（应用数学专业论文）一类非分离二元正交小波的构造.pdf

摘要 本文主要讨论两尺度方程庐 z 2 h k 庐 a z 一 在尺度矩阵a 满足 k e z 2 l d e t a i 2 且尺度系数 h z 2 为特定排列方式的情况下尺度函数咖 z 的正 交性和正则性问题 从而构造出了r 2 空间上的一类非分离二元正交小波 同时本文研究了这类正交小波的尺度函数的光滑性 在第一节中 我们介绍了一些与本文相关的基本概念和结论 在第二节中 给出了本文的主要结论 本文在假定两尺度方程中非零尺 一1 1 度系数 啪z 排列在第一四象限的任意两行上 尺度矩阵a 为f 1 1 l 11 符号函数具有形式c z u u a z z u b z m n z 为任意偶数的条件 下 找到了a z b z 的具体表达式 构造了具有r l 阶正则指数的正交 尺度函数 在第三节中 本文首先研究了符号函数c z u a z z u b z 具 有r 1 阶正则指数时a b z 所应该满足的条件 这样保证了本文将要 构造的小波的尺度函数是r 1 阶正则的 在此基础上 根据二维滤波函数 h w 的正交条件 找到了满足该正交条件的a z b z 的具体表达式 并验 证了这样的滤波函数 u 符合c o h e n 准则 从而构造出r 空间上一类具 有r 1 阶正则指数的非分离二元正交小波 在第四节中 对本文所构造的尺度函数 的光滑性进行了尝试性的 研究 由于对尺度函数光滑性的考察通常是比较困难的 且光滑的充要条 件不易给出 本文经研究得出所构造的尺度函数咖 不满足文 6 给出的 充分条件 这不足以说明尺度函数咖 z 是不光滑的 因此本文作者将在今 后的工作中继续作更深入的研究 在第五节中 利用本文二元正交非分离小波的构造方法 给出一个具体 算例 最后提出猜想 对于形如f 1 1 1 及f 1 11 的梅花状格局的尺 l1 11 度矩阵 不论有限非零尺度系数如何排列 其相应的尺度函数都不可能同 时具有正交性与光滑性 关键词 正交 光滑 非分离 符号函数 小波 i nt h i sp a p e r t h eo r t h o g o n a l i t ya n da c c u r a c yo fas c a l i n gf u n c t i o n 咖 w h i c h s a t i s f i e sas c a l i n ge q u a t i o n 2 咖 a 一女 w i t hs p e c i a lc o e f f i c i e n t sa n da g i v e nd i l a t i o nm a t r i xa i sd i s c u s s e d s oaf a m i l yo fb i v a r i a t eo r t h o g o n a ln o n s e p a r a b l e w a v e l e t si nr 2 i sc o n s t r u c t e d m e a n w h i l e t h es m o o t h n e s so f 曲 z i si n v e s t i g a t e d i ns e c t i o n2 w eg i v et h em a i nr e s u l to ft h ep a p e rw ef i n dt h ee x p r e s s i o no f a z a n db z o i lt h ea s s u m p t i o nt h a tn o n z e r oc o e f f i c i e n t s z 2i nt h ed i l a t i o n e q u a t i o na r ep l a c e di nt w oa r b i t r a r yr o w si nt h ef i r s t f o u r t hq u a d r a n t t h ed i l a t i o n m a t r i xa i s 1 a n a t n es y m n cr u n c t ni ss v e ni nt n e 岛r m b r i i g uc u i i u 2 i b i u i u a z z2 u b z i nw h i c hfi so d