（基础数学专业论文）拟正则半群的同余和性质.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导炳指导下进行的研究工作及取得的研究成 果 据我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果 也不包含为获得 注 如没有其他需要特别声 明的 本栏可空 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料 与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 夏保芹 导师签字 学位论文版权使用授权书 维z 芳 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留 使用学位论文的规定 有权保射并向 团家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 允许论文被侄阅和借阅 本人授权 堂 圭t 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印 缩印 或扫描等复制手段保存 汇编学位论文 保密的学位论文在解密后适用本授权书 学位论文作者签名 百保芹 签字r 期 2 0 0 1 年年月肜日 字 琴分磅 签字同期 2 0 07 年千月 羽 i 山东师范大学硕士学位论文 拟正则半群的同余和性质 夏保芹 山东师范大学数学科学学院 济南 山东 2 5 0 0 1 4 摘要 本文主要讨论了矾 一半群的某些性质和同余 把完全正则半群的某些结果推 广到了g v 半群上 全文共分两章 具体内容如下 第一章主要讨论了g v 半群的某些性质 首先给出了g v 半群中当广义格林 关系竹 为同余时的等价条件 1 s 是 一密码的 2 s 是 一群的带 3 s 满足等式r n 6 o r r n o r 6 o o 然后给出了当g v 半群s u 的幂等元集合 s 是子半群时的某些性 质 即g v 纯正半群的性质 1 任意n 7 s 是矩形群的n l 扩张 2 幂等元集e s 足自共轭的 3 任意c s j 1 7 e e s 4 s 满足等式r n o r 6 o r r 口 o r 6 o o 5 任意n 6 s v r 6 y r 8 y r n r 6 接着讨论了g v 半群上当同余p 是幂等纯同余时 p 的纯正性 b 酉性与 s 的纯正性 b 酉性的关系 最后一节讨论了完全阿基米德半群的某些性质 第二章主要讨论了g v 半群的某些同余 首先研究了 一正则半群上的群同 余 它是正则半群的核和基的思想的推广 定义了 一正则半群的同余子半群 一一 正则半群s 的子半群耳是同余子半群 若 满足是满的 自共轭的 酉的 利用 同余子半群k 构造了s 上的群同余m 山东师范大学硕士学位论文 n 6 m 褂存在 兄叼s 使n z k 耳 本章第二节首先描述了矩形群的n i l 扩张s 的最小群同余p 口 6 p 争存在e e s 使e 口e e 6 e 然后利用每一个矩形群的n n 扩张的最小群同余构造了特殊的g v 半群一矩形 群的n i l 扩张的半格的最小c l i 肋r d 半群同余 设s u 儿是晶上如上定义 a y 的最小群同余 则可定义s 上的最小d 半群同余p 余 n 6 p 筒存在o y 使n 6 岛 且 o 6 舶 从而也得到了左群的n i l 扩张的半格 右群的n i l 扩张的半格的最小d 半群同 最后一节利用第一节构造的每一个 上的群同余p 0 构造了g v 半群s us o 上的c i i 肪r d 半群同余 主要结果是 o s us n 是g v 半群 几是如第一节中定义的咒上的群同余 由u 儿生 成的同余记作 则a 足s 上的c l i 晒r c l 半群同余 反之 若p 为g v 半群s u 只 o 上的c l i 肋r d 半群同余 令m pk 则几为矗上的群同余 且 p 特 n 别地 p p 保持了 关系 o 关键词 g v 半群 矩形群的n i l 扩张的半格 同余 分类号 0 1 5 2 7 2 山东师范大学硕士学位论文 c o n g r u e n c e sa n dc h a r a c t e r so n 7 r r e g u l a rs e m i g r o u p s x i a b q i n t h ei n s t i t u t eo fs c i e n o fm a t h e m a t i c s s h 孤d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n s h a n d o n g 2 5 0 0 1 4 p r c h i n a a b s t r a c t i n t h i sd i s s e r t a t i o n w em a i n l yd e s c r i b es o m ec o n g r u e n c e sa n dc h a r a c t e r so n g l s e m i g o u p s i nf a c t w ee x t e n ds o m er e s u l t so fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u pt o g s e m i g r o u p s t h e r ea r et w oc h a p t e r si nt h i sp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r v ei n v e s t i g a t es 0 1 n ec h a r a c t e r so ng 1 l s e m i g r o u p s f i r s t l y w e g i v et h ee q u i v a l c n t o n 1 i t i o no n7 r c r y p t o g r o u l a sf o l l o w s 1 si s7 r c d 1 t i c 2 si sab a n do f 丌一g r o u p s 3 ss a t i s 6 e st l i 1 e 1 1 t i t yr 0 6 o r n o r 6 o o s e c o n d l v w eg 呈 r e s n l c h a r a t c r so ng r s e m i g r o u l ss u 只w h e nt h e n 7 s e to fi d e l l l l o t e n t se s i ss l l h p i l l i g l o l l l t 1 1 a ta r et l l c 山a r a c t e r so fg v o l t h o 1 0 x s e m l g r o u i s 1 f o ra l l ya 7 5 f n i sal l i i c x t c i l s i o l lo fr e c t a i l g u i a rg r o u p 2 t h es e to fi d e l l l l o t e l l t se s i ss e l f c o n j u g a t e 3 f o ra i l ye e s y e e 5 4 ss a t i s 丘e st h ei d e n t i t yr o r 6 o 7 n o r 6 o o 5 f o ra n y 口 6 只y r 6 y r n y r 口 r 6 l a s t l y w ed i s c u s st h eo r t h o d o x ya n db u n i t yb e t w e e n 彤pa n dsw h e npi sa n i d e m p o t e n tp u r ec o n g r u e n c e t h e l a s ts e c t i o nd i s c u s ss o m ec h a r a c t e r so nc o m p l e t e l y a r c h i m e d e a ns e m i g r o u p s i nt h es e c o n dc h a p t e r r ed e a lw i t hs o m ec o n g r u e n c e so ng v s e m i g r o u p s i n 3 山东师范大学硕士学位论文 t h ef i r s ts e c t i o nw ed i s c u s st h eg r o u pc o n g r u e n c eo n7 r r e g u l a rs e m i g r o u p s i ti st h e e x t e n s i o no fk e r n e la n dt r a c eo nr e g u i a rs e m 培r o u p s f i r s tw eg i v et h ed e 右n i t i o n o fc o n g r u e n c es u b s e m i g r o u po n r r e g u l 8 rs e m j g m u p i fkj sf u l l s e l f c o n j u g a t ea n d u i l i t a r y g i v e ns u c l lac o n g r u e n c es u b s e m i g r o u p w ec h a r a c t e r i z eg r o u pc o n g r u e n c em o ns n 6 p 磨 争丁 e r ee z s z r e 9 s 札 托危n z 6 z t h es e c o n ds e c t i o ng i v et h el e a s tg r o u pc o n g r u e n c ej do nn i l 一e x t e n s i o no fr e c t a n g u l a rg r o u p s 6 p 争丁 e r ee z s e e s 训i e n e e 妇 t h e i lw ec h a r a c t e i i z et h el e a s fc l i h o r d s e i n i g r o u pc o n g r u e i l c eo ns e l n i l a t t i c e o fn 订一e