第十二讲 数学与艺术.doc

数学与艺术数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。艺术是一种文化现象，大多为满足主观与情感的需求，亦是日常生活进行娱乐的特殊方式。其根本在于不断创造新兴之美，借此宣泄内心的欲望与情绪，属浓缩化和夸张化的生活。文字、绘画、雕塑、建筑、音乐、舞蹈、戏剧、电影等任何可以表达美的行为或事物，皆属艺术。数学与艺术看似没有什么联系，其实任何事物都是辨证统一的，数学与艺术也蕴涵着内在的统一。因此，数学与艺术一样，都是人性建构自身的理性需要，抽象是高级思维的一个标志，理性思维、严密推理中同样会有灵感巧思的不期而至。数学既是一门科学，其本身也是一门艺术。艺术与数学是不可分割的，它们之间存在着千丝万缕的联系。数学和艺术确实有许多相通之处和共同之处。数学对人类文化艺术生活的影响，遍及文学、音乐、绘画、建筑和摄影诸多方面。数学本身，按照英国数学家罗素的看法，“不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕像”，并且这种美“能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的完美境界”。一、 数学与文学1、 数学诗欣赏诗歌是历史悠久的文学体裁，它借助丰富的想象和新奇的比喻，具有强烈的节奏感和音乐性的语言，精练而富于感染力的艺术。然而，早在古代，古人就已将诗歌和数学完美的结合在了一起。数学入诗，使人情趣盎然。我国堪称“诗的王国”，真的一点不假，打开历史长卷，我国的诗歌品类繁多，浩如烟海，同学们，让我们一起步入“数学诗的王国”一去二三里，烟村四五家，亭台六七座，八九十枝花。这是宋代邵雍描写一路景物的诗，共20个字，把10个数字全用上了。这首诗用数字反映远近、村落、亭台和花，通俗自然，脍炙人口。一片二片三四片，五片六片七八片。九片十片无数片，飞入梅中都不见。这是明代林和靖写的一首雪梅诗，全诗用表示雪花片数的数量词写成。读后就好像身临雪境，飞下的雪片由少到多，飞入梅林，就难分是雪花还是梅花。一窝二窝三四窝，五窝六窝七八窝，食尽皇家千钟粟，凤凰何少尔何多。这是宋代政治家、文学家、思想家王安石写的一道麻雀诗。他眼看北宋王朝很多官员，饱食终日，贪污腐败，反对变法，故把他们比作麻雀而讽刺之。这些带有数字的诗句都颇有韵味。以上诗句，不仅体现了我国诗人的智慧，同时体现了数学与诗歌的联系。数学本身具有一定的美丽，然而，当数学遇到诗歌，二者的完美结合，将带给我们更多的惊喜。2、数学与文学金庸的小说中也有许多数学问题。比如射雕英雄传中就有这样一道数学题目。瑛姑道：“将一到九这九个数字排成三列，不论纵横斜角，每三字相加都是十五，如何排法？”黄蓉的解答口诀是：“九宫之义，法以灵龟，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央。”4 9 23 5 78 1 6这个方阵就是现在的魔方阵。评论家认为，射雕英雄传、天龙八部、鹿鼎记是他的三部代表作。在射雕英雄传中，还写了不少不可思议的中国古代术数怪题。例如“五五图”、“百子图”以及“鬼谷算”、“立方招兵”等五花八门的难题。着实令数学爱好者们动心，恨不得立即拿来研究一番。令人惊讶的是，我国当代大数学家华罗庚先生也在敬佩者之列，他曾风趣的把武侠小说称为成人的童话。二、 数学与音乐数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学，符号体系的使用使数学具有高度的抽象性。而音乐则是研究现实世界音响形式及对其控制的艺术，它同样使用符号体系，是所有艺术中最抽象的艺术。从表面上看，音乐与数学是“绝缘”的，其实不然。若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。