d s oa no r t h o g o n a ls c a l i n gf u n c t i o nw i t ha c c u r a c y r 1i sa c q u i r e d i ns e c t i o n3 w eg e tt h ec o n d i t o n sf o ra z a n db z t om a k et h es y m b o l i cf u n c t i o n c z u u a z z u 4 b z h a sa c c u r a c yr l w h i c hg u a r a n t e e st h a tt h es c a l i n g e x p r e s s i o no fa z a n db z s a t i s f i n gt h eo r t h o g o n a lc o n d i t i o no fb i d i m e n s i o n a lf i l t e r s f n r t h e r m o r e w ev e r i f yt h a ts u c hf i l t e rf u n c t i o nh w s a t i s f i e sc o h e nc r i t e r i o n s oa f a m i l yo fb i v a r i a t eo r t h o g o n a ln o n s e p a r a b l ew a v e l e t si n 砰w i t ha c c u r a c yr 1i s a c q u i r e d i ns e c t i o n4 t h es m o o t h n e s so ft h es c a l i n gf u n c t i o n 庐 z i si n v e s t i g a t e dt e n t a t i v e l y a sw ea l lk n o w i ti su s u a l l yd i f f i c u l tf o rt h es m o o t h n e s so fas c a l i n gf u n c t i o n z t ob e i n v e s t i g a t e d a n dt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o no fs m o o t h n e s si sn o te a s yt o g e t t h ep a p e rd r a w sac o n c l u s i o nt h a tt h es c a l i n gf u n c t i o na c q u i r e dd o e sn o ts a t i s f yt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o ng i v e ni n 6 1 w h i c hi sn o te n o u g ht oi l l u m i n a t et h en o n s m o o t h n e s s o f o a n dw ew i l lm a k ef u r t h e rs t u d yi nt h ef u t u r e i ns e c t i o n5 w eg i v ea ne x a m p l ew i t ho u rm e t h o do fc o n s t r u c t i n gb i v a r i a t eo r t h o g o n a lw a v e l e t s 攀t w k e a c o n j e c t u r e t h a ti s f o rt h ed i l a t i o nm a t r i xa j 1 1 a n aa i 1 n m a t t e rn w 一a c e at n en n z e mc e r n c i e n t s a r e n s c a t t n s f u n c t i o n s r eb o t hs m o o t ha n do r t h o g o n a l k e y w