x t e n s i o no fr e c t a n g u l a rg r o u p ssb 1 e a s tg r o u p c o n g r u e n c eo nn i l e x t e l l s i o n s o f r e c t a n g u l a rg r o u p s t h a ti s i fs us n ni st h e1 e a s tg r o u pc o n g r u e l l c eo n n y t h e nt h er e l a t i o n pd c 6 n i n ga sf o u o w si st h el c a s tc i i h 0 r d s e i n i g r o u l c o n g r u c n c e0 1 1 s n 6 户 丁 f ee z 始 n y j f n 6 s n q l d d 6 v a l s og e tt h cl c a s tc 1 j 肋i y l s c n i i g i o u pc o i l g i l l e n c eo i ls c i l l j l a t c i c e so fi l i l e x t e i l s i o n so fl e f tg r o u l sa l l 1s e i i l i l a t t i c e so fn i l e x t e n s i o l l s6 fr i g h tg r o u p s t h e1 a s ts e c t i o l lc h a r a c t e r i z ec l i f f o r d s e m i g r o u pc 0 1 1 9 r u e n c eo i lg v s e m i g r o u l s u b yg i v i n gt h eg r o u pc o n g r u e n c eo ns 0 t h em a i l lr e s u l ti s q r s u 咒i sag v s e m i g r o u p p oi sg r o u pc o n g r u e n c eo ns 0a st h ed e 6 n i t i o n d f h ef j r s ts e c t i o n t h e n 盯 j st h ec 瑚b r d 哪m i g r o u pc o n g r u e n c e i fp i sc l i 舫r d s e m i g r o u pc o n g r u e n c eo ng v s e m i g r o u ps u l e t 风 pj t h e n p d i sg r o u pc o n g r u e n c e0 ns o 锄d 冬p p a r t i c u l a r l y p i f a n do n i y i f 加辛口歹饱 k e y w o r d s g v 一6 e m i g r o u p s n i l 一e x t e n s i o n so fr e c t a n g u l a rg r o u p c o n g r u e n c e c l a s s i f i c a t i o n 0 1 5 2 7 4 山东师范大学硕士学位论文 第一章g v 半群的一些性质 1 1引言 这部分主要描述本文用到的主要概念和结果 设s 为半群 o s 若存在z s 使n n m 则称n 是正则的 若存在m z 使n m 是正则的 则称n 是 一正则的 记r n n m 其中m 是使o m 是正则元的最 小正整数 称为n 的正则指数 若s 的每一个元素都是 一正则的 则s 叫做 一 正则半群 用r e 筘表示 一正则半群s 的正则元集合 用e s 表示s 的幂等元集 合 对s 中的元素n 若存在z s 使n n 矾n z n 则称n 是s 的一个完全正则 元 若有n n m z z 峨则称n 是可逆元 z 称为其逆元 n 的逆元通常记作n 用y n 表示正则元素n 的所有逆元 设s 是一个 一正则半群 并且s 的每一个 正则元都是完全正则的 则称s 为g v 半群 因此 g v 半群的任意正则元必包 含于一子群中 用n 0 表示n 所在子群中的单位元 o 表示n 所在子群中的唯一 逆元 从而n o n n 一 n n 称半群s 为其子半群s 的n i i 扩张 若对任意n s 存在m z 使n m s 且s 是s 的一个理想 一个半群为z 一群是指它足群的n i l 一 扩张 半群s 足矩形群 足指纯正的完全单半群 设4 代表一半群类 p 为半群s 上的同余 若s 加 且 则p 叫做s 上的一4 一同余 令s 为 一正则半群 在s 上定 义等价关系c 冗 爿 j 如下 n c 6 s r n s r b d 冗 6 净r n s r b s w c n 冗 瓯7 6 车 争s r 8 s 舟 6 曼 未说明的术语和记号见参考文献 l l 2 1 1 3 引理1 1 1 1 3 js 是 正则半群 则以下条件等价 1 s 是g v 半群 2 s 是 一正则的 且每个咒 一类含有一幂等元 3 s 是 一正则的 且每个 一类是 一群 4 s 是完全单半群的n i l 扩张的半格 