翻译Particle-Based Anisotropic Surface Meshing.docx

Particle-Based Anisotropic Surface Meshing摘要本文介绍了一种基于粒子的各向异性表面网格划分方法。给定一个输入多边形网格赋予了一个黎曼度量和指定数量的顶点，该方法生成一个度量适应网格。主要思想包括映射各向异性空间为高维各向同性的一个，称为“嵌入空间”。网格的顶点是由均匀采样的表面，在这个高维嵌入空间，并通过优化的能量函数的准牛顿算法的采样进一步正规化。所有的计算可以重新表示在嵌入的点积空间，和连接不同空间的映射的矩阵。这种转换使得它不需要显式表示嵌入空间中的坐标，并提供有效计算的所有必需的能量和力的表达式。通过能量优化，它自然会导致在原来的空间所需的各向异性粒子分布。通过计算的限制的各向异性，然后生成的三角形Voronoi图和其对偶Delaunay三角剖分。我们比较我们的研究结果定性和定量与国家的最先进的在各向异性表面网格划分的几个例子，使用标准的测量标准。1引言各向异性啮合提供了一种高度灵活的控制方式网格生成，通过让用户规定一个方向和密度场，肉牛的形状，大小和网格对齐。在流体动力学模拟中，通常需要有细长的网格单元，具有期望方向和长宽比由一个黎曼度量张量场 alauzet和loseille给定2010 。对于曲面造型，在逼近理论中证明了二者的最佳逼近光滑曲面有一个给定的三角形的数目时，实现的各向异性三角形遵循曲率特征值和特征向量张量辛普森1994；Heckbert和花环1999 。这可以从图2中的椭球面容易看出的两个主曲率Kmax /平方公里的比例接近1靠近椭球的两端，高达100中间部分。沿方向的各向异性三角形在椭球体中部最小曲率提供最好的近似，而各向同性的三角形是必要的，在其两端。在本文中，我们提出了一种新的各向异性网格划分方法表面赋予了一个黎曼度量。我们依靠particlebased的方案，其中每对相邻颗粒的装备高斯能量。它已被证明威肯和Heckbert1994 把这个成对的高斯能量最小化，导致粒子的均匀各向同性分布。计算各向异性网格上配备的黎曼度量概念的表面，我们利用一个高维的“嵌入空间”纳什1954；柯伊伯1955 。我们的方法优化的位置顶点，或颗粒，通过均匀采样的输入表面的高维嵌入。这个嵌入是设计的这样一种方式，当投影回原来的空间（通常是二维或三维），均匀采样变各向异性的尊重输入度量。直接引用到更高的三维嵌入是避免重新表达所有的计算中的条款在高维空间中的点积，以及连接不同空间的映射的矩阵。基于此重新表达式，我们得到原则的能量和力模型，有效地计算在原来的流形上的准牛顿优化算法。最后，三角形是由计算限制各向异性Voronoi图和提取其连接部件的双重。本文提出了以下的贡献，有效地产生高品质的各向异性网格：它介绍了一种新的基于粒子的各向异性制剂啮合。它定义成对的高斯能量和力量在粒子之间，并制定能源优化的高维“嵌入空间”。我们进一步展示了如何各向异性啮合可以转化为各向同性的啮合在这个高维嵌入空间（美国证券交易委员会。3.1）。这个能量被设计成这样一种方式，粒子均匀地分布在这个高维空间的表面上。当能量被优化，相应的粒子在原来的歧管将实现所需输入度量的各向异性采样。它提出了一种计算上可行的和有效的方法为我们的能量优化（美国证券交易委员会。3.2）。高维能量函数和它的梯度被映射回原来的空间，其中的粒子可以直接优化。这种计算方法避免了计算的需要高维嵌入空间。这样的能量优化策略显示了非常快速的收敛速度，而不任何需要明确控制粒子的人口（例如，插入或删除粒子以满足所需的各向异性。2背景及相关作品2.1各向异性的定义各向异性表示距离和角度扭曲。几何，距离和角度可以用点积测量：V，W，这是一个双线性函数映射对矢量对点产品是对称的，积极的，明确的（SPD）。如果点积与另一个SPD双线性形式所取代，然后各向异性空间的定义。我们认为，一个度量M（。），即一个SPD双线性形式，定义在域RM。换句话说，在一个给定的点x，点积两向量V和W之间的V，WM（X）。