o r d s o r t h o g o n a l s m o o t h n o n s e p a r a b l e s y m b o l i cf u n c t i o n w a v e l e t 引 言 引言 小波分析是2 0 世纪8 0 年代发展起来的一个新兴的数学分支 是一种新的信号分 析的方法 它从一开始发展就与很多学科的实际应用紧密联系在一起 因此小波分析 虽然发展历史不长 但已经在通信 地质 生物医学 自动化 湍流 分形 数值计 算 微分方程求解等方面的应用中取得了引人注目的进展 在小波分析理论中 小波基的构造是最基本的内容 自从d a u b e c h i e s 1 i 构造了r 1 中具有任意高光滑阶的紧支撑正交小波基后 人们对于一维小波基的构造已基本熟 悉 但在许多实际应用中如图象压缩等 需要采用r 2 中的小波基 最初人们构造的 豫2 小波基都是可分离的 即二元基函数是一元基函数的简单张量积 这种小波基具 有算法简单 易于实施等优点 但由于其缺乏自由度 并具有较强的方向性 使其在 处理二维信号时 人工处理的痕迹很明显 因此非分离的二元正交小波基一直是人们 所追求的目标 在非分离的二元正交小波基的构造过程中 二元尺度方程的解的整数平移的正交 性问题起着关键的作用 在多尺度分析 m r a 的框架下二元正交小波可由二元尺度 函数的有限线性组合而得 而组合的系数又由尺度方程中的尺度系数或符号函数而 定 这些系数决定分解和重构滤波的快速小波变换 包含 m r a 的所有信息 所以 构造非分离二元正交小波的出发点就是这些系数和相应的尺度方程1 2 9 但是 在实际构造过程中 这些尺度系数所对应的符号函数很难被表示出来 所 以其相应的尺度方程往往不易解出 因此至今构造非分离二元正交小波的文献很少 对于尺度系数个数很少的情况 一个解决办法是将这些未知的尺度系数进行特殊的排 列 例如 k o v a d e v i 5 和v e t t e r l i 将8 个非零系数排列成 h e 和l a i 1 1 1 使 用了4 4 的排列方式 这样便有利于求出相应的尺度方程的解 从而可构造出非分 离二元正交小波 但不可微 对于尺度系数个数很多的情况 e b e l o g a y 和y w a n g 6 将这些非零系数排列到了第一象限相邻的两行上 即s u p p h z 2 h k o 至 f o o l 并且为了得到光滑的小波 适当选取两尺度方程中的尺度矩阵为 0 2 a ii 这样根据非分离小波基的正交性和正则性的要求 便得到了符号函 10 数g 无u a z 十a b z 巾d z 与8 z 的具体表达式 从而得到了一类非分离 二元光滑正交小波 而l i uj i e 2 0 l 将这些非零系数排列到第四象限相邻的两行上 即 s u p p h k z 2 h k o o o 一1 并且选取两尺度方程中的尺度矩 2 一类非分离二元正交小波的构造 阵为a j 1 根据非分离小波基的正交性和正则性的要求 便得到了符号 函数c z u a z z l u b z 的具体表达式 q g n t 一类新的二元正交小波 本文的目的是构造r 2 空间上的一类非分离二元正交小波 由于小波函数很容易 由尺度函数构造出来 因此本文主要研究尺度函数 本文将尺度方程中的那些非零尺 度系数排列到第一四象限的任意两行上 即s u p p h f m n 一n m n n m n 同时选择尺度矩阵a 条件下相应的选择符号函数的形式为c z u u a z z u b o 然后利用非分离 小波基的正交性 正则性得到a z 与b g 的具体表达式 从而构造出舒空间上的 非分离二元正交小波 至今人们还没有找到一般尺度函数光滑的充要条件 充分条件已有 因此 通常 对尺度函数光滑性的判断是困难的 文 6 作者提出 很可能对于形如f 11 1 11 的梅花状格局的尺度矩阵所对应的尺度函数不会兼备正交性和光滑性 所以我们感兴 趣的是 尺度矩阵 j 1 与 1 在尺度系数不同排列方式下 其相应的 1 1 尺度函数的光滑性的信息如何 事实上 通过本文作者验证 尺度矩阵i 一i 与 11 f 一1 1 1 在文 6 1 中尺度系数的排列方式下和在本文新的尺度系数排列方式下 l1 其相应的尺度函数均具有正交性但不满足光滑的充分条件 