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正方体 基本 截面 图形

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由基本不等式推出的极值定理 但是对于许 多函数极值问题都不好用上面那些初等方法 来解决 有了导数以后 求函数极值 最大值 最小值问题才算得以彻底解决 例例 7 求函数 44 lnf xxx 在 1 e e 上的最大值与最小值 解解 函数 44 lnf xxx 在 1 e e 上可 导 3 4 4fxx x 2 4 1 1 1 0 xxx x 得1x 1x 舍去 将x y及在相应区间上 y的符号关系 列表如下 x 1 e 1 1 1 e y 0 y 极小值1 而 4 4fee 4 1 4fe e 通过比较可见函数 44 lnf xxx 有最 大值 4 4e 最小值1 例例 8 求内接于椭圆 22 22 1 xy ab 而面积最 大矩形的各边长 解解 设内接矩形一边长为2x 则另一边长 为 22 2 2 b yax a 内接矩形面积设为S 则 22 4b Sxax a 0 xa 由 22 22 4 2 2 0 2 b ax Sxa a ax 为函 数在 0 a内唯一驻点 此时 2 2 yb 即当内接矩形边长分别为2a和2b时 面积最大 正方体的基本截面图形正方体的基本截面图形 福建龙岩一中 胡寅年 下列五个正方体图形中 l是正方体的一 条对角线 点M N P分别为其所在棱的 中点 能得出l 面MNP的图形的序号是 此乃2003年全国高等理科16题 文 1 对它的背景 解法作了粗浅的探讨 作为对问 题的进一步思考 我们曾以信息技术为工具 对正方体的基本截面图形做了较深入的剖析 以丰富对正方体的内在结构的认知 设 1220 A AAL分别表示正方体的顶点或 棱的中点 则由这20个点可以确定截面16类 共299个 它们构成了正方体截面的基本图形 23 例例 1 2003年高考理科16题 本题以正方体基本截面图形 图1 图7 为载体创设了一个陌生的情境 考查正方体 成面垂直关系的灵活运用 根据图1 图4 图6明显地 图形 满足l 平面MNP 例例 2 2003年全国高考理科18题 如图 在 直棱柱 111 ABCABC 中 底面是等腰直角三角 形 90ACB 侧棱 1 2AA D E分别是 1 CC与 1 AB的中点 点E在平面ABD上的射影 是 ABD的重心G 1 求 1 AB与平面ABD所 成角的大小 2 求点 1 A到平面AED的距离 本题以正方体基本截面图形 图8 图14 为 背景 创设新情境 考查了正方体线面垂 直关系的综合运用 详细分析见文 1 例例 3 2004年福建省质量检查理科19题 如图 在四棱锥 PABCD 中 PD 底面ABCD 底面 ABCD为正方形 PD DC E F分别是 AB PB的中点 1 求证 EFCD 2 在 平面PAD内求一点G 使GF 平面PCB 证 明你的结论 3 求DB与平面DEF所成角的 大小 本题考查空间线面位置关系 考查空间 想象能力和逻辑推理能力 本题若将四棱锥 PABCD 补成正方体 思路较清晰 如 图 设 四 棱 锥PABCD 是 正 方 体 ABCDQRSP 中的图形 则F为正方体的中 心 由正方体基本截面图形7 图形12易知EF CD 棱AD的中点G满足GF 平面PCB 3 分别以DA DC DP所在直线为x 轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 设 2AD H为平面PQAD的中心 由基本截面 图形14得CH 平面DEF 由 1 0 1 H 2 B 2 0 0 0 0 D 0 2 0 C得 1 2 1 CH uuuv 2 2 0 BD uuu v cosBD uuu v uuuv uuuv uuu vuuuv 24 DB与平面DEF 所成的角为 arcsin 3 6 从上述的讨论可以看出 利用正方体丰 富的平行垂直关系 可以编拟一些立意新颖 情境陌生 设问角度灵活的立体几何问题 而 对正方体基本截面图形的整体思考与深入讨 论 则为正方体问题的解决提供了一个良好 的途径 参考文献 1 胡寅年 以正方体为载体 考查创新能力 福建中学 数学 2003 10 尺子上的刻度问题 福州时代中学 赵叶烨 我们通常使用的刻度尺上每单位长度都 标有刻度 它的主要作用就是用来度量物体 的长度 其实 要达到这个目的 尺子上只需要 有一些简单的刻度就可以了 例如 6 公分的长 度可以在标有 1 公分的刻度处反复度量 6 次 当然 也可以在标有 2 或 3 公分的刻度处反复 度量 3 次或 2 次 现在考虑这样一个有趣的问 题 就是若不允许反复度量或累加的话 刻度 尺上需要哪些刻度 问题1请在一条长为13厘米的无刻度的 尺子上添加 4 个刻度 使之可以度量 1 13 之 间任何整厘米长度的尺寸 注 度量指一次性 量出 如 5 可以由刻度5 直接量出或由6 和 11 间接量出 而不能由刻度2和3量出 另外 0和 13 为原有的 不必添加 例如 0 1 2 6 10 13 就是符合要求的一种刻法 请你再找出一种 不同的刻法 中学生数理化 2004 年第 5 期 初中数学开放题知识竞赛 经过推导 可以得出答案 1 2 3 6 原有刻 度 0 13 略 下同 或 2 4 7 12 如图 1 所示 等 多个不同的解法 采用刻度 0 2 4 7 12 13 的具体测量方 法如下 长 度 1 2 3 4 测量区间 12 13 0 2 4 7 0 4 长 度 5 6 7 8 9 测量区间 2 7 7 13 0 7 4 12 4 13 长 度 10 11 12 13 测量区间 2 12 2 13 0 12 0 13 我试着把问题 1 中的条件 13 厘米 改 为 10 厘米 度量尺寸相应改为 1 10 可以有解答 1 2 3 6 或 2 4 5 9 等 但是 若把条 件 13 厘米 改为 15 厘米 度量尺寸相 应改为 1 15 却无法求出此问题的解答 由此 我导出如下问题 问题2 长为 15 厘米的无刻度的尺子上 至少需要添加几个刻度 使之可以度量 1 15 之间任何整厘米长度的尺寸 度量方式同上 下同 通过尝试 可得出添加 5 个刻度 如 5 11 12 13 14 即可 但是 如何证明 5 个刻度是所需 的最少数量呢 只能采用枚举法 这无疑是一 个烦琐的推导过程 人工证明极其困难 而计 算机在枚举法上有着绝对的优势 我利用自 己掌握的 PASCAL 语言 编写程序通过回溯 算法解决了这个问题 并且在编写程序的过 程中 将问题 2 推广为更为一般性的问题 3 也 一并通过程序得到解决 见附件程序 A 问题3 设 m n 为正整数 在长为 n 任意 一个确定的值 厘米的无刻度的尺子上添加m 个刻度 使之可以度量1n 之间任何整厘米 长度的尺寸 求 m 的值至少是多少 在程序 A的运行下 易得当13n 时 m 4 16n 时 5 20mn 时 6m 在探讨问题的过程中 我进一步思考 由 问题 1 还可以引申出如下问题 问题4 设 n为正整数 在长为n 厘米的无 刻度的尺子上添加 4 个刻度 使之可以度量 1 n之间任何整厘米长度的尺寸 求n的值至 多是多少 求出 n 的值至多是 13 我又将问题 4推广 为更为一般性的问题 图 1 25

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