代几综合题之函数与四边形.doc

代几综合题之函数与四边形 朱贵华函数与四边形结合的主要题型有以下四种情况：1、 坐标系中求四边形的面积的题型2、 坐标系中给出相应点判断四边形形状题型3、 坐标系中在四边形存在性题型4、 坐标系中在特殊四边形的框架下的动点，平移，甚至翻折I、坐标系中求四边形的面积的题型 在坐标系中求一般四边形面积的办法主要有补形法和分割法，我们之前单独给一个四边形补形的时候经常是补成一个长方形，然后再去减掉周围的三角形或梯形面积，但是在这种综合题中，如果用这种办法，会使得图形更加复杂难做，因此我们更多的是利用图形中已有的大块图形面积去减掉多余部分的图形面积，最终得到答案，而分割法的使用最好是在有一条边在坐标轴或者平行坐标轴的情况下使用。对于平行四边形与矩形，在有一条边在坐标轴或者平行坐标轴的时候使用底高，没有的情况下可以先求他的一半（即一个三角形的面积）再2，对于菱形与正方形还可用对角线乘积除以2的办法解决，对于梯形的话基本上就是（上底+下底）高2的办法。例1(2013年石景山一模)如图，把两个全等的RtAOB和RtECD分别置于平面直角坐标系xOy中，使点E与点B重合，直角边OB、BC在y轴上已知点D (4，2)，过A、D两点的直线交y轴于点F若ECD沿DA方向以每秒个单位长度的速度匀速平移，设平移的时间为（秒），记ECD在平移过程中某时刻为， 与AB交于点M，与y轴交于点N， 与AB交于点Q，与y轴交于点P(注：平移过程中，点始终在线段DA上，且不与点A重合).（1）求直线AD的函数解析式；ODAyCxB(E)FJECDNMQP（2）试探究在ECD平移过程中，四边形MNPQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及的取值；若不存在，请说明理由；分析：四边形MNPQ不是一个特殊四边形，我们发现NQ在坐标轴上，我们可以考虑用分割法，但是再仔细想想，用分割法的话得求出M、N、Q、P四点坐标，显得有点麻烦，所以应该考虑大面积减小面积的办法，我们发现所求四边形既在OAB中，也在ECD中，如果找OAB差不多也得求那么多点的坐标，也挺麻烦，而在ECD，容易发现MPDEJD，相似比等于,而=1-t，而且梯形ECQN中，高CQ=CD-QD，NQ=QD，而QD=FD，FD=，所以QD=4-t，CQ=t，NQ=2-t。易求的SEJD=3，SMPD=3（1-t）2，S梯形ECQN=（4-t）t所以S=4-SMPD-S梯形ECQN-,剩下的问题就迎刃而解了。例2如图，已知抛物线yax 2bx3（a0）与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标E分析：这题乍一看，我们可能会直接过E点作x轴的垂涎，将四边形分成一个梯形和一个直角三角形去求，但是那样会产生问题，求面积的时候会出现xy的情况，继而转变成x的立方，这个我们是没有求过的，但是我们通过分析，连接BC后，四边形分成了BOC和EBC，而BOC的面积是固定的，所以EBC面积最大的时候，四边形EBOC的面积就是最大，而求EBC最大面积可以根据我们之前学三角形求面积的办法解决。例3如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD2，AB3（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由分析：这道题的四边形PNCD显然是个梯形，底CD不变，高BC也不变，变的只是PN的长度，而易知P的坐标为(t,t),N的坐标为(t,-t2+4t),而且在(0t3)的范围内N总是在P的上方，所以NP=-t2+3t，面积也就很容易求了。例4已知二次函数yax 2bxc（a0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，2），直线xm（m2）与x轴交于点D（1）求二次函数的解析式；（2）在直线xm（m2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；若不存在，请说明理由分析：像本题求平行四边形的面积就可以直接用底乘高的办法解决。例5如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；分析：本题求平行四边形OEAF的面积的办法就可以先求OEA的面积，再2练习1如图，已知抛物线ya(x1)2(a0)经过点A(2，0)，抛物线的顶点为D，过O作射线OMAD过顶点D平行于轴的直线交射线OM于点C，B在轴正半轴上，连结BC（1）求该抛物线的解析式；（2）若OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为t（s），连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长 练习2已知：t1，t2是方程t 22t240，的两个实数根，且t1t2，抛物线yx 2bxc的图象经过点A（t1，0），B（0，t2）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是抛物线上一动点，且位于第三象限，四边形OPAQ是以OA为对角线的平行四边形，求OPAQ的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； II、坐标系中给出相应点判断四边形形状题型在代几综合题中判断四边形形状，在初中来说，主要判断是不是平行四边形、矩形、菱形和正方形，判断梯形的情况非常的少。