在实践中，度量可以表示为一个对称的米米矩阵米（），在这种情况下，点产品成为：v, wM(x) = vT M(x)w. (1)The metric matrix M(x) can be decomposed with Singular ValueDecomposition (SVD) into:M(x) = R(x)T S(x)2R(x), (2)where the diagonal matrix S(x)2 contains its ordered eigenvalues,and the orthogonal matrix R(x) contains its eigenvectors. We notethat a globally smooth field R(x) may not exist for surfaces ofarbitrary topology.对于度量设计，我们使用以下2个选项：（1）在我们的一些实验中，我们开始设计一个平滑的缩放场（）和一个旋转磁场的旋转（），这是光滑的区域以外的那些奇点，并组成他们到（）=（）（）和米（）=（）（），这和杜等人是一样的铝。 2005 。它们被定义在曲面的切空间上。假设S1和S2在两对角项（x）对应的切空间的两个特征向量，S2和S1。我们简单的叫S2 S1作为拉伸比。这个过程将发挥作用后来当用户指定所需的输入度量（美国证券交易委员会。5）。（2）注意到，如果用户由用户提供，则分解为问（）是非唯一的。等效分解法（）=问：（x）（x）是不去任何给定矩阵Qo（x）= O（x）Q（x），（）是一个米米的正交矩阵。换句话说，问（）是唯一的旋转。然而，它很容易证明，如果SPD度量m（x）是给定的，它的平方根Q（x）=M（X）也是一个SPD矩阵，和这种分解是唯一的（ 1985 的喇叭和约翰逊7.2.6定理）和光滑（ 1968 的Freidlin 2定理）。（）是一个对称的仿射映射：q（）=（）（）= q（）。在美国证券交易委员会。5.1，我们使用“网格字体”的例子来显示，在我们的框架中，q（）可以很好地工作，给出一个用户指定的光滑度量字段米（）。It is interesting to note that if the metric tensor field is given as:M(x) = (x) m 2 I,where (x) : R and I is the identity matrix, then M(x) defines an isotropic metric graded with the density function (x).给出的度量字段M（x）和一个开放的曲线C，长度被定义为切向量的长度的积分用公制米（）。然后，各向异性距离2点之间的数据，可以被定义为长度的（可能是非唯一）最短的曲线，连接和Y。2.2以前的作品各向异性Voronoi图：通过用公制定义的一个点的产品来代替，各向异性可以计算几何中，引入标准概念的定义例如，Voronoi图和Delaunay三角剖分。最一般的设置是由曼Voronoi图 2000 ，取代leibon和Letscher定义的各向异性距离数据挖掘（）的距离。一些理论上的结果是众所周知的，尤其是曼Voronoi图承认有效的双只有2维 boissonnat等人。2012 。然而，一个实际的执行情况仍在达到 Peyre等人。2010 。为此，两简化用于计算各发电机的Voronoi单元西：VorLabelle(xi) = y|dxi(xi, y) dxj(xj, y), jVorDu(xi) = y|dy(xi, y) dy(xj, y), jwhere:dx(y, z) = (z y)T M(x)(z y).第一个定义vorlabelle 2003 Shewchuk贝儿和容易分析的理论。二次曲面的平分线，已知的封闭形式，和一个可证明的正确的Delaunay细化算法可以定义。如此定义的各向异性Voronoi图（AVD）也可以看作一个投影高维动力图 boissonnat等人。2008A 。这个第二定义vordu 杜、王2005 是最适合于劳埃德松弛法在计算中的应用各向异性Voronoi结构。质心Voronoi及其各向异性的版本：一个质心Voronoi（无级变速器）是一个Voronoi图这样每个点西恰逢其Voronoi质心细胞。无级变速器可以通过劳埃德松弛劳埃德1982 或准牛顿能量优化求解刘等人计算。2009 。