在中世纪时期，算术、几何、天文和音乐都包括在教育的课程中。在以教为中心的传统课堂教学中，因其模式的陈旧和手段的落后导致了课堂教学效益的低下。为了提高课堂教学的效益，许多教育家进行了不懈的探索和研究。下面是来自英国梅克斯伯勒的温德希尔小学进行的为期一年的“在音乐环境下学习数学”的实验：学校把六年级某班的学生分成A、B两组，一组的学生边学边听背景音乐-莫扎特的名曲，而B组则按常规的教学。学年末测试结果为：A组的教学成绩比B组高出近10%。得出的结论是：听音乐（尤其是莫扎特的音乐）能够激发学生的思维能力，提高解数学题的速度。音乐对促进数学的学习真有那么大的魅力吗？答案是肯定的。生理学研究表明，人的大脑分为左、右两个半球，分工各不同。左半球是控制人体右侧器官并主管语言与逻辑思维功能。右半球控制人体左侧器官并主管立体图像、音乐艺术和形象思维功能。当右半球受到刺激时，它能快速地把存储在脑内的信息直观化、逻辑化，并能激活新的灵感。可见，常常被人们忽视开发和利用的右脑（音乐脑）就是发明创造智慧的源泉。难怪伟大的音乐家贝多芬说：“音乐能使人的灵魂爆发出火花”。在科学史上，很多科学家的创造发明都得益于“魅力”。如：爱因斯坦的广义相对论原理就是在美妙的琴声中诞生的；18世纪的大数学家拉格朗日，在意大利都灵的圣保罗教堂聆听圣乐时，萌发了求积分极值的变分法念头；数学家华罗庚的一道道数学难题的解决，与他那把宝贝二胡分不开；“进化论”的创造者达尔文在描绘音乐时说“音乐常使我兴奋地思考我正在研究的问题”现在，国内外许多专家都一致认为：音乐是开启人类智能的一把重要钥匙。既然音乐对提高人的想象力和灵感思维有那么重要的作用，那么我们为什么不好好利用呢？基于上述启示，我们也可以这样尝试“把音乐搬进数学课堂”，比如学生在认真思考、积极探讨数学问题时，播放贝多芬或莫扎特的乐曲，当学生在探讨中出现困难时，就播放肖邦的一首波兰舞曲，当学生们探讨成功时，就播放一首奥林匹克圣歌，以共享成功的快乐。事实上，除了在环境的创设部分，音乐会产生影响，还有很多音乐和数学的联系，如数学在音乐中的应用，特别是在计算机和信息技术飞速发展的今天，音乐和数学的联系更加密切， 在音乐理论、音乐作曲、音乐合成、电子音乐制作等等方面，都需要数学。在音乐界，有一些数学素养很好的音乐家为音乐的发展做出了重要的贡献。在将来的音乐事业中，数学将起着个更加重要的作用。罗素(B. Russell, 1872-1970) 说: “数学,如果正确地看它, 不但拥有真理, 而且也有至高的美, 正像雕刻的美, 是一种冷而严肃的美”特别是音乐中的五线谱, 绘画中的线条结构等, 都是用抽象的符号语言来表达内容。数学家西尔威斯特(J. Sylvester, 1814-1897) 宣称: “数学是理性的音乐,音乐是感性的数学,两者的灵魂是完全一致的! . 当人类智慧升华到完美境界时, 音乐和数学就互相渗透而融为一体了”。 著名哲学家、数学家莱布尼茨也曾指出: “音乐 这是心灵的欢乐, 而心灵不知不觉地进行着计算。” 事实上, 自古以来, 音乐和数学就有关联。中国古代的“三分损益法” 与“十二平均律” 就是采用数学运算研究乐律的方法。古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras, 公元前572-前500) 学派发现产生各种谐音的弦的长度都是成整数比的, 乐声的协调与所认识的整数之间有着密切的关系, 拨动一根弦发出的声音依赖于弦的长度。事实上, 被拨动弦的每一种和谐的结合,都能表示为整数比。由增大成整数比的弦的长度, 能够产生全部的音阶。例如, 当两根绷得一样紧的弦的长度的比是2 : 1 时, 就会发出相差八度的谐音; 而如果两条弦的长度的比是3 : 2时, 就会发出另一种谐音; 短弦发出的音比长弦发出的音高五度; 等等。