5 山东师范大学硕士学位论文 引理1 1 2 1 2 ls 是完全正则半群 则以下条件等价t i s 是矩形群 n s 是正则的 且e s 为矩形带 i i i s 满足等式n o 扩z o n o i v s 是纯正的完全单半群 类似的也有 引理1 1 3s 是丌 正则半群 则以下几条等价 1 s 是矩形群的n i l 扩张 2 s 是 一正则的 e s 为矩形带 3 s 满足等式r d o r n o r 神o r n o 4 s 是纯正的完全单半群的n i l 扩张 证明略 引理1 1 4s 是矩形群的n i l 扩张 则任意口 6 r 印s 任意e e s 有曲 n e 6 证明由于d 6 r e 庐 故有n 曲 n n o e 6 0 6 d n o 护6 n 6 引理1 1 5s 是g v 半群 s 设r n n m 则s 具有以下性质 1 n m n m 一 d m 一1 e s 喜e 中膏 f m 2 n m 一1 a 口 m 一1 证明 1 首先易证 n n 矿 n 一1 n e s 且扣m n m 一k n m 一 m 由于 n m 口m 一1 o n m 一1 n 忙m 一1 a 仇 o n m 一1 8 n m 一1 口m 一1 0 m n m n 口m 一1 一 口m 一1 2 口m n 仇n n m 一1 一 口 一1 2 n 口 口 一1 8 m 一1 2 d 口m n m 一1 n m n f a m 一1 2 d m n m o m 1 口m 6 山东师范大学硕士学位论文 k 口m 一1 一 口仇 口m 一1 8 口m 一1 口l o m n m 口m 一1 口m 一1 矿 口 一1 n f d d 一1 2 n n m n m 一1 口m n l n m 一1 2 n m n m 一1 2 口 矿 一1 2 8 4 所以n m o m 一 扩 o m 1 一 由于n n 一 n 1 一在同一个 中 等元是本原的 故 o m 扩 一 n 1 n 1 2 利用性质 1 得 n n m 一1 n n 埘 一1 8 m n 珥 一 n n m 一1 n m 一1 n m n n 卅 一1 2 d 1 n m 一1 m n n m 1 2 n m 一1 n n m 一1 n m 一 o n n 2 一1 d 扣 1 n 由性质 1 得 n n 魄 一1 巩一1 o m 一1 n n 一1 n n 1 a 由性质 1 得 n m 一1 n 而咒中的幂 7 山东师范大学硕士学位论文 1 2g v 半群的某些性质 定义1 2 1s 是丌 正则半群 若钎 是同余 则s 称为 一密码半群 引理1 2 2s 是g v 半群 则以下条件等价 1 s 是7 r 一密码的 2 s 是 一群的带 3 s 满足等式r 曲 o r r n o r 6 o o 证明 1 辛 2 由引理1 1 1 知g u 半群中每个h 一类是 一群 而w 是带同 余 所以s 俄 是带 令 妒 s 一纠 口一爿 则p 是同态 令y 纠爿 任意n l 令毋 n f 则每个足是一个爿 类 即 每个矗是 一群 任意z 昂 则z 妒 n p 口 所以 z 妒 z f n d 则 有z y j 即得矗岛 文j 所以s u 晶足z 一群的带 o 2 j f 3 令p 足带同余 且每个p 一类足 一群 任意n 6 s 设n 6 即r n o r 6 o 则r n o p r 6 o 由每个p 类足 一群得r n 6 再由p 为带同余得 以所以 h p 任意a 6 s 设n p 6 则由每个p 一类足z 一群得 n o r 6 o 所以n h 6 所以 p h 所以 n 即符 屉带同余 显然有n 爿 n o 沈 r 妒 所以n 跚 r n o r 6 o 从 而得r d 6 o r r o o r 6 o o 3 辛 1 只需证咒 是同余即可 设n 爿 b 则r n o r b o 任意c s 由条件 3 得 r c o r r n o r c o o r r 6 o r c o o r 6 c o 所以n c 爿 6 c 同理可得m 咒 c 6 所以h 是同余 即证得s 是 一密码的 g v 纯正半群是稽g v 半群满足幂等元集是子半群 以下定理叙述了g v 纯正 半群的一些性质 定义1 2 3 g v 半群s 的子集k 是自共轭的 是指任意z s 有 七z m r z 一1 配z r z 一1 拄m 其中r z z n f r n n 定理1 2 4g v 半群s 1 矗 是g v 纯正半群 则s 具有以下性质 8 山东师范大学硕士学位论文 1 任意口 1 是矩形群的n i l 扩张 2 幂等元集e s 是自共轭的 3 任意e e s y e e s 4 s 满足等式r n o r b o r r o o r 6 o o 5 任意d 6 s y r 6 y r n y r o r b 证明 1 s 是纯正的 则任意n y s o 是纯正的 而 是完全单半群的n i l 扩 张 纯正的完全单半群是矩形群 所以 是矩形群的n i l 扩张 2 任意e e s 任意z 只要证z e r z 一1 e s 其中 f m r z z m 利用引理1 1 5 得 z e r z 一1 z e z r z 一1 z e r z r z 一1 e z r z 一1 z z r z 一1 z e r z o e r z o 丁 r