主干基础课和必修课，本课程的目的是为后继课程提供必要的知识，同时通过本课程的教学，锻炼和提高学生的思维能力，培养学生掌握分析问题和解决问题的思想方法。本课程不仅对许多后继课程的学习有直接影响，而且对学生基本功的训练与良好素质的培养起着十分重要的作用。 本课程学习经典数学分析的基本知识，包括极限论、一元微积分学、级数论和多元微积分等基本内容，并用连续量的演算体系及其数学理论的观点统率整个体系。在教学上要求学生能掌握四个基本方面，即基本概念、基本理论、基本方法和基本技巧。在教学基本要求上分为三个档次，即牢固掌握、一般掌握和一般了解。 牢固掌握-基本概念明确，能联系几何与物理的直观背景，并能从正反两方面进行理解（极限论、一元微积分学和级数论的概念按此要求）；基本理论较扎实，具有较好的推理论证和分析问题的能力（极限论、一元微积分学和级数论的理论一般按此要求，但实数理论和定积分可积性理论除外）；基本方法较熟练，具备较好的运算和解决应用问题的能力，并能较灵活地运用基本技巧（本课程的一般方法和技巧按此要求，但含参变量积分的方法和技巧除外）。 一般掌握-对基本概念一般只要求能从正面理解（广义积分和多元微积分学的概念按此要求）；对基本理论一般要求能应用和了解如何证明（实数理论、定积分可积性理论和多元微积分学的理论按此要求）；对基本方法一般要求能掌握运用，但不要求很熟练和技巧性（含参变量积分的方法按此要求）。 一般了解-对基本理论只要求能应用，不要求掌握证明方法（隐函数存在定理、重积分一般变量替换公式和富里埃级数收敛性理论按此要求）；对基本方法一般要求会做，不要求灵活技巧（如果讲授本大纲中的选讲内容，则按此要求）。 课程考试内容一、 数学分析I*课程内容（一）函数 1熟练掌握函数、反函数、复合函数、单调函数、有界函数、奇偶函数与周期函数等概念。2会求函数的定义域。3了解函数的各种表示法，掌握分析（或解析）表示法特别对分段表示的函数要很好地理解。4熟悉基本初等函数，初等函数。（二）极限 1掌握数列极限、函数极限、无穷小量、无穷大量及确界概念，对极限的否定形式要有所了解。2会用“-N”，“-”，“-A”方法处理极限问题。3对下述性质与定理要求能准确地叙述并会证明。唯一性、有界性、保号性、收敛定理和海涅定理。4能运用四则运算、两边夹定理、单调有界数列极限存在定理及两个重要极限熟练地求极限。5理解无穷小量、无穷大量的概念，并会用无穷小量、无穷大量的性质处理极限问题。（三）连续函数 1理解一点连续、单侧连续与区间上连续的定义；理解间断点及其分类概念。理解保号性，有界性，四则运算，复合函数的连续性，反函数的连续性。2能准确叙述并会证明闭区间上连续函数的介值性，有界性，最值定理，一致连续定理（一致连续性定理的证明不作要求）。3了解初等函数的连续性。（四）实数的连续性 1准确地叙述并会证明实数系的几个基本定理区间套定理，确界概念，确界存在定理，单调有界数列极限存在定理，聚点原理，收敛准则，有限覆盖定理。2会用上述定理处理某些证明问题。（五）导数与微分 （一）目的要求1掌握导数（包括单侧导数与导函数）的概念，熟悉它的几何意义，掌握可导与连续的关系。2能熟练地应用导数定义与四则运算，复合函数的导数，反函数的导数，基本公式表，隐函数求导法，参数方程求导法求函数的导数。3会求一些函数的高阶导数。4理解微分的定义，微分的几何意义，微分与导数的关系，微分法则，一阶微分形式的不变法，会用微分进行近似计算。（六）微分中值定理及泰勒公式，导数的应用 1能正确叙述并证明费尔马引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理。2会用中值定理证明一些恒等式与不等式。3会求一些简单函数的泰勒展开式。4能熟练地应用洛毕大法则求不定型的极限。其它形式的不定型转化成以上两种形式的不定型。5函数单调性判别法。理解函数单调的充要条件，函数严格单调的充要条件，应用函数的单调性证明不等式。6理解极值概念，极值判别法，最大值与最小值概念，能熟练地求函数的极值和最大（小）值。7理解函数的凹凸性，拐点，渐近线等概念，会用有关的知识讨论函数的凹凸性及拐点，能应用导数较正确地作出函数的图像。二、 数学分析II*课程内容、要求（七）不定积分 1掌握原函数与不定积分的概念，熟记基本积分表，理解线性运算法则。2熟练地掌握换元积分法与分部积分法。3掌握有理函数积分法，三角函数有理式的积分。4掌握简单无理函数的积分。（八）定积分 1掌握定积分概念。2可积的必要条件，理解大和与小和及其性质，可积的充要条件。3理解可积的充要条件，并能应用它判断或证明函数的可积性（包括可积函数类）。4定积分的性质。熟悉定积分的线性，有限可加性，单调性，绝对可积性，积分中值定理。