本文所构造的符号函数采用形式c z u u a z u b z 尺度矩阵a 选取 为f 1 1 1 以及非零尺度系数作新的特定的排列是受文 6 1 和 2 0 l 的启发 并借 l1 鉴了文 6 中研究的思路和结构 与文f 6 和 2 0 相比 本文的符号函数具有更复杂 的形式 且尺度矩阵和尺度系数的排列方式也不同 事实上文 6 j 和 2 0 j 是本文的特 例 因此本文作者在研究过程中 对于有些问题采用类似于文 6 1 的方法直接推证 而对于另一些问题则另辟蹊径 特别是在解决4 o 口 z 满足什么条件时尺度函数 咖 z 具有r 1 阶正则指数的问题中 就采用了递推的数学思想 而在验证c o h e n 准 则时则采用构造的思想 通过割补的方法构造出紧集 至于本文所构造的尺度函数 的光滑性 本文作了初步的探讨 进一步的研究工作将在今后继续进行 朋阶 桃 c一 叮 卜0 矛 基本概念 1 基本概念 为了完整起见和阅读方便 我们在本节中简要的叙述一些与本文相关的概念和结 论 设j 4 是2 x2 整数矩阵 l d e t a l 2 其特征值 1 a h 尺度函数 r 2 一r 满足两尺度方程 咖 z 2 4 1 1 k e z 2 其中z x l 3 2 2 r 2 k k l k 2 z 2 饥 z 为尺度系数 尺度系数 k z 的f o u r i e r 变换为愚 h k e 称为对应于 h k k z 2 的滤波函数 这里u u l u 2 r 2 七u 硒 1 南2 u 2 对 1 1 两端取f o u r i e r 变换 1 2 1 得 o 敢u 祆o h w 飞 2 1 这里石 o 西 z 如 1 w a 假定 1 3 1 h k z 2 为有限紧支序列 满足eh l 则方程 1 1 存在唯一的紧支 a h 尺度函数解 且f o u r i e r 变换具有无穷乘积表 示式 1 2 如果 t 一 z 是其生成的平移不变子空间的正交基 则称 a h 尺度函数妒 z 是正交的 由于 u e 础 h k t k 2 c i k l l e 恤 h 萨l z 2 1 k 2 6 2 2 b z o 记g e e u l u 2 令z e u 砂2 则有 g 叫 m 6 1 u 2 1 也 z 2 且9 1 h a 1 g z 称为 饥 埘的符号函数 k e z 2 一个实的多项式的自相关函数定义 6 为 1 3 由此可见斥 e 1 e 1 l f e e l2 因此自相关函数总是实的与非负的 自相关 函数在本文尺度函数的构造中起着关键性作用 3 4 一类非分离二元正支小波的构造 定义1 1 6 如果无限线性组合空间协 z 一 z 2 包含了所有的次数小于等 于r 的多项式 则称尺度函数 是r 1 阶正则的 也称符号函数c z u 是r 1 阶正则的 判断 z 是否具有r 1 阶正则指数的充要条件 是c z u 满足如下正则条 件 瓦u 石 面 g 一l 1 0 对于所有的p g 芝o p 口 r 十1 f t 5 引理1 1 i 设 z 为正交的 a 尺度函数 则滤波h 满足 h u i2 i l u 十2 7 r a z t 2 1 向 o 1 1 6 其中z z 2 a 6 2 2 且z 0 设a 1 在c 中取 一c z 2 a z 2 则有z a t c h 1 2 i u 丌 7 r l2 1 丘 o 1 17 定义1 2 1 1 2 i 称滤波 满足c o h e n 准则 如果存在紧集kcr 2 使 i 包 含原点的某个邻域 i i l k i 4 2 且v u 一7 r n 孤 砻使u 2 k t r i i i 对 坳 n h w 一 u 在 上不为0 其中w a 引理1 2 旧1 7 设妒由 12 确定 则 一k z 是l 2 r 2 的正交序列当且仅 当 满足正交条件 1 6 及c o h e n 准则 主要结果5 2 主要结果 本文将两尺度方程中的尺度系数排列在第一四象限的任意两行上 即s u p p h ez 2 h k o o n m 佗 一n m n n m n 同时设尺度矩 阵a 一 i 1 进而由上述假设并结合第三节引理3 2 的证明过程 我们选取符 号函数c z 为如下表达式 c z u u a z z u 4 日 z 此处a b z 为复变量多项式 m n 为偶数 考虑到c 1 1 a o