z 一1 z e r r z 一1 z r z 一1 z e z r z 一1 所以一e z r z 一1 e 5 同理可得一r z p 一 s 所以e s 是自共轭的 3 任意e s 令z 矿 e 有z z 口 则z 是完全正则的 z 一1 z l z l z z l z i z f z z l e z 由 2 知 s 是自共轭的 所以z 一1 e z s 即z 一 e s 则 z z z z z i z r z 一l z z z z l z t z z z 一1 z 一12 盯z l z z l z z 所以z f s 即证得矿托 e s 4 由e s 是子半群易得结论 5 任意n 6 s 设z y r n 矿 r 6 由s 是纯正的得 卫r o r 6 r 6 s z r e s 所以 r 口 r 6 r 口 z r n r 6 r 6 r n 茹r 口 r 6 y 士r r 6 9 r 6 r 口 z r 口 r 6 9 z r 口 r 6 扩 6 r o r 6 r 口 r 6 9 山东师范大学硕士学位论文 所以r 如 r 6 是正则的 即正则元的乘积还是正则元 而 z r b z r d 净 r 6 y z r n r 6 妒r n 如 掣r 6 掣 z r d r 6 j r n 上 可z r n r 6 z 所以弘 y r a r 6 即y r 6 y p b y r 8 r 6 下面讨论g u 半群中当p 是幂等纯i 司余时 剐p 的纯正性 b 酉性与s 的纯 正性 b 酉性的关系 定义1 2 5 q 半群s 上的同余p 是幂等纯的 是指对e e s 任意n s 若n 班 贝u 口 f s 定义1 2 6 1 2 l 半群s 足左 右 b 酉的是指 对任意e s 任意s s s e e s e s r s e s s e s 半群s 既是左b 酉的又是右d 酉的则称半群s 是b 酉的 定理1 2 7 半群s 足g v 半群 p 是s 上的幂等纯同余 且s p 是纯正的 则 s 是g v 纯正半群 证明任意e s e n 加 s p 则 e s p 由p 是幂等纯的 得 e s 所以s 足g u 纯正半群 定理1 2 8s 是f 一正则半群 p 为s 上的同余 若n p e p 则存在e s 使n p e p 证明由a p e 彰p j 则 0 以r 缸 j 2 令z 矿 r n j 2 则 r d 2 z r 2 r n 2 z r n 2 z z 令e r n z r n 则 e 2 r n z r n 2 z r n r a r n e 所以e e s 且有 印 r n 卵 弦 r 口 2 z r 8 2 p r d 2 p r 8 p o 岛 即存在e e s 使n 胛 定理1 2 9s 是g v 半群 p 是幂等纯同余 则s 是b 酉的充分必要条件是 彤p 是b 酉的 证明必要性 设n p s p 6 p 6 胆p e 纠p 由定理1 2 8 得存在e e s 使 1 0 山东师范大学硕士学位论文 6 p 印 所以 p e 纠p 由p 是幂等纯的 则e 4 e s 由s 是b 酉的 则 e s 所以口p e 纠p 所以酬p 是右b 酉的 同理得酬p 是左b 酉的 所以 剐p 是b 酉的 充分性 设d s e e n e s 则e d p e 彤p 由纠p 是b 酉的得印 e 纠p 由 p 是幂等纯的得o ee s 所以s 是右b 酉的 同理可得s 是左b 酉的 所以s 是 b 酉的 定理1 2 i os 是g v 半群 s 是左f 右 b 酉的 则s 是b 酉的且是纯正 的 证明假设s 是左d 酉的 令口 最e e 口 e s 则 口e 3 e n e 8 e 2 所以 口e 2 n e n 对任意n 3 成立 所以 n e 2 e s 且 n e 叫2 n e 3 e s 由 s 是左b 酉的得n e e s 再次应用s 足左b 酉的得n s 所以s 是右b 酉 的 所以s 是b 酉的 令e e s 设z 矿 r e 则r e z e s 多次应用s 是 一酉的得z e s 由z r e k e s 利用s 是左e 酉的得r e f s 再次应用s 的b 酉性得 e f s 所以s 是纯正的 下面两个定理给出矩形群的n i 扩张的半格的重要性质 定理1 2 1 l 令s us 是矩形群的n i l 扩张的半格 则对任意n 6 s 下列 条件等价t 1 y r n y r 6 2 存在e 玑 e s nj 满足r n e r 6 r 6 9 r n 3 r d r 口 o r 6 r d o r 6 r 6 o r n r 6 o 证明 1 号 2 由y r n y r 6 贝0r 6 一1 y r d r 口 一1 i r 6 所以d 6 且有 r n r 口 r 6 一1 r d r 口 r 6 一1 r 6 r 6 一1 r n 令e r n r 6 r 6 一l r 口 则易证e e s nj 且r n e r 6 同理可证存在 乳 f s nj 使r 6 9 r 口 2 4 3 由条件存在e 玑 e s nj 使r d e r 6 r 6 g r a h 则存在 山东师范大学硕士学位论文 口 y 使吼6 e 9 岛 在等式r n e r 6 两边分别左右乘r n o 得 r 口 r 口 o e r 6 r n o 丽r 口 o 六r 6 属于矩形群的n