5理解可变上限的定积分的性质并能熟练的处理相关问题。6能熟练地应用牛顿莱布尼兹公式、换元积分法和分部积分法计算定积分。7了解定积分的近似计算方法。（九）定积分的应用 1会用微元法解决几何、物理中的一些问题。2定积分在几何上的应用。掌握平面图形的面积，已知截面面积函数的立体体积，旋转体的侧面积，曲线的弧长与曲率。3定积分在物理上的应用。求压力、功、静力矩、重心。（十）级数 （1）数项级数1掌握无穷级数的收敛、发散、和、绝对收敛及条件收敛等概念。2掌握收敛级数的性质（包括绝对收敛与条件收敛的性质）。3熟练掌握正项级数的敛散性判别法。4掌握交错级数的莱布尼兹判别法，理解任意项级数的狄利克雷、阿贝耳判别法。5了解级数的重排性质（黎曼定理不证明）。（2）函数项级数1理解收敛域、极限函数、和函数和一致收敛等概念。2熟练掌握优级数判别法；理解狄利克雷判别法、阿贝耳判别法。3理解函数列的极限函数的连续性、可积性、可微性、函数项级数的和函数的连续性、可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。会用性质处理一些相关问题。（3）幂级数1理解幂级数、函数的泰勒级数的概念，了解函数可展成泰勒级数的条件。2掌握幂级数的内闭一致收敛性，和函数的连续性，可积性（逐项积分）与可微性（逐项微分）。3熟练掌握幂级数的收敛半径与收敛域的求法。4能用幂级数做某些近似计算。（4）傅里叶哀级数1掌握三角函数系的正交性与函数的傅里叶级数的概念。2能正确叙述傅里叶级数收敛性判别法。3能将一些函数展成傅里叶级数（包括只含正弦或余弦的展开）。三、 数学分析III*课程考试内容、要求（十一）多元函数及其连续性 （一）目的要求1掌握平面点集（邻域、内点、聚点、界点、边界、开集、闭集与区域）的一些基本概念，多元函数的极限，累次极限以及连续性等概念。2了解闭区域套定理、聚点原理、有限覆盖定理以及多元连续函数的性质。（十二）多元函数微分学 1掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数等概念。2掌握全微分、偏导数、连续三者之间的关系。3会求函数的偏导数（包括高阶）、全微分、方向导数。4理解极值和最值的概念，掌握极值的必要条件，充分条件，会求多员函数的极值和某些函数的最大（小）值。（十三）隐函数 1了解隐函数、函数行列式、条件极值的概念。2能用隐函数存在定理判别隐函数的存在性，会求隐函数的导数或偏导数。3理解条件极值的概念及Lagranges乘数法。会求多元函数的条件极值。4会求曲线的切线方程和法平面方程，曲面的切平面方程和法线方程。（十四）反常积分与含有参变量的积分 1掌握广义积分（无穷积分、瑕积分）收敛、发散、绝对收敛与条件收敛等概念。2能用收敛性判别法判断一些广义积分的敛散性。3理解含有参变量积分的概念和分析性质，了解-函数、 -函数的性质。4能用收敛性判别法判断一些广义含参积分的敛散性。（十五）重积分 1理解二重积分与三重积分的概念。2理解二重积分与三重积分的性质。3掌握直角坐标系及极坐标系下二重积分的计算方法，能将三重积分化为累次积分，并利用柱面坐标、球面坐标计算三重积分。4会求一些图形的面积、体积以及一些物体的质量和重心。（十六）曲线积分与曲面积分 1理解第一型曲线积分及第二型曲线积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲线积分的计算方法，了解第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系；掌握格林公式。2理解第一型曲面积分的定义、性质；第二型曲面积分的定义、性质，掌握第一型、第二型曲面积分的计算方法，了解第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系；理解奥高公式,了解斯托克斯公式。3了解场论初步。四、主要参考书目1 数学分析的思想方法，朱匀华、周健伟、胡建勋编著，中山大学出版社，1998年第一版，2001年8月第2次印刷。2数学分析（面向21世纪课程教材）上、下册，陈纪修、於崇华、金路编著，高等教育出版社，1999年第一版。3裴礼文，数学分析典型问题与方法，高等教育出版社出版4 数学分析选讲，朱匀华、周健伟编著，广东科技出版社，1995年。5 刘玉琏，数学分析讲义（上、下册），东北师范大学数学系，高等教育出版社出版。6 谢惠民等，数学分析讲义（上、下册），苏州大学数学系，高等教育出版社出版。7华东师范大学数学系，数学分析（上、下册），华东师范大学数学系，高等教育出版社出版。8 R.Courant and F.John,Introduction