b i l 所以不可能有a i 与b i 同时为零 不失 一般性 本文假定a 1 0 另外假定b o 0 同时为了方便证明 本文的定理及 引理设z 为奇数 定理令咖 z 满足两尺度方程砂 z 一2 h a z 一 其中a f 11 1 埏舻 11 符号函数为c z u u a z u b g a i 0 b o 0 l 为任一奇数 设 r n d e g a z 且w 为奇数 如果妒 岱 是具有r 1 阶正则指数的正交尺度函 数 则多项式a b z 有如下形式 z v a z 1 一h z 三 z s z 2 2 1 b z h l 一z q z 2 日2 一2 2 2 其中工 2 s z 和q z 为任意多项式满足 p s 国一 字 7 竿 p q 国 2 眦 善r 1 j 一 字 川 扣 1 江a q z q 1 一1 1 上 一1 s i l 1 l l o q o 0 2 5 p s z 等的定义见 1 4 注若j 为偶数 则上定理中其它条件不变 仅令o z q i 一1 7 l 一1 即 可 此外 若 2 1 一 2 5 再加上符号函数g z u 满足c o h e n 准则 则西 z 是具有 r l 阶正则指数的正交尺度函数 这就是二元正交正则尺度函数的构造过程 也是本 篇论文的主要结果 上述定理以及后文中所用到的h z 为h a a r 小波的符号函数 即h z 一言 1 z 下一节我们将对此定理进行证明 一类非分离二元正交小波的构造 3 二元正交小波的构造 下面引理说明了符号函数中a z 与b z 满足什么条件时尺度函数曲 z 是r 1 阶正则的 由定义1 1 可得尺度函数妒 的正则性条件 1 u a z u b z 其中 为奇数 尺度方程 1 1 的符号函数具有形式c z u 则该符号函数的正则指数为r l 当且仅当 a z z 山 z b z h z b o z 3 1 3 2 i t 明必要性 伐u g u 的止则指数为r 1 由 1 5 知 兰g 一1 o o z p o w q t 一1 j 对于所有的p q 0 p q r 1 成立 令q 0 得 易 w m a p 扪扩壹 f r 渺k u m a 吼卅州 记 则 f z 皖z b 4 z 暖 一 o 一2 b 2 z qz 9 b z qz2 9 1 b 协 唧 一 b p o z 十q b v z 万c o pe 一1 1 脚 一1 卅1 其中由于q 0 故0 p r 令口 1 得 j 毫g 叫 m 1 a 扫 z n w 1 m 篇即 删吼叫州 叫 o 其中由于q l 故0 p r 一1 由 3 3 和 3 4 可得 且 p f 1 0 0 p r 一1 3 3 3 4 3 5 二元正交小波的构造 由 3 3 可以得出 当p o 时 g 一l 1 a 一1 一b 一1 0 再由 3 5 知4 一1 一0 故有b 一1 0 当p 1 时 未z c 1 1 a 7 一1 f b 一1 一b 7 一1 o 再由 3 5 知a 7 一1 0 又已得到b 一1 0 故推出b 1 0 同理 得到b p 一1 0 p 2 3 一 r l 这样我们得到 b p 一1 一0 0spsr 一1 由 3 5 和 3 6 我们可以将a z 和b z 表示为 a z h z 山 z b z h b o z 又由 3 3 和 3 6 可得 a 一1 一1 2 口 一1 一0 且j ja 一1 b 7 一1 而 a 7 一1 a o 一1 日 丝一 b 一1 b o 一1 h 里一 其中 日r 丝一 祟 o 故有 a o 1 一b o 1 0 必要性得证 充分性 由已知条件得 g 0 m 4 名 z 2 u b z h z p m a z z u 吕 2 可递推地 3 6 注意到 日r z 磐一1 0 i 0 1 r 一1 对于任意的p q 0 p 十q r 1 下 面分类讨论 7 8 一类非分离二元正交小波的构造 l o 当g 0h 寸 此时0 p r 嘉 u 四 h 2 9 p j 4 0 u b z q h 7 爿 扣一1 u m a o z 三 u b o 7 唧h 7 m a o z z l u b o z l 9 杀g 1 1 f 捌丝 l f 似叫一岛 1 2 0 当q 1 时 此时0 茎p 兰r 一1 亦有 万丽c 9 p q g 一1 1 o 由1 0 