i l 扩张咒 由引理1 1 4 得 r o o e r 6 r n o r 6 r 6 r o o r 6 r d o 所以 r n r 口 o r 6 r n o 同理可证r 6 r 6 o r 8 r 6 o 3 号 1 由条件易得n 了 b 则 r 6 一1 r 口 r 6 一1 r 8 r 6 1 r 6 o r r 6 o r 6 r n 由引理1 1 4 得 r b 一1r 6 r 6 1 r n 由已知条件得 r 6 一r n e s 同理可得r n r 6 一1 s 对任意z y r n 则t 了 n 故有 r 6 r 6 o r n r 6 o r 6 o r 扣如r 扣 r 6 o r 6 r 6 一1 r n 工 r n r 6 一1 r 6 r 6 z r 6 由引理1 14 得 而 z 6 z z r 6 o r n r 6 o t z r n z 所以 即 同理可证 所以y r n 矿 r 6 z y r 6 y r n 至y r 6 y r 6 矿 r 缸 山东师范大学硕士学位论文 定理1 2 1 2s 为g v 半群 s u 则下列条件等价 a e y 1 s 是矩形群的n n 扩张的半格 2 任意e e s 存在n z 使 e p e 1 3 任意 s 任意e f s 存在m z 使 r 甸一1 e r m r z 一1 e r z m 1 4 任意e e s y e f s 5 任意口 6 s 若 6 则r o o r 6 o r n o r 6 o o 6 任意o 6 s 若n 了 6 贝0y r 6 y r 扣 y r 扣 r 6 证明 1 2 见参考文献卧 2 3 设n z 使 e r o n e r z o 1 贝0 有 e r z r z 一1 e r 一1 r z 一1 e r z z 一 e r z r z 一1 对上式等式两边分别左乘r z 一 右乘r z 得 r z 一1 e r z r z 一1 e r t 1 取m n 即证得结论 3 4 任意e s 设z y e 则 z 一1 z 一2 z 上一 z f z z 一1 e 设m 使 z 一1 e 上 m z l e z m 1 s 贝4 z 一 m 1 z m 扛一1 c 工 m r l e 丁 7 1 e s 由 式得z z 一1 e z z z 一1 e s 而 z z 一1 z 一1 e z m z 一1 e z m z 工一1 z 一1 e z m 又一 e z j 扛 t m 由每个了 类中的幂等元是本原的得z z 一 z 一 m 再利用 式得 z z l z m 上式左乘z 一得 z 一1 一 农 1 e s 即 茹 e s 所以 y e e s 山东师范大学硬士学位论文 4 辛 5 由于每个 一类 为完全单半群的n i 扩张 则r e g 为完全单半 群 由任意e e s y e e 得兄e 9 s 为纯正的完全单半群 即为矩形群 所以 任意a 6 有r n o r 缈o e f 从而r 口 o r 6 o r n o r 6 o o 5 6 由口 6 知存在o y 使n 6 设z y r 口 y r b 也有 z 由 5 知 口 r 6 f 如 故 r d r 6 z r o r 6 i r o r a r 6 护r d i r 6 扩 6 r n 盼 o r 6 引 o r 6 引r 6 r o 工r n r 6 y r 6 r 扣p 6 同理可得 掣z r n r 6 z 掣z 故 p z p r 口 r 6 即 y r 6 v r 扣 y r n r 6 6 j 1 只需证明对任意n 矗是纯正的即可 任意e s d 由条件 6 得 e 矿 r n 所以e r e r r e e 2 即得咒是纯正的 又鼠是完全单半群的 n i l 扩张 所以s 足矩形群的n m 扩张的半格 完全阿基米德半群足特殊的g v 半群 它有一些待殊的性质 下一节单独讨论 其性质 1 4 山东师范大学硕士学位论文 1 3完全阿基米德半群的性质 由参考文献 3 j 知完全阿基米德半群是完全单半群的n i l 扩张 下面讨论它的 某些性质 引理1 3 1 1 半群s 是单半群 当且仅当对任意n s 有s o s s 即当且仅当 对任意d 6 s 存在z s 使z 8 口 6 引理1 3 2 1 l 半群s 是完全单半群当且仅当s 是单的且是完全正则的 定理1 3 3 设s 是g v 半群 s 的正则元集合冗e 9 s 是s 的子半群 口 6 只 则以下条件等价 1 s 是完全单半群的n i l 扩张 2 s 满足等式 r o r 6 o r n r z r 6 o 3 s 满足关系式r n 6 r n r z r 6 4 s 满足等式 o r n r z r n o 5 s 满足等式r n 一 r o r 圳o r n r n r z r n o 证明 1 j 2 令f r 口州z r f 6 o 则 e r n o 2 c r n o n r z r 6 o r n o c r a r t r 6 r o e e r n o e r n o 所以e r n o s 而 o e r f n o o r 口 r r 厶 o r o o r n r 丁 r 6 o r n o e r 口 o e r n o r n o e r n r n o e r o o 所以e r n sr n