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求功方法种种 李树祥功和能历年来都是高考必考的重点知识，由于此部分内容高考命题情景新、联系实际密切、综合性强因此也成为高考的难点。但由于高考对功和能的考查侧重于计算型命题，因此不论是直接求功（或功率）的考查，还是几种重要功能关系的应用（如动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律等），一般都要进行求功的计算，那么应如何求力做的功呢？一、如果力F是恒力，则可利用功的公式W=FScos求解。此种功的求法最为常见。例如我们可以用此公式推导出求解液体或气体做功的公式W=PV，其中P为压强，V为液体或气体推进体积。推导如下：设压强P的作用面积为S，推进的距离为L，则压力PS作用距离L时的功为PSL即PV。注意：代入公式的F、S、均为绝对值（功的正负号来源于角是锐角还是钝角，而不是力F的正负号！）；S为实际的对地位移（参照物为地面）；为力和位移正方向之间的夹角。功的计算跟物体的运动性质、以及有无其它力都没有关系。所以，计算某个恒力做功时，不要受到物体运动状态和其它力的干扰。例1：用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运动时间相同，不计空气阻力，则（）A加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大B匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大C两过程中拉力做的功一样大D上述三种情况都有可能解析：应先分别求出两过程中拉力做的功，再进行比较。由于两过程拉力都是恒力，故可用公式求解。匀加速提升重物时，设拉力为F1，物体向上的加速度为a，根据牛顿第二定律得F1-mg=ma，拉力F1所做的功：匀速提升重物时，设拉力为F2，根据平衡条件得F2=mg，匀速运动的位移，所以匀速提升重物时拉力的功比较、式知：当ag时，；当a=g时，；当ag时，故D选项正确。二、如果力F的功率不变，则利用W=Pt求功，此法常用于交通工具以恒定功率行驶的题目中，当然也有涉及电动机拉动物体运动，电动机输出功率（即物体所受拉力功率）恒定的情况。例2：质量为5103 kg的汽车在t0时刻速度v010m/s，随后以P6104 W的额定功率沿平直公路继续前进，经72s达到最大速度，设汽车受恒定阻力，其大小为2.5103N。求：（1）汽车的最大速度vm；（2）汽车在72s内经过的路程s。解析：（1）当达到最大速度时，P=Fv=fvm，vmm/s24m/s，（2）此题中汽车的功率即为牵引力的功率，因此牵引力做的功即为pt，从开始到72s时刻依据动能定理得：Ptfsmvm2mv02，解得：s1252m。三、如果力F大小不变，但方向总是和运动方向相同，则此力做的功为W=FS路，如果此力大小不变，但方向总是和运动方向相反，则此力做的功为W=FS路。S路指的是物体的路程而不是位移。当然不管力F大小变不变，只要此力的方向总是和运动方向垂直，则此力不做功。例如：滑动摩擦力和空气阻力在大小不变、方向总与物体的运动方向相反的情况下，做功就是W=FS路 。再如：当物体做曲线运动时，半径方向的力都不做功（故向心力不做功）。例3、如图一所示，某力F=10牛作用于半径R=1米的转盘的边缘上，力F的大小保持不变，但方向始终保持与作用点的切线方向一致，则转动一周这个力F做的总功应为：A 0焦耳B 20焦耳C 10焦耳D20焦耳图一分析：由于力的大小没变且方向总与运动方向相同，故W=FS=F2R=102J=20J，故B正确。四、如果已知力F随位移变化的关系图像，则利用F-S图像中图线与横轴之间所夹的面积来求该力所做的功，如图二。F0SWF0SWW注意：图像中横坐标S应理解为实际位移在力方向上的分量。图二此法主要用于已知或能够作出F-S图像的情形（如弹力、物体浮出水面过程中浮力做功）。例4、放在地面上的木块与一劲度系数的轻弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动时，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了的位移，求上述过程中拉力所做的功。解析：由题意作出图象如图三所示，在木块运动之前，弹簧弹力随弹簧伸长量的变化是线性关系，木块缓慢移动时弹簧弹力不变，图线与横轴所围梯形面积即为拉力所做的功。即图三五、如果力F的方向不变，且大小随位移做线性变化时，可先求出力对位移的平均值，再由W=FScos计算，如求弹簧的弹力做功就可用此方法。例5、要把长为的铁钉钉入木板中，每打击一次给予的能量为，已知钉子在木板中遇到的阻力与钉子进入木板的深度成正比，比例系数为k。问此钉子全部进入木板需要打击几次？解析：在把钉子打入木板的过程中，钉子把得到的能量用来克服阻力做功，而阻力与钉子进入木板的深度成正比，先求出阻力的平均值，便可求得阻力做的功。