事实上, 从一根产生音C 的弦开始, 就可接着C 的长度的16/15给出B, C 的长度的6/5 给出A, C 的4/3 给出G, C 的3/2给出F, C 的8/5给出E, C 的16/9给出D, C 的2/1给出低音C。后来人们把音乐和算术、几何和天文学同列为教育的课程。就连今天的电子计算机也始终跟音乐联系在一起。这里进一步指出的是, 当毕达哥拉斯作出他的第一个伟大发现 当他发现音调的高低依赖于震动弦的长度时, 对哲学和数学思想的未来方向具有决定意义的并不是这种事实本身, 而是对这种事实的解释。毕达哥拉斯不可能把这种发现看成是一种孤立的现象。最深奥的神秘之一 美的神秘, 似乎在这里被揭示出来了。如果我们在音调的和阶中发现的美被还原为一种简单的数的比例的话, 那么正是数向我们揭示宇宙秩序的基本结构。乐谱的书写是数学在音乐上显示其影响的最为明显的地方。在乐曲的稿中, 我们可以找到拍号(44, 34 或14 等)、每个小节的拍子、全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等, 音乐方程就是一个最好的诠译。谱写乐曲要使它适合于每音节的拍子数, 这相似于找公分母的过程 在一个固定的拍子里, 不同长度的音符必须使它凑成一个特定的节拍。然而作曲家创造乐曲时却能极其美妙而又毫不费力地把它们与乐谱的严格构造有机地融合在一起。对一部完整的作品进行分析, 我们会看到每一个音节都有规定的拍数, 而且运用了各种合适长度的音符。除了上述数学与乐谱的明显联系外, 音乐还与比例、指数、曲线、周期函数以及电脑科学等相关联。最后想说的是：音乐中的许多现象乃至伟大的作品，都与婓波那契数列1,1,2,3,5,8,13,21,34相关（其中从第三个数起，每相邻两数之比等于黄金分割率0.618的近似值），南京艺术学院的茅原教授发现，在不朽的二泉映月中，大大小小的高点都基本出现在婓波那契数列上，武汉音乐学院的童忠良教授等人的研究表明，聂耳的一系列作品均受黄金率的支配，尤其是义勇军进行曲各句都严格依黄金分割来划分三、 数学与美术美事人类的共同语言，在生活中人们对美的追求从古至今都没有改变过，人们对物质世界的认识和对生活的感悟通过美术表现出来。我们知道美术作品大体上分为绘画、雕塑、工艺美术、建筑艺术等几大门类,但无论哪种美术作品，材质和色彩可以千变万化，却总离不开形状和尺寸的约束。形数的和谐会给美术作品带来生命和美感，而形和数正是数学研究的对象，因此可以说美术与数学关系十分密切。从古至今，从中国到世界，无数聪明睿智的艺术家把算术代数、几何、对称性质等等数学理论都运用到自己的创作中，取得很不错的艺术效果，为世人留下无数让人赞叹的惊世之作。先让我们来看两幅画：一幅是中世纪的油画（图1），明显没有远近空间的感觉，显得笔法幼稚，有点象幼儿园孩子的作品；另一幅是文艺复兴时代的油画（图2），同样有船、人，但远近分明，立体感很强。 （图1） （图2）为什么会有这样鲜明的对比和本质的变化呢？这中间究竟发生了什么？很简单，数学！这中间数学进入了绘画艺术。我们知道，中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，而到文艺复兴时期，描绘现实世界成为画家们的重要目标。如何在平面画布上真实地表现三维世界的事物，是这个时代艺术家们的基本课题。粗略地讲，远小近大会给人以立体感，但远小到什么程度，近大又是什么标准？这里有严格的数学道理。 1、黄金分割与美术最早黄金分割比是由古希腊人发现的，然后被人们反复验证运用，直到19世纪被全欧洲认为是最完美、最协调的比例。黄金分割比广泛用于造型艺术中，具有美学价值，尤其在工艺美术和工业设计的长和宽的比例设计中容易引起美感，故称为黄金分割。古希腊人在雕塑的创作中是非常注重符合美的规律，在创造美的东西时他们将自己的聪明才智发挥到完美极致。众所周知的维纳斯雕像令无数人惊叹、赞不绝口。这座雕像虽缺失双臂，但仍美丽动人，让人无限遐想。