o 由于s 足完全单半群的t 1 扩张 则每个幂等元是本原的 所以 e r 口 o r 如 o 所以 o r 8 而e 咖 r 扣 r o 所以e 冗 戤对偶地可得e 6 所 以e e n e 由s 是完全单半群的n i l 扩张 则存在幂等元 彤n 以 下面证明 r o r 6 磁n q 由 磁n 得存在z 玑 e r e 筘使r z r 6 f r 6 则 r 扛 r f 6 z 掣2 掣2 z r 6 2 z r n 所以r d r 6 彤n 对偶地可得r n r 6 6 所以r n r 6 兄 n 由此则得 e 冗 口冗 r d r b e c b c r 托 r 6 所以e 咒 r d r 6 则e r 口 r 6 j o 即有 r r 6 o r 口 r 对r 6 o 1 5 山东师范大学硕士学位论文 2 辛 3 由r 叼s 是子半群知r o r r n r z r 6 r e g s 而 r 口 r 6 o r d r z r 6 o 所艺z 且p 得r 口 r 6 爿 r 口 z r 6 3 4 由于对任意口 b z s 有r n r 6 咒 r r z r b 所以取r 6 r 口 o 取 r r f n 则得 r d 咒 r n r n 再取r 6 r 则得 r r o h r r z r 口 所以 r h r n r z r n 从而彳县r 口 o r 口 r z r 口 o 4 j 5 由于 r n r z j o r n o 2 r n r o r n o r r z o r o r n r z o r n o 所以 r 8 r z o r n o e s 所以 r n r 丁 o r n o r n r t o r 口 o o r d r t r n r z 一 r n 一 r d o r nj r f r nj r z j 一1r n j 1 r n j o r n o 由条件 4 得 所以r n r a o r d r r 圳o r n o r r n r z o r 同理可证r n r n r z r n o 所以r n r n r z o r n r n r 功r d o 5 1 令 r e 9 s 则 是完全正则半群 设佗 f c j 衍为m 中的格林关 系 任意n 6 由 5 得n n 6 o n d 6 n 6 一1 所以 冗 n 6 同理可得6 c m k 所以 亿 6 j m c f 6 所以d 矗 6 从而可得a 是单的 由引理1 3 2 得m 是完全单子半 群 任意 s 口 m 则口 口r z o n 设r z z m 则 z r z o q z 口r z n r z 卅n z 口z z m 一1 n r z 一1 n z 1 6 山东师范大学硕士学位论文 所以 m 而 z o r 2 o n z n r z o 口r z o n z 口r z 口r z 一1 口r z 一1 r z 口 z n r z n r z 一1 d r z 一1 d 茹m 一1 z d 所以z o m 所以m 是s 的理想 又s 是完全 一正则半群 所以任意z s 存在n 使z n m 综上即得s 是完全单半群 f 的n i l 扩张 定理1 3 4s 是g v 半群 且r e 9 s 是子半群 则以下条件等价 1 s 是完全单半群的n i l 扩张 2 s 是局部群 3 s 满足 一弱可消性 即对n b t s 若r n 扛 6 以且z r n z r 6 则r n r 6 4 s 满足关系 若r r 口 r z r n 则r t r z r 口 r z 5 s 的幂等元都足本原的 6 任意n 6 s 有r n 彤r n r 6 r c r 咿 n 证明 1 j 2 设s 足完全单群m 的n i j 扩张 则 i 足局部群 任意e s 由 i 足s 的理想得e e j e 而显然e e 所以e s e e e 所以s 是局部群 2 3 由s 是g v 半群得r o r n r n 一1 r r n e s 令日 r o o 曲 o 由条件 2 知片是群 其单位元是r o o 令y 是r a o z r o 在 中的 群逆 则r n o z r n o r n o 所以 r 口 r f 8 r d o r 口 r n o z r o 掣 r o z r 口 o 可 r 6 z r n o 弘 1 所以r n r 6 s 类似方法可得r 6 r o s 所以矾咱 利用z r n z r 6 用同样的 方法可得 6 所以口 6 所以r 8 o r 6 o 从面得 r 6 r 6 r 6 o r 6 r o 2 由 1 式和 2 式得 r n r 6 z r o r 6 r o o z r 口 o p r 6 r o r o o 耖 r 6 r d o r 6 所以s 是 一弱可消的 1 7 山东师范大学硕士学位论文 3 辛 4 由r n r r z r n 则 r r 口 r r r n r z r 口 r p r r o r n r z r n r z r n r 口 由s 的弱可消性得r z r z r n r z 4 号 5 任取e e s 满足e 则e 盯 e 所以e e e 由条件 4 得 e e e e e e 所以每个幂等元是本原的 5 专 6 由r 印s 是子半群 则r n r 6 也是正则的 则存在坼口 s 使r r n r n r 犯 r 6 