和2 0 得 对于任意p q 0 p g r 1 均有 否而a p q u 一l 1 o 由定义1 1 知e 的正则指数是r 1 充分性得证 证毕 此外 若选取a i 在本文的尺度系数排列方式下 符号函数为g c z u u a z u 口 z 则 3 2 具有形式a o 一1 日o 一1 0 下面引理将正交条件 1 7 转换为自相关函数的形式 这样有利于本文正交小波 引理s z 对于a 一1 及特殊形式的符号函数g c z u a c z n z p a 一o 岛z 一 1 3 7 a z 1 b g a 一z 1 b 一z 0 3 8 证明由第一节基本概念的介绍知 h u h u 2 b 2 吼 e 嘞 2 1 k 2 e z 2 h w i 2 g e 1 e 2 一c z u 一一三垄墨奎尘婆竺竺羹 9 所以 h u 丌 霄 u 1 7 r 2 7 r b 1 蚴e 1 1 e 乜 l 如 弘 b k 2 e 沌 t 一e i k 2 w 2 r 1 枇 e z h c u iq 矿 地 订 c e 2 一e 2 g 一g 一u 因此二维滤波的正交条件 1 7 等价于 i c z u 1 2 l g 一t u i2 1 由自相关函数的定义有 z u p c 一z 一u 1 即 c z u g 孑 i u 一1 c z u g 一名一1 一a f t 1 u m a z 名2 u b 名 一m a z 一1 g 一 u b z1 i u a 一z 一1 蚌 z u b 一g j 一u a 一1 一1 弭 2 2 u n b 一z 一1 1 展开后合并可得 a z a z 一1 b 名 口 孑一1 a 岩 a 一z 一1 b 一z b z 1 一1 石 u m a 2 1 b z a 一z 一1 b 一z l 0 g u 机一 a 0 b g 一1 a 一名 b 一石一1 0 由 3 9 得 乃 z r 一z p 日 岛 一z 1 由 3 1 0 3 1 1 得 a z 一1 b z a 一z 一1 b 一z 0 征毕 一 注3 2 由上述证明过程可得到结论 当选择尺度矩阵4 o 2 i0 2 a z2 7 r o 时 二维滤波正交条件 16 变为尼 您0 u 时符号函数为q 毛 2 a 沪b 破当选择尺度矩阵a i 1 f 3 9 3 1 0 3 1 1 卜 l 此 使 1 0 一类非分离二元正交小波的构造 得2 a g 一 时 二维滤波正交条件 1 6 变为p c z p 一z 一u 1 此时符号函数为c z u u a z z t 扩b z 而本文的构造是建立在正交条件 j 4 z 1 b z a 一z 口 一z 0 之上的 因此 从上述证明过程中可看到 若符 号函数选择为c z u u a z u b z 则不满足此正交条件 故本文选择符号函 数形式为c z u u a z b z 下面引理3 3 3 6 说明具有r 1 阶正则指数的符号函数c z u 中的a z b 具有什么形式时 符号函数c z u u a z 一u b z 满足正交条件 38 引理3 3 在 3 8 中如果b 0 0 则d e g a z 一定为奇数 证明由 3 8 可得a z b 一a 一z 1 b 一z 即a 1 b z 不包含z 的 偶次幂 如果口 o 0 则由上式可得觋a z 1 一 鸳a 一z 1 所以d e g a z 一 定为奇数 证毕 引理3 4 对于每一个多项式p z 一z 2 n p l s p l o o n20 存在多项式q 和2 使得p z q z 2 f z g c d 1 z f 一2 1 证明令t z g c d p z p 一z 显然t t 一2 q z 2 对于每个多项式口 z 成立 a 犯 2 器删 g c d 心川 叫 g c a 籍 斜 乩 证毕 引理3 5 下面两个条件等价 i 多项式j 4 和b z 满足条件 3 8 且8 0 o i i 存在一个奇整数 2d e g a z 和实多项式s q 和f 使得z v m z s z 2 z z b z q 9 2 f 一z 且g c d f 2 2 一z 1 证明 i i i a 0 1 b z a z 1 8 z z v z 2 f z q f 一i 一z s z 2 f 一 g 2 f z 0 即a z 和b g 满足 3 8 j 辛 i i 如果 