因为维纳斯雕像上身和下身的比例也非常接近黄金分割，0.382：0.618。达芬奇的名画蒙娜丽萨之所以有名，也得益于黄金分割，无论是画面整体还是局部 图3 除了造型外，绘画中的混色原理也是通过比例而获得美的一种绝妙原理。两种原色调合后会产生出间色，如红与黄调和出橙色, 而这橙则根据红、黄二色所占的不同比例, 可呈现出不同的色相来。为调配出一种间色所使用的两种原色当然不是等量的, 而人们习惯采用的调配当量往往是: 黄3+红5=青8，即:黄3+ 红5= 橙8，或者黄3+ 青8= 绿11，青5+ 红8= 紫13，这都是完全符合黄金分割定理的。因此它所调出来的颜色就比较合适、自然, 看起来给人一种很舒服的美感，达到一种完美的艺术效果。 2、数学与透视画法一切物象占有一定的空间，物与物之间也存在一定的空间距离，如画者与写生物的空间距离，被画物体之间的空间距离，被画物本身前后的空间距离，被画主体与背景的空间距离在素描中，利用物体的透视变化产生距离感，表现空间的技法，其中最基本的方法是透视原理的运用。我们不妨再欣赏两幅名画：达芬奇的最后的晚餐（图4、图5）。这幅画用平面传递空间的概念，给人以鲜明的立体感。在达芬奇的草稿中可以看到画布上放射的虚线及没影点（正好在耶稣头部中央）。 图4 达芬奇的最后的晚餐草稿 图5 达芬奇的最后的晚餐 再看另外一幅，拉斐尔的雅典学派(图6)。，是拉斐尔根据自己的想象艺术再现了古希腊时期数学与学术的繁荣，可以看出这幅画也是透视原理与透视美的典范之作。由这些画可以看出从中世纪到文艺复兴中间绘画艺术的变革，可以说是自觉地应用数学的过程。 图6 3、美术中的对称 对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它的根本，美和对称紧密相连。大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等。中国古代敦煌壁画（图7）到荷兰现代画家埃歇尔的作品（图8），都是完美的对称的杰作 图7 图8四、 数学与建筑美 1、建筑学中的黄金分割美建筑师们对数学中的0618特别偏爱，无论是古埃及的金字塔，古希腊的巴台农神庙，以及我国的东方明珠塔都是与0618有关的建筑。文明古国埃及的金字塔，形似方椎，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高的比都接近于0.618。 古希腊的巴台农神庙体现了黄金矩形的美 东方明珠塔，塔高462.85米，设计师在295米处设计了一个上球体，使平直单调的塔身变得丰富多彩，非常协调、美观。 2、建筑学中的对称美 中国的天坛和印度的泰姬陵都是完美的对称杰作。 3、国家体育场（“鸟巢”） 国家体育馆，外形结构共有24根桁架柱架。 建筑顶面呈鞍形，长轴332.3米，短轴296.4米，最高点高度68.5米，最低点高度为42.8米，外壳采用可作填充物的气垫膜，使屋顶达到防水的要求。奥运会期间的20000个临时座位，分布在体育场的最上端，且保证每个人都可以看清楚整个赛场。观众席上无论那个位置，与赛场中心的视线距离都在140米左右。采用各种呼声材料和扩音系统使语音清晰度能够恒定保持在0.6。 美学家笛卡尔很重视“数学关系”在美学中的体现，并把它上升到一定的哲学高度。他认为艺术中美的“数学关系”来自直观的感受，是理性知识，是最简单的，最精确而又不证自明的真理（笛卡尔哲学原理）。这种见解是深刻而长远的，是美普遍存在所必须遵循的规律，是美的基础中的基础。有类似观点的还有德国美学家温克曼，他认为“美是由和谐、单纯与统一这些特征形成的”，这种观点也包含了“数学关系”的理念在里面。在艺术的创造过程中，不管是有意识，还是无意识，数学关系都是客观存在的。它是构成型的基础，也是其他一切的基础。型是构成空间的基础，方的也好，圆的也好，是平面的或是立体的，都是按一定比例去安排的。在古代中国画中，虽然有些形体比例不太准确美