它产生一个常规采样杜等人。1999，从中一个很好的形状各向同性元素Delaunay三角网被提取。在表面啮合的情况下，可以推广这个定义通过使用短程Voronoi图 2004 科恩Peyre和表面。使计算更简单便宜的，它有可能取代短程Voronoi图与受限Voronoi图（RVD）或约束Delaunay三角网（RDT），在 1994 定义Edelsbrunner和Shah并通过几个网格算法，看到他们和雷 2010 此处参考文献。因此受限Voronoi镶嵌可以定义杜等人。2003 。随着计算受限Voronoi图的一种有效算法，限制无级变速器可用于各向同性表面网格燕等人。2009 。CVT是无级变速器（装甲战车技术进一步推广到各向异性）杜等。 2005 用定义vordu在式（4）。在每一个劳埃德迭代，各向异性Delaunay三角剖分与给定的黎曼度量需要建构，这是一个耗时的运行。瓦莱特等人。 2008 提出了一种离散逼近通过聚类的密集预三角的顶点的装甲战车技术域。这个离散的版本比杜等人快得多。连续的装甲战车技术方法，在轻度退化为代价网格质量。太阳等。 2011 介绍了六角形的闵可夫斯基度量为装甲战车技术优化，为了抑制钝角三角形。相比这些装甲战车技术方法，我们基于粒子在能量优化方案避免了中间的迭代AVD的建设，从而显示了更好的性能在美国证券交易委员会。6.1高维空间中的曲面网格划分：嵌入在高维空间中的一致啮合面也已在文献卡纳斯和Gortler 2006Kovacs等人的研究。2010；征收bonneel 2012。Levy和工作bonneel 2012 是我们最相关的，因为两者都可以被看作是在高维嵌入空间中的能量优化框架。他们延长了CVT的计算一个6D空间以达到曲率适应。特别是，在三维表面上的各向异性啮合转化为各向同性表面上嵌入在6D空间，可CVT配备Voronoi平行直线枚举征收bonneel 2012有效地计算。然而，它不为用户提供灵活的控制，通过输入度量张量场的各向异性。我们的方法是设计来处理更多一般各向异性啮合的情况下，用户所需的度量是规定。基于Delaunay三角剖分细化：在Delaunay三角网的点插入各向异性版本已成功地应用于许多实际应用 borouchaki等人。这borouchaki等人。1997b；Dobrzynski和弗雷2008 。boissonnat等人。 2011 2008b；介绍了Delaunay细化的框架，它是基于目标制定围绕每一个顶点的恒星组成的三角形正三角与西度量。整齐为“缝合”相邻的顶点的星星，提出了细化算法，以增加新的顶点，逐步实现最终各向异性啮合。我们的方法是不同的，包括优化的网格中的所有顶点。另一个区别是我们计算的连接组件的双重交会对接燕等人。2009 代替RDT。在美国证券交易委员会6.3的结果进行了比较。基于粒子的各向异性网格划分：土耳其 1992 介绍了排斥点网格的样本多边形网格的目的。后来扩展Witkin和Heckbert 1994 谁用配成对的粒子高斯能量样本与控制隐式曲面。迈耶等。 2005 制定能源核作为一种改进的有限支持余切函数，显示核心几乎是尺度不变相比，高斯核。后来扩展到处理自适应，各向同性网格的计算机辅助设计模型布朗森等。2012 随着粒子在参数中的移动每一个曲面的空间。所有这些方法都只是针对表面各向同性采样。处理各向异性网格，博森Heckbert 1996 纳入度量张量为距离函数d（x，y），和用F（x，y）=（1D（x，y）4）exp（D（x，y）4）模型的粒子之间的吸引力和排斥力作用。岛田和他的同事们提出了基于物理的“泡沫”标准的二阶系统组成的群众，阻尼器，和线性弹簧岛田和乐队的1995；该等。1997；山川和岛2000 。他们用一个有界立方函数的距离来模拟气泡间的作用力，并进一步把球泡转换为各向异性啮合的扩展到椭球形的。两博森等人。与岛田等人的作品。需要动态的人口控制计划，自适应插入或删除某些区域中的粒子/气泡。因此，如果初始没有一个很好的估计所需粒子数要填充域，它需要很长的时间来收敛。本文提出的方法是非常相似的想法自适应平滑粒子流体动力学（ASPH）夏皮罗等。1996 利用粒子间的高斯核各向异性平滑张量。然而，在美国证券交易委员会。