而我们知道平行四边形有5个判定，矩形和菱形各有3个判定，判断正方形的办法则是先判断矩形再判断为菱形或者先判断菱形再判断矩形；但是在坐标系中，比较少见的是给角，所以在判断平行四边形的几乎不用对角相等来证明，而矩形、菱形和正方形的判定几乎都是先判定为平行四边形后再加特殊条件得到，因此我们在做这种题的时候思维也该有个先后顺序。例6如图，在直角坐标系xOy中，点P为函数y=在第一象限内的图象上的任一点，点A的坐标为(0,1)，直线l过B(0,-1)且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C,Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：四边形APQR为平行四边形；平行四边形APQR为菱形；分析：判断四边形APQR为平行四边形，根据题意我们很容易知道ARPQ，如果能证到AR=PQ，则很容易证明出四边形APQR为平行四边形，根据第一问得到的结论AH=AQ，再联系AR与PQ，我们很容易就锁定AHR与QHP，显而易见，平行加对顶角这两个三角形的三组对应角都相等，又有AH=HQ，所以AHRQHP，所以AR=PQ，所以四边形APQR为平行四边形。由已经得到平行四边形APQR，因此我们只要再得到一组邻边相等或者对角线互相垂直就可以了，由于P不是固定点，只能假设P（m,）,那么PQ=+1，AP=+1，所以AP=PQ，所以平行四边形APQR是菱形。这一问，我们还可以通过证明PRAQ的办法证，其实从第一问的证明中，我们证到AOHQCH，所以OH=CH=，OR=PC=，RtAOH与RtHOR，有，所以RtAOHRtHOR，所以OHR=OAH，所以AHR=OAH+OHA=90，从而平行四边形APQR是菱形。例7如图，RtABC的顶点坐标分别为A（0，），B（，），C（1，0），ABC90，BC与y轴的交点为D，D点坐标为（0，），以点D为顶点、y轴为对称轴的抛物线过点B（1）求该抛物线的解析式；（2）将ABC沿AC折叠后得到点B的对应点B，求证：四边形AOCB是矩形.分析：由于已经知道了AOC=90，所以只需证明四边形AOCB为平行四边形即可，易算的AB=AB=1=OC,BC=BC=OA,所以四边形AOCB为平行四边形，所以四边形AOCB是矩形.例8如图1，平移抛物线F1：yx 2后得到抛物线F2已知抛物线F2经过抛物线F1的顶点M和点A（2，0），且对称轴与抛物线F1交于点B，设抛物线F2的顶点为N（1）探究四边形ABMN的形状及面积（直接写出结论）；（2）若将已知条件中的“抛物线F1：yx 2”改为“抛物线F1：yax 2”（如图2），“点A（2，0）”改为“点A（m，0）”，其它条件不变，探究四边形ABMN的形状及其面积，并说明理由；（3）若将已知条件中的“抛物线F1：yx 2”改为“抛物线F1：yax 2c”（如图3），“点A（2，0）”改为“点A（m，c）”其它条件不变，求直线AB与y轴的交点C的坐标（直接写出结论）分析：本题判断四边形ABMN为正方形的办法，先得到PA=PM,PB=PN，再有NB=MA,MABN所以四边形ABMN为正方形。练习3如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C，（1）求抛物线的表达式；（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE 判断四边形OAEB的形状，并说明理由；点F是OB的中点，点M是直线BD上的一个动点，且点M与点B不重合，当，请直接写出线段BM的长 III、坐标系中四边形存在性的题型这种题型的问题经常是在某函数图像上是否存在某一点P，使得含P点的一个四边形是平行四边形、矩形、菱形或者正方形，也有可能是特殊的梯形，这种题型的思路应该是先找出所有这样的P点，使他满足含P点的四边形是你所需要的四边形，然后再利用这些点在指定的函数图像上确定要找的P点。对于平行四边形一般利用对角线来解决问题，矩形、菱形和正方形的话一般是先找出满足是平行四边形的P点，再从这些点中找出满足更特殊平行四边形条件的点，比如矩形再加对角线相等，菱形加邻边相等等。