钉子在整个过程中受到的平均阻力为：，钉子克服阻力做的功为：，设全过程共打击n次，则给予钉子的总能量：所以六、如果是求以下几种力做的功，则在已知相应能量变化的情况下，利用此功和相应能量的变化关系求功1、重力做的功等于重力势能增量的负值；弹簧弹力做的功等于弹性势能增量的负值；分子力做的功等于分子式能增量的负值；电场力做的功等于电势能增量的负值。即WEp1-Ep2-Ep，其中Ep1表示初态的势能，Ep2表示末态的势能，Ep表示势能的增量。2、一对滑动摩擦力做的功和空气阻力做的功等于系统增加的内能，即W=fd相对路程=Q，其中d为相对路程。3、导体在切割磁感线产生感应电流过程中，安培力一定阻碍导体的切割磁感线运动，安培力做负功，并且导体克服安培力做多少功，就有多少电能产生，这个规律与导体的运动性质没有关系！即，如果电路是纯电阻电路，则电能全部转化为内能。即电路产生的焦耳热等于克服安培力做的功。4、在绝热系统中，外界对系统做功，系统的内能增加，系统对外界做功，系统内能减少，即370RRV图四例6、如图四所示，倾角为=370，电阻不计，间距L=0.3m,长度足够的平行导轨所在处，加有磁感应强度B=1T,方向垂直于导轨平面（图中未画出）的匀强磁场，导轨两端各接一个阻值R=2的电阻。另一横跨在平行导轨间的金属棒质量m=1kg,电阻r=2,其与导轨间的动摩擦因数=0.5.金属棒以平行于导轨向上的初速度V0=10m/s上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端的电量q=0.1C(g=10m/s2,sin370=0.6),求上端电阻R上产生的焦耳热Q。析解：金属棒以初速度V0向上滑行的过程中克服重力、安培力和摩擦力做功，动能分别转化为重力势能、电能和内能。从电路构成可知导轨上、下端电阻发出的热量相等，由焦耳定律可求出金属棒发热是R发热的四倍。由电磁感应定律可得，可求出金属棒扫过的面积和沿导轨上滑的距离。由电流定义式和并联电路规律，闭合电路欧姆定律和电磁感应定律，可得mgVNfFm图五B所以由磁通量定义，可得，金属棒沿导轨上滑的距离L0为。金属棒沿导轨上滑的受力如图五所示。金属棒所受各力中安培力是变力，其做负功使机械能转化为电能，进而变为内能。由能量守恒定律可得。则上端电阻发热量七、在已知物体的初末动能（或运动速率）情况下，可利用动能定理定理求功例7：如图六所示为一个截面是半圆、半径为R的光滑柱面。一根不可伸长的细线两端分别系物体A和B，且mA=2mB=2m，由图示位置自静止释放A物体，当物体B到达半圆柱体的顶点时，求线中的张力对物体B所作的功。RBA解析：以A、B和绳为系统，整体由动能定理得图六mAg(R)mBgR=mAvA2+mBvB20，由于绳不可伸长，有vA=vB=v，解得v2=gR(1)再以B为研究对象，张力做的功为W，由动能定理得，WmBgR=mBvB2，解得W=(+2)mBgR八、系统所受的外力和内力（不包括重力和弹力）所做的功的代数和等于系统的机械能的增量，如果这些力中只有一个变力做功，且其它力所做的功及系统的机械能的变化量都比较容易求解时，就可用功能原理求解变力所做的功。例8、质量为2千克的均匀链条长为2米，自然堆放在光滑的水平面上，用力F竖直向上匀速提起此链条，已知提起链条的速度v=6米/秒，求该链条全部被提起时拉力F所做的功。析解：链条上提过程中提起部分的重力逐渐增大,链条保持匀速上升，故作用在链条上的拉力是变力，不能直接用功的公式求功。根据功能原理，上提过程拉力F做的功等于机械能的增量，故可以用功能原理求。当链条刚被全部提起时，动能没有变化，重心升高了L/2=1米，故机械能动变化量为：E=mg L/2=2101=20（J）根据功能原理力F所做的功为：W=20J九、如果物体只受重力和弹力作用，或只有重力或弹力做功时，满足机械能守恒定律。如果求弹力这个变力做的功，可用机械能守恒定律来求解。图七例9、如图七所示，质量m为2千克的物体，从光滑斜面的顶端A点以v0=5米/秒的初速度滑下，在D点与弹簧接触并将弹簧压缩到B点时的速度为零，已知从A到B的竖直高度h=5米，求弹簧的弹力对物体所做的功。析解：由于斜面光滑故机械能守恒，但弹簧的弹力是变力，弹力对物体做负功，弹簧的弹性势能增加，且弹力做的功的数值与弹性势能的增加量相等。取B所在水平面为零参考面，弹簧原长处D 点为弹性势能的零参考点，则状态A： EA= mgh+mv02/2对状态B： EB=W弹簧+0由机械能守恒定律得： W弹簧=（mgh+mv02/2）=125（J）。十、有些情况下可把变力作功转化为恒力做功在某些情况下，通过等效变换可以将变力做功转换成恒力做功，于是可以用求解。例10、如图八所示，某人用大小不变的力F拉着放在光滑水平面上的物体。开始时与物体相连的轻绳和水平面间的夹角为，当拉力F作用一段时间后，绳与水平面间的夹角为。已知图1中的高度是h，绳与滑轮间的摩擦不计，求绳的拉力FT对物体所做的功。图八分析：拉力FT在对物体做功的过程中大小不变，但方向时刻改变，所以这是个变力做功问题。