3.3，ASPH直接制定能源在原来的空间没有利用嵌入空间概念。来计算力颗粒，不同的度量张量的梯度，必须被忽略由于数值困难。这种治疗将导致不准确的在计算网格中的各向异性如图4所示，当有轻微或显着的变化的度量。逼近理论的关系：它已经在逼近 dazevedo理论研究1991，2002 ；Shewchuk各向异性与一个给定的分段线性函数的最佳逼近的数量相关三角元素。最优网格的各向异性特点，优化算法，可以设计到最好的近似给定函数。通过loseille和alauzet 2011A介绍连续网格的概念；由于提供线性插值误差和网格方之间的关系，这导致了高效的各向异性网格自适应算法。各向异性网格和近似理论之间的关系也被研究了高阶有限元素米尔博和科恩2010；米尔博和科恩2012 ，这导致了一个高效的贪婪的分割算法生成最优网格。其他相关工作：本文仅侧重于各向异性的三角网格划分不同于其他处理各向异性的四个主网格阿里亚兹等人。2003；Kovacs et al.。2010；征收与刘2010；张等。2010 。各向异性的概念也被适用于蓝色噪声样本生成李等人。2010 。3粒子方法考虑到每一个顶点作为一个粒子，粒子间的势能决定了粒子间的作用力。当每一个粒子的作用力就变成了平衡，粒子达到最佳平衡状态的均匀分布。处理各向异性网格，利用概念“嵌入空间” 1955 纳什1954；柯伊伯。在这样的高维嵌入空间，度量是一致的和各向同性的。当力量在这个嵌入空间中的每一个粒子达到平衡，原始流形上的粒子分布将表现出所需各向异性。基本框架：给定的氮粒子与它们的位置= =西|我= 1。.n 表面上这是嵌入在RM的空间，我们定义粒子之间的粒子间的能量，我和：eij = E西XJ242。（5）这里，称为内核的宽度，是固定的标准偏差高斯核。在美国证券交易委员会。4.1我们将讨论如何选择一个适当大小的。显然，eij =俄籍。关于XJ的梯度的概念可以认为是力基金粒子在粒子上的应用：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（6）类似于牛顿的运动第三定律，我们fijfij。我们要注意，公式公式（6）是相似的粒子斥力和吸引力的威肯和Heckbert 1994思想。通过最小化总能量E =我J=我的概念与LBFGS 刘和Nocedal 1989 ，我们可以得到一个均匀各向同性采样，其中每个粒子的作用力达到平衡。它是在附录中显示，这个粒子为基础的能量配方基本上是相当于法塔勒的核的配方 2011 ，为均匀各向同性。不过法塔勒的方法不处理各向异性的情况。非均匀各向同性的情况下，我们的分析在附录中显示的差异尊重人的做法，从理论观点和实验结果。3.1各向异性情况图3的左上方图像显示一个二维度量的表示字段米显示一组点（黑点）和他们的相关单位圆（的豆形曲线，对应于集等距的点到每个黑点）。左下角图3显示了由这样的度量域控制的理想网格：三角形边的长度，在各向异性的距离，是接近相等。对于这个简单的例子，图3，可以看到，左上方的图像可以被视为表面的顶部图像“看到”从上面。换句话说，通过嵌入平面二维域作为一个曲面在三维，可以重铸的各向异性网格为各向同性的啮合表面嵌入在高维空间问题。在一般情况下，对于一个任意的度量米，高维空间需要纳什1954；柯伊伯1955 。我们现在认为表面映射到是嵌入在一个更高的维度空间RM。我们只称RM作为本文的嵌入空间。假设映射函数：，哪里RM，RM，和MM.我们表示粒子的位置上这面X = 西|西=（西），i = 1。.氮。均匀采样可以通过改变粒子间的计算能量函数的概念（5）公式如下，因此定义的概念：eij = E系2Jx 2。（7）关于XJ的概念，即梯度，在嵌入力基金空间，可以定义为：fij概念XJ =（十一XJ）22 E西XJ242。（8）3.2我们的计算方法我们在本节没有提到如何优化的概念在嵌入空间的坐标。从美国证券交易委员会的介绍。2.1，我们已经看到了介绍各向异性意味着改变点积的定义。如果我们考虑了两种小位移V和W从一个给定的位置X，然后转化为v = J（x）VW = J（x）W，其中J（x）表示Jacobian矩阵在X。在体积和瓦之间的点积：V，W= VT J（x）T J（x）W = VT M（x）W（9）换句话说，给定的嵌入功能，各向异性M对应于第一基本形式。