r d r 6 r d r b 令e r n r 口 r 6 u e 则e r n r 口 u r d r n 而 2 r 扣 r 6 u e r 口 r 6 口e r n r 6 r d r 6 e r d r 6 u e 所以 f s 且 e r n r n r 6 妒 r n r 西 p e 扣 r n r 畛f e r n r b e 所以 e 所以 e 所以 r e r n r 扣 r n r 6 u c r n r n r 6 曼 从而得r 冗 r n r 6 同理可得r n c r 咖 n 6 1 令 r e 筘 则 i 足完全正则子半群 用c m 矗 冗j 分别表示正则半 群 中的格林关系 任意n 6 易得n 冗 n 6 以 6 n 冗 6 所以 巩 6 所以 i 是单 的 则m 是完全单子半群 下证s 是j 的n i l 扩张 任意z s 任意n 设n n o r z z m 由假设易得n 冗圳r z 且显然有 口冗 f n d 所以d n 7 冗m n 冗 d r z 所以存在y s 使n n d r z f 从而 口z nn z n r z n z n z z 仇一1 y 口z 所以n z 由假设得n c a f r z n 且显然有o c n 口 所以n n n c f r 工 n 则存在z s 使n n r m 从而 z n z 口n 口 z r z n z 口 2 z m 一1 z n 所以m 所以m 是s 的理想 由s 是 一正则半群 所以对任意z s 存在 n z 使z n r e 9 s m 综上得s 是完全单半群吖的n i l 扩张 下面讨论某种特殊的完全单半群的n i l 扩张 1 8 山东师范大学硕士学位论文 定义1 3 5 令t 是一个n 群 它是群g 的n i l 扩张 i a 是非空集合 p p m 是a i 矩阵 其中腓 7 令s i t a 在s 上定义乘法 f n a u 6 p i 印 j 6 p 则s 是半群 称为广义r 一矩阵半群 记作s 吖 i 尸 可见 广义r e a 一矩阵半群是r 一一矩阵半群的推广 引理1 3 6 令s 吖 t i a p 为广义r e 一矩阵半群 r e 酗表示s 的正则元集 合 贝0r e g s i a a l i i a a a g 证明设t 为群g 的n i l 一扩张 e 为g 的单位元 任意a g 对 i a a s 由于 办 e g 所以存在函m e 一 g 贝4 i a p k e 一 n 一1 p m e a a 叩舢 p m e 一1 n 一1 p 舢e 一1 m t n a i 8 纵f e 扫 e 一1 n 一1 孤 e 一1 0 k e n a i n a 所以 i a a r e g s 反之 设 i 加 a r e g s 则存在0 c p s 使 f 6 a j c p i 6 a 6 a 即有 f 妇 j 吼 a i 6 a 所以 6 如幻印 一6 则b 是r 中的正则元 由r 为口一群 所以b g 故r e g s 似a 划i i a a a 研 定理1 3 7 令 丁 i a p 为广义脯s 矩阵半群 令s g i a p 为r e e s 矩 阵半群 其中 一群 是群g 的n i l 一扩张 则亏是完全单半群s 的n i l 一扩张 证明显然s 是君的子半群 任意 i a a e 苔 o b 肛 s 显然 i a a j b p i 印幻b p s 0 b 肛 i a a 0 b 毗 a a s 所以s 是君的理想 任意 i a a 君 由t 是口一群且是群g 的n i l 一扩张 对p 郴 r 存在n n 使 只 口 n g 所以 i 口 a n 1 i a p m 口 a s 所以君是s 的n i l 一扩张 引理1 3 8 设t 为 r 一群 e e 丁 定义关系一 口 a b i a e b e 则a 是t 的最 小群同余 证明一是等价关系易证 山东师范大学硕士学位论文 下证口是同余 设 b 则a e b e 任意c t 则c a e c b e 所以c c b 由 b e 则 a e c e b e c e 而e e c e 所以8 c e b c e 所以a c 礼a 所以口是同余 下证a 是t 的群同余 首先一显然是叫a 的幂等元 任意一 驯以显然有 a 眠而a e g 所以任意a t 则存在x g 使 x 口 所以 w m x e 口 m 同理 而 m z 口 1 2 1 z d 所以e f r o 口 一 1 一 所以叫a 为群 即一是t 的群同余 下证是最小群同余 设p 为丁的群同余 设w b 则 b e 由于p 为群同余 所 以e p 为t 加的幂等元 则印 印 印 p b e 舻 印 印 印 所以a p b 所以f 是最 小群同余 引理1 3 o 设丁为 一群 它是群g 的n i l 一扩张 口是引理1 3 8 中定义的r 的最小群同余 则妒 r 归 g 一一a e 和妒 g t 以a 一一是互逆的同构映射 证明由 的定义易得 是映射 是单射 任意x g 则x x e 所以存在一 r 归 使妒 x 叫 x e x 所以 是满射 而 n 盯 6 矿 f 6 仃 n 6 e o e 6 c 口矿 6 仃 所以 为同构 砂为同构易证 任薏 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