例9如图1，已知抛物线yax 22ax3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D(2，3)，且tanBAD1（1）求抛物线的解析式；（2）连结CD，求证：ADCD；（3）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由分析：这道题要得到的是以A、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形（注意：这里不是说四边形ADFQ为平行四边形），解决办法是先找到所有这样的Q点，使得A、D、F、Q为顶点的四边形是平行四边形，然后再Q点在抛物线上的特点确定真正要找的Q点。找这样的Q点，先得把四个点坐标写出来：A（-1,0），D（2，-3），Q（x,y）,F(m,0),再利用平行四边形对角线互相平分的特点，及与,继而推到x1+x2=x3+x4与y1+y2=y3+y4，列出关系式，当然，这里需要分类讨论。（1） AD，QF为对角线，那么AD与QF的中点是同一点。-1+2=x+m x=1-m0+(-3)=y+0 y=-3再利用Q（x,-3）在抛物线上得到x=0或x=-2(舍)，所以Q(0,-3),那么F(1，0)（2） AQ，DF为对角线，那么AQ与DF的中点是同一点。-1+x=2+m x=m+30+y=-3+0 y=-3再利用Q（x,-3）在抛物线上得到x=0或x=-2(舍)，所以Q(0,-3),那么F(-3，0)（3） AF，DQ为对角线，那么AF与DQ的中点是同一点。-1+m=2+x x=m-30+0=-3+y y=3再利用Q（x,3）在抛物线上得到x=1，所以Q(1,3),那么F(4，0)例10如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C（3，0）.（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上，从原点O出发以每钞一个单位的速度向C移动，过点P作x轴，交直线AB于点M，抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t的值，平行四边形BCMN是否为菱形？说明理由.分析：本题第三问问t为何值是，四边形BCMN为平行四边形，再判断是否为菱形，根据题意，我们知道MN平行BC，只需MN=BC即可得到四边形BCMN为平行四边形，再根据此时的t求出MC，比较MC与BC是否相等及可判断出此时的t是否是四边形BCMN为菱形。例10.如图，已知抛物线与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）。(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线上一点，以B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标。分析：本题要找出M点，使得B、C、D、M为顶点的四边形是直角梯形，根据已知的B、C、D三点坐标我们发现CDBC了，所以角C肯定是一个直角顶点，再观察图像，只有D也为直角顶点，B、C、D、M为顶点的四边形才有可能是直角梯形，那么DMBC，根据平行k相等，再过D点，求出DM的直线解析式，最后再求DM直线与抛物线的交点求出M点坐标。例11.已知，在RtOAB中，OAB900，BOA300，AB2。若以O为坐标原点，OA所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内。将RtOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处。（1）求点C的坐标；（2）若抛物线（0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；（3）若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作轴的平行线，交抛物线于点M。问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由。DPM分析：完成第一第二问后，我们不难发现C点就是抛物线的顶点，所以CD总是平行PM的，所以要使CDPM为等腰梯形，CM=DP或者CDP=DCM，不难发现CDP=DCB=60，所以要求的M点就是BC与抛物线的交点，求出M后就很容易求P点了。练习4.如图9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，tanACO（1）求这个二次函数的表达式（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由 练习5.如图，已知抛物线yx 24x3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(1，0)（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由 练习6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线=+经过A（0，4）、B（，0）、 C（，0）三点，且-=5（1）求、的值；（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由 IV、坐标系中在特殊四边形的框架下的动点，平移，甚至翻折坐标系中动点问题，我们需要抓住的关键点有以下几点：A、起点坐标；B、终点坐标、C、起点与终点之间的距离；D、动点速度。