如果我们现在假设各向异性米（）是已知的，但不是嵌入函数，它仍然是可以计算两个向量之间的内积在一个给定的点上嵌入空间。我们的力量近似背后的想法可以解释如下。我在一个给定的粒子，不同的相邻的一对（我，J1）和（我，J2）可以配备不同的指标（如mij1和mij2以及不同的雅可比矩阵Jij1和jij2）。两者之间的区别J喷墨编码局部粒子即度量的变化Jij包括“度量”的一部分（qij）和“嵌入”旋转部分（我们）（方程（19）。我们将在中用来切平面嵌入空间中的原始空间。我们的方法采用邻近度量qij的精确变化，和接近嵌入旋转wij无线在式（19）。因此，嵌入旋转的变化被忽略在每个粒子的附近，但度量的变化。综上所述，我们可以优化的均匀各向同性采样与近似的能量方程（12）和力（21）采用L-BFGS算法公式。他们都使用粒子计算位置X，连同度量M.如果M是由用户，我们利用它的平方根问代替Q在式（21）。虽然我们利用优雅的“嵌入空间”的概念，以帮助开发我们制定的各向异性啮合，我们不需要计算这样一个嵌入空间。3.3嵌入空间的重要性各向异性网格的局部定义的黎曼度量m，仿射变换的三角形为“单位”的空间，而执法转化为均匀的等边三角形。因此，它是自然的，直接定义的能量优化问题，在这个“单元”空间。然而，每个点上的指标可以是不同的。没有建立一个连贯的“单位”的空间，我们无法描述这些本地的“单位”空间的仿射副本可以“缝合”在一起。我们的方法一致认为所有这些地方“单位”的空间表面嵌入到高维空间。我们的能量在式（7）的设计是通过定义“各向异性”的仿射变换的三角形在应均匀等边（应均匀分布的颗粒）。这个定义也导致军队式的非常有效的计算（21）。我们要强调的是：不使用这个嵌入空间，能量函数的定义和相应的力公式与各向异性的定义是不一致的网格，从而导致不正确的结果。如果我们不使用这个高维嵌入空间，能量最直观的表述将式（12）。我们详细说明，并给出一些比较下面。忽略度量的梯度（ASPH的方法）：我们需要注意的是公制米ij在式（12）是依赖于粒子xi和xj的位置。因此，力的制定将涉及我关于XJ的梯度，这是数值很难计算。在自适应方法光滑粒子流体动力学（ASPH）夏皮罗等人。1996 ，他们用粒子高斯核和纳入各向异性平滑内核定义粒子间的势能，这类似于方程（12）。然而，在他们的论文中提到（美国证券交易委员会。2.2.4 夏皮罗等人。1996）公制术语的梯度计算梯度等粒子间能量时忽略。从而导致以下ASPH力公式：b ij Mij(xi xj)22 e(xixj )T Mij (xixj )42不难看出，公式（24）与式（21）只需更换qij与我。因此，如果度量领域是不恒定的，这两者力将导致不同的局部极小。我们的方法在公式（21）只忽略了在每个粒子的邻域嵌入旋转的变化，而变化的指标占。正如我们在图4实验中所证实的那样，这有一个可测网格质量的可测性。忽略了矩阵的变化：另一个近似是应用伪逆的矩阵在方程的矩阵表示（14）。在式（14）是不同的，你知道不同的邻居如果我们近似JIJ吉在式（14），然后运用集伪逆，我们到达配方（无领导吗或qij）如下：F B ij（西XJ）22 E我们强调差异与我们的方法：这种变化是近似JIJ吉在式（14），而我们的方法逼近我们的无线在式（19）。正如上面提到的，你知道有“度量”部分和“嵌入”旋转qij部分我们。因此，姬JIJ近似将“擦除”相邻颗粒间度量的变化。要看他们对各向异性网格生成的不同影响，我们在二维正方形域进行能量优化三选择的力量：（1）我们的力量在式（21）；（2）的在式（24）和pH的力；（3）式中的力（25）。如图在图4中，二维正方形域配备背景张量场：M（x）=诊断伸展（x）2,1 ，其中场拉伸（x）是在0.577,9 范围。在这个实验中，我们使用空间非均匀性度量领域，如果米（）是空间均匀的，然后所有的三个力量将导致相同的粒子配置。生成质量的比较测量各向异性网格显示在图4，与三角形区域的质量加雷亚，角度直方图，GMIN，gavg，min，AVG，%30，这是在美国证券交易委员会的定义。4.5。颜色编码三角区我们的方法的质量显示，计算三角形的面积使用我们的力量是均匀的（所有接近1），这意味着三角形的大小是符合所定义的所需的密度度量张量。