由题意可知，人对绳做的功等于拉力FT对物体做的功，且人对绳的拉力F是恒力，于是问题转化为求恒力做功。由图八可知，在绳与水平面的夹角由变到的过程中，拉力F的作用点的位移为：所以绳对物体做功：在功的计算中，还需注意正确的理解功：1、功是能量转化的量度。2、力对物体做多少功只决定于F、S、这三个因素.3、功虽然是标量，但有正负号（正负号只取决于力和位移的夹角）。功的正负号既不表示方向，也不表示做功的多少，而表示能量的传输方向。当力对物体做负功时，可以说成是该物体克服这个力做正功。4、判别力是否做功以及正负号的常见方法：=90时，W=0；0；90时，W0l 如果是恒力，可考察F与S的夹角情况：=90时，W=0；0；90时，W0l 如果是变力，可考察F与v的夹角情况：例如：单摆的摆线拉力、圆周运动的向心力、固定轨道的弹力都是变力，由于这些力的方向始终与物体的运动方向垂直，所以不做功。(运动轨道的弹力往往会做功。)5、“内力对系统所作的功”的理解：内力对相应的两个施力物体做功的总和。求解方法：方法一，求出作用力的功，再求其反作用力的功，最后代数相加；方法二，以其中的一个施力物体为参照物求内力对另一个物体所作的功即为答案。相关结论:内力所作的总功不一定等于零（相对静止时内力做的总功为零），也不一定为正值，也不一定为负值。巩固练习：1、一辆汽车质量为105千克，从静止开始运动，其阻力为车重的0.05倍。其牵引力的大小与车前进的距离变化关系为F=103x+f0，f0是车所受的阻力。当车前进100米时，牵引力做的功是多少？解析：由于车的牵引力和位移的关系为F=103x+f0，是线性关系，故前进100米过程中的牵引力做的功可看作是平均牵引力所做的功。由题意可知f00.0510510N5104N,所以前进100米过程中的平均牵引力N1105N,WS1105100J1107J。2、一个质量为的物体静止在足够大的水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数。从开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力F作用，力F随时间的变化规律如图九所示。求83秒内物体的位移大小和力F对物体所做的功。取。解析：当物体在前半周期时由牛顿第二定律，得 F1-mg=ma1a1=( F1mg)/m=(120.1410)/4=2m/s2图九当物体在后半周期时，由牛顿第二定律，得F2+mg= ma2a2=( F2+mg)/m=(4+0.1410)/4=2m/s2前半周期和后半周期位移相等x1=1/2at 2 =0.5222 =4m 一个周期的位移为 8m 最后 1s 的位移为 3m 83 秒内物体的位移大小为 x=208+4+3=167m 一个周期 F 做的功为 w1=（F1F2）x1=（124）4=32J 力 F 对物体所做的功 w=2032+124-43=681J 3、如图十所示，质量为的小球，用长为L的不可伸长的轻绳悬挂于P点，第一次小球在水平力作用下从P点缓慢地移动到Q点，第二次小球在水平恒力作用下从P点移动到Q点，图中角为已知。(1)分别写出外力两次做功的表达式=_；=_。(2)这两次外力做的功是否相同？对此，甲、乙两个同学分别作了以下的分析；甲认为：前后两次做功的过程中，物体克服重力的功相同，所以外力做的功也一定相同。乙却认为：两次做的功的表达式不同，所以，前后次外力做的功一定不相同。图十以上两位同学的分析是否正确？若正确，请说明理由。若错误，请写出分析过程。解析：(1)第一次由于F是变力，故可由动能定理得=，第二次F是恒力，故直接由功的公式可得=(2)两位同学的分析都是不正确的。正确的分析为：第一次动能不变，所以由动能定理得。第二次F2、G均为恒力，合力方向与竖直方向的夹角为，大小，当时，小球未到Q点速度就减到0，不合题意。当时，合力做功等于0，开始做正功，小球开始加速，后减速到零，即，当时，合力先做正功，后做负功，但总的是正功，到Q点时动能大于0，当时，合力始终做正功，到Q点动能大于0。故0）的滑块从距离弹簧上端为s0处静止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度大小为g。（1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间t1图十一（2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为vm，求滑块从静止释放到速度大小为vm过程中弹簧的弹力所做的功W；（3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中速度与时间关系v-t图象。图中横坐标轴上的t1、t2及t3分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的v1为滑块在t1时刻的速度大小，vm是题中所指的物理量。（本小题不要