如果是直线运动，起点是t=0的时刻动点的位置，终点是t取最大的时刻动点的位置，知道速度，我们很快能确定在t秒钟的时候距离起点时的长度以及距离终点的长度，继而可以确定这一时刻动点的坐标，利用这些含t的坐标与长度根据题意去解决相应的问题。平移问题更动点问题差不多，只是起始需要记住的平移图形的顶点坐标多一点，在平移过程中，先找出特殊点的坐标变化，那么其他顶点的变化跟那个特殊点的变化是一样的，比如特殊点横坐标加2t,纵坐标减t,那么其他顶点横坐标也加2t,纵坐标减t。翻折问题则需要记住的是翻折即对称，对称及全等，全等即对应边对应角相等，以及对应点连线与折线垂直这些特点，然后利用这些特点去解决问题。例12.（2013年门头沟二模）如图，在平面直角坐标系xOy中， 已知矩形ABCD的两个顶点B、C的坐标分别是B（1，0）、C（3，0）直线AC与y轴交于点G（0，6）动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动同时动点 Q从点C出发，沿线段CD向点D运动点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒过点P作PEAB交AC于点E（1）求直线AC的解析式；（2）当t为何值时，CQE的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使得以C、Q、E、H为顶点的四边形是菱形？ 分析：本题有两个动点，一个是P点，一个是Q点。分析P点：起点A（1，4），终点B(1，0)，AB=4,速度为1，所以AP=t分析Q点:起点C（3，0），终点D（3，4），CD=4，速度为1，所以CQ=t第二问求面积需要CQ的长度与E到DC的距离，而E到CD的距离等于BC-PE,根据相似可得PE=t，剩下的问题可迎刃而解。第三问要使得以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形，而且H点要在矩形ABCD内（包括边界），我们知道菱形被对角线分割成两个全等的等腰三角形，所以要使那四点构成的图形为菱形，先得让CEQ为等腰三角形，而一个三角形为等腰三角形有三种可能：（1） CQ=EQ，根据图形容易判断CQEH为菱形的话H点在矩形ABCD内。这种情况EQ=CQ=t,根据相似比容易求出EC=，而根据APE容易求出AE=，那么EC+AE=+=AC=，从而算出t=（2） EQ=EC,根据图形CQ为对角线，那么H点肯定不在矩形ABCD内，所以这种可能性可以排除（3）CE=CQ，那么EHCQ，而且EH=CQ，而CQ=AP=t，刚好落在AD上，所以也肯定在矩形ABCD内（包括边界）。CE=CQ=t,AE=,EC+AE=t+=,算出t=.例13.如图，已知直线yx1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E（1）请直接写出点C，D的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，直至顶点D落在x轴上时停止，求抛物线上C、E两点间的抛物线弧所扫过的面积分析：解决第三问的一个关键是要确定平移结束时刻，A点的位置不难发现OABADB,可算出BA=，从而AA=,从而得到0t3，算S的时候可分三段计算（1） A点在x轴上方，下方部分是个三角形，易得S=（0t1）（2） A点在x轴下方，C点在x轴上方，是个梯形，可用大三角形面积减小三角形面积的办法求的S=-=（1t2）（3） C在x轴下方，D在X轴上方，可用正方形面积减去上面部分面积的办法求出S=5-（2t3）解决第四问应该用面积转移思想解决，将BCE部分的面积转移到BCE部分，那么扫过的面积就等于长方形BCCB的面积，等于7.5。G例14.(2013年顺义二模)已知抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，连结AC,BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF若SOBC=8，AC=BC（1）求抛物线的解析式；（2）求证：BFAB；（3）求FBE的度数；（4）当D点沿x轴正方向移动到点B时，点E也随着运动，则点E所走过的路线长是 分析：在坐标系中分析未放平的正方形的时候，我们可以给他再框一个正方形，我们会发现四个全等H的直角三角形，这四个全等的三角形可以解决很多地方的一些问题，比如这道题。经过计算，我们可以得到A(-4，0)，B(4，0)，C(0，4)，再根据前面所说的GCFODC，发现GF=OC=4=OB,所以GFBO为矩形，