从这个实验中，我们可以看到表演式中使用我们的能量优化（21）生成的理想各向异性网格，同时使用其他2个优化的能量在式（24）和替代力量方程（25）不能，这说明在嵌入空间中制定能量优化我们的近似导致间的力量的原则制定。4实现和算法细节我们的基于粒子的方法是归纳算法。1下面。帮助再现我们的结果，我们进一步详细的每个组件的算法和实施问题。4.1内核宽度粒子间的能量定义在式（5）取决于选择该固定核宽。在2距离这个能量峰的斜坡，它是接近零更小或更大距离。如果选择过小则颗粒几乎停止当他们传播分离约52，因为有几乎没有粒子之间的力量。如果选得太大附近的颗粒不能互相排斥和由此产生的采样模式将是穷人。在这项工作中，我们选择成比例平均每个粒子的“半径”当他们在均匀分布：= C| / n，其中|表示的区域在嵌入空间表面，N是粒子数，和C是一个常系数。注意我们的目标是让粒子均匀、各向同性采样。从我们的广泛实验中，我们发现最好的各向同性网格质量对可以实现在C0.3。任何输入度量场M（X），对面积：| =det M（x）DS。在这项工作中，输入曲面都是三角形网格，在每个顶点上定义了度量。对于每一个三角形ABC的顶点A，B，和C，我们只是近似的地区嵌入空间：|ABC | =det（M（x）+ M（3XB）+ M（XC）| ABC，（26）在|ABC |在原有的表面面积。经过总结区域的三角形嵌入空间|，我们可以集= 0.3|氮实验。在我们的实施中，对于每一个粒子，我们只计算五标准附近的粒子的相互影响偏差（5），并使用近似近邻（ANN） 1997 山图书馆和艾莉亚快速搜索这样的街区。我们的实验表明，这样的截断高斯核（5范围）是很好的实践，并产生规律粒子的六角形图案，类似于CVT 杜结果等。1999；刘等。2009 。在各向异性的邻近搜索空间，我们利用人工神经网络的数据结构，在较大范围内找到欧氏近邻，然后我们修剪假邻居关于规定的度量。4.2粒子优化算法对于任何输入度量字段米（），我们使用的自适应初始化瓦莱特等人的策略。 2008 ，分发初始样本基于密度DET的概率位置（x）。我们采用L-BFGS算法 1989 刘Nocedal优化样本位置。它是一个准牛顿算法，可以快速找到最小的能量为我们的粒子为基础的采样。对于每一次迭代的L-BFGS优化，我们更新式中总能量E（13），通过计算其梯度更新总力F EI适用于每一个粒子我在式（22）。这个梯度在式（22）采用L-BFGS优化器使用也需要投影到切空间T的表面：|= F T F EI EI EIF n（西） n（西），（27）凡在西的表面是单位正常的。在L-BFGS优化，样品需要约束表面上。在每一次迭代，更新后的网站XJ需要投影到离他们最近的位置上，如果他们的表面的边界。这个优化过程是迭代，直到收敛，满足指定的停止条件，例如，梯度或最大位移的大小颗粒小于阈值。ALG。1展示了我们的细节各向异性粒子优化。4.3网格生成粒子位置优化后，最终输出网格所产生的各向异性Voronoi图的双（AVD）杜、王2005 限制表面上燕等人。2009 。部件的连接受限Voronoi对偶图和拓扑控制确保组件是光盘（可能是插入点）闫等。2009；征收与刘2010 。这确保了在神经定理 1948 Borsuk同伦等价。但我们不自 1994 Edelsbrunner和Shah的条件不能满足确保同胚，这被认为是一个限制。请注意，网格只需要能量优化后的一次计算。因此，在所有以前的方法基于装甲战车技术的显著优势，自他们需要计算在每一次迭代的优化AVD过程。我们比较的计算速度和质量生成的网格与现有的各向异性网格方法在美国证券交易委员会。6。4.4扩展至6D的表面我们的粒子为基础的优化框架，可以很容易地扩展处理6d嵌入情况建议由Levy和朱古力尼尔 2012 。Levy和bonneel的方法的基本思想是使用嵌入：R6定义的：（x）= x，y，z，SNX，SNY，SNZ ，（28）其中x = x，y，z T，N（x）= NX，纽约，新西兰 T是正常，和（0，）是一个用户定义的参数指定所需的曲率各向异性。征收与bonneel解决限制问题等6 CVT表面，而在我们的框架，我们可以简单地使用方程的能量进行优化（7）和式（8）的力量，因为嵌入的功能是已知。在能量优化，最终网可以通过计算受限Voronoi图和双重构三角剖分，利用Voronoi平行直线枚举。4.5质量测量要测量各向同性的三角网格质量，我们使用的标准由Frey和borouchaki 1997 建议。三角形的质量由G = 23的测量PH值，这里的三角区，磷是它的半周长，和小时是其最长的边的长度。Gmin是三角形的最小质量，并gavg是平均质量。min是所有三角形的最小角，最小的角度，和AVG是所有三角形的最小角平均。%30是三角形的最小角小于30。在本文中，还提供了角度直方图显示所有生成三角形的角。在各向异性的表面网格，每个三角形ABC我们使用它的近似度量M（ABC）= M（x）+ M（3XB）+ M（XC）。然后我们使用相应的Q（ABC）或Q（ABC）矩阵的三角ABC点，并使用上述各向同性网格质量的测量（Gmin，gavg，min，AVG，%30和角度直方图）检查如何关闭它是相对于一个正三角形嵌入空间。我们加雷亚还定义了以下地区质量每个三角形我，评价他们的领域是如何统一仿射变换拷贝：加雷亚（我）=N j = 1 T |我| J | / NT，（29）在NT是三角形和|我|总数的地区仿射变换三角形。在最优各向异性啮合，每个三角形都|我|相同的地区。因此，最好的价值加雷亚的产生的各向异性三角形1。5结果我们实现我们的算法，使用微软视觉+ + +2010、MATLAB R2010a版本。在二维域划分的实验是在MATLAB编码，而啮合面编码用碳+ +。对于硬件平台，在美国证券交易委员会的实验。5.3与英特尔在笔记本电脑上的OpenMP并行执行测试（R）核心（TM）CPU酷睿i7-3720QM和2.60ghz，8线程（4个内核）。其他实验测试的单芯与英特尔在桌面计算机上的实现（R）至强x5160CPU与完全。用户提供他们所需的输出数量所有试验点5.1啮合在二维域与给定的指标图2显示了一个二维正方形域的网格划分结果与5、000样品，给出一个统一的度量M（x）=诊断伸展（x）2，1 ，凡伸展（）= 000，1。图3显示了6、000个样本的二维正方形域的各向异性网格划分结果。不同的度量张量m（x）=诊断伸展（x）2，1 ，其中拉伸（x） 1，100 。图7显示了20，000粒子在二维域的“网格字体”配备复杂的张量场，这一啮合结果包括各向同性（变密度梯度）和各向异性的圆形张量场。各向异性距离等值线每个黑点在红色圆圈和椭圆的两个“放大”的部分。在图8中，我们使用了“网格字体”的例子，如图7所示。给出了啮合结果之间的比较：（1）和R（X），我们用Q（x）= s（x）R（x）在平衡力（21）；和（2）给出了M（x），我们用Q（x）=M（x）在平衡力（21）。在“缩放”部分的“网格字体”的例子，我们可以看到他们的网格质量是非常接近彼此。如果（），在各向同性区域，计算从米（）（）不能给我们一个独特的和顺利的领域的问题（十），因为两者在M的奇异值分解，特征值（x）是等价的。在这种情况下，我们应该使用q（），而不是问美国证券交易委员会。2.1。5.2啮合在三维表面与给定的指标图9显示了各向同性网格的人的头部表面通过背景密度场控制（x）= |公里| + 2 | Kmax |，Kmin和Kmax是主曲率。原始输入有53面，696个三角形，并重新划分10，000粒子运行在100次迭代（505.79秒）。为了测试三维表面的各向异性啮合，我们使用下面的度量张量：M = Vmin，Vmax，n 诊断（S12，S22，0） Vmin，Vmax，n ，（30）其中Vmin和Vmax的主曲率方向，正单位表面正常。S1和S2的两用户控制沿主方向的拉伸因子。在圆纹曲面实验（图1）和椭球面（无花果。2和10）的曲率为基础的度量张量计算田野。我们使用的度量公式（30）与S1 =KMIN和S2 =Kmax，Kmin和Kmax是主曲率。图1中的圆纹曲面表面具有各向异性的拉伸比S2S1 1,18 。图10显示了一个椭球的各向异性啮合随着大伸缩比S2表面S1 1100 。本俱乐部和手表面（图1）和汽车表面（图11）在用户指定的伸缩因子的重新划分。如建议阿里亚兹等人的。 2003 ，拉普拉斯平滑应用到的拉伸的因素和方向，以确保输入的平滑度度量域。桌棋类游戏1给出了三维表面网格统计与给定的指标。5.3啮合在适应6D表面曲率正如美国证券交易委员会所讨论的。4.4，我们可以很容易地扩展我们的粒子为基础的到6嵌入空间实现curvatureadapted各向异性网格优化，建议由Levy和朱古力尼尔 2012 。在这个实验中，我们实现了我们的各向同性的6D用OpenMP并行编程优化算法，自每个粒子的能量和力的计算是独立的和可以很容易地并行化。我们的算法是运行在一个四核（8个线程）CPU正如上面提到的，类似的环境设置和bonneel征收工作下。图12显示的机制表面各向异性网格50，000粒子。输入表面有714个，508个三角形，和计算时间38.97sec 100迭代。图13显示60的F1表面各向异性网格，000颗粒。原始输入面有1，005，993个三角形，并计算时间54.93sec 100迭代。角直方图如图所示为各向同性的三角形在6D空间质量。作为比较，征收bonneel的vorpaline算法-所以用OpenMP并行。同样的实验在他们的论文中在英特尔的测试机（R）（TM）i7-2720qm CPU核心2.20ghz，8线程与超线程激活。这两者表面上他们都跑5次迭代之后劳埃德30次迭代的LBFGS。该机制以28.92sec F1表面和表面以35.93sec在他们的平台。可以看出，对于每次迭代，我们的粒子为基础的计算更有效（38.97sec/100iter 28.92sec / 35iter），自它只是需要总结粒子间的能量和力量，而不是计算受限Voronoi图。然而，这cvtfigure 12：与50000输出顶点的各向异性网格机制表面产生的粒子为基础的优化在6D空间。基于能量优化可以收敛更快，更少的数量迭代。6比较在这一节中，我们展示了我们的对比分析和实验与其他的各向异性网格划分方法，包括装甲战车技术方法（秒。6.1），其他粒子为基础的方法（美国证券交易委员会。6.2）Delaunay细化的方法（秒。6.3）。要与其他的各向异性三角法进行比较，我们使用相同数量的输出顶点。6.1比较与装甲战车技术我们比较所产生的表面网格质量和计算速度的方法和两个装甲战车技术方法之间：杜三角形裁剪策略杜、王2005 和等等人王的方法。离散装甲战车技术方法等等人。2008 。所有这三种方法都是使用微软视觉+ + +2010。在下面的比较，我们只通过50次迭代，并重新取样8，000个顶点的圆纹曲面表面拉伸比S2S1 1，18 。图14和标签。2显示比较结果。一方面，我们方法提供了类似的网格质量与装甲战车技术方法。另一方面，我们的方法有更快的计算速度。从标签。2，我们可以看到我们的方法是125左右比杜王连续装甲战车技术方法更快的时间，和比等等人快5.5倍左右的离散装甲战车技术方法。输入圆纹曲面表面细剖，因此仍等人的。方法不需要计算进一步细分为预处理。我们要注意，由于它的离散性，等等的。装甲战车技术方法不高度各向异性拉伸工作如果输入的三角网格是不够好（见图15）。我们执行仍等人进一步比较的方法上。单位正方形的圆形各向异性张量场：m（x）= R（X）T诊断（拉伸（x）2，1）R（x），（31）与旋转磁场的研究（）和拉伸场拉伸（）图15（一）。方域离散化，920，50三角形，并用相同的20个，000个样本初始化。图15（乙）显示我们的融合各向异性啮合结果，图15（三）显示网格的计算仍等人的离散装甲战车技术。方法。当它们的方法收敛，我们可以看到，他们所产生的各向异性网格质量远不如我们的而使他们产生的网格min和接近于零。为了进一步测试他们的方法，我们增加的数量的域三角形的509，184，但其生成的网格的质量仍然是差强人意：4.1851eGmin = 005，gavg = 0.7245，min = 0.0017，AVG = 38.6006，30= 21.75%。使用509，把184个三角形区域，所需要的时间瓦莱特等人的方法。13，195.80秒，这是近10倍比我们的方法计算结果在图15（乙）。6.2与其它基于粒子的方法比较在本小节中，我们比较的收敛速度和生成的二维各向异性网格质量的方法和其他两个粒子为基础的方法之间：博森Heckbert的方法 1996 与岛田等人的方法 1997 。所有这三种方法是使用MATLAB R2010a版本实现。博森Heckbert的方法类似于