i 成立 由引理3 3 及引理34 知 存在多项式s g f 和m 使得 矿a z s 扩 f z b g 2 2 m z 元正交小波的构造 将上述a b z 代入 3 8 中可得 z s 严 2 z q z 2 m 0 一z 1 s z 2 f 一z g z 2 m z 0 m z f z f 一z m 一z g c d 1 z 2 一z 1 g e d m z m 一z l 所以m z 2 一g 因此有 矿a z 一1 s z 2 2 z b z q z 2 f 一z 且g o d z f 一z 1 即 i i 成立 证毕 引理3 6 令a z 和b z 是两个多项式a 1 0 b o 0 下面两个条件等 价 i 二元符号函数c z u u a z 扩b z 满足条件 3 8 且正则指数为 r 1 i i 存在一个奇整数 d e g a z 和多项式s q 和l l o q o 0 s 1 一 l 1 1 q 1 一 1 1 l i 使得 z v a z 1 h z 三 z s 9 2 s z 一h 二 一z q z 2 日2 一z 证明 i i 辛 i a z 一1 b e a 一z 一1 b 一z z v 日 z 三 z s z 2 日7 2 工 一z q z 2 日2 7 一 一习一 h 7 一z l z s z 2 日 一z l z q z 2 日2 z z v l z s z 2 l 一 0 z 2 i h 7 日 z t 1 2 一 一h 7 一z h 7 一z h 2 7 z 而h 7 日 g 日2 一z 一 一z h 7 z 日2 z 显然为0 所以 a z 1 b a 一z 一1 b 一 0 即a s z 满足条件 38 又由 i i 中z v d z h 7 z l s 2 可得 a z 矿日 z 一1 l 名一1 s 石一2 z v r h 名 工0 1 s z 一2 其中h z 1 z1 i t z 因此可令 a o z z v vl 1 s g 2 3 1 2 1 2 一类非分离二元正交小波的构造 b z l 一z q z 2 日2 7 一z 3 1 3 所以 a 0 h z a o z b z h z b o 因此根据 i i 中条件s 1 l 1 1 q 1 一1 1 l 一1 有 4 0 一1 一b o 一1 一1 1 l 一1 s 1 一l 1 q 1 h 2 7 1 1 1 l 一1 一 1 1 l 一1 n 由引理31 知c z u 的正则指数为r l i i i 由引理3 1 知a z b z 都可表示为h z 与另一个因子的乘积 因此 一一l 是a z 和b z 的r 重根 也是a z h g 一 a z 一 百l z a g 一 的r 重根 故 一1 是p z 矿a z 1 b 的2 r 重根 由 38 可得 p z 一p 一g 一 g 1 b 名 矿a 一z1 b 一 0 即p z p 一 而z 1 是p 一z 的2 r 重根 所以g 1 是p z 的另一2 r 重 根 且因为a 1 0 p i a 1 b 1 0 所以g 1 是b z 的2 r 重根 因此 i 1 2 7 一 一定是b 2 的一个因子 定义 删 鬻 酬 揣 则 一z a 1 日7 b z 一b 1 z 日7 0 h 一 将a 口 代入 3 8 中可得 a 1 z 一1 何7 z 1 名7 b t z 日7 z 日2 7 一z a 一名一1 h 一z 一1 一 b 一 h 7 一z 日孙 z 一0 且h 1 z 1 g 所以得到 a l z 一1 b l z a 1 一z1 b l 一z 0 二元正交小波的构造 1 3 即a 巩b z 满足条件 38 且b 一揣 因此由引理3 5 知 存 在实多项式s q l 使得 z a z 一1 s z 2 l z b l z 一q z 2 l 一2 且g c d l z l 一z 1 由a 1 z b l z 的定义可得 觜 s z 2 l z j 褊 q 矿 l 一z 即 矿a z 1 s z 2 l z z h z s z 2 l z 日7 z 3 1 4 b z q z 2 三 一z 日 z 日2 7 一z 3 1 5 因为b 1 q 1 l 一1 h 2 一1 日 1 一0 g 1 1 a 1 b 1 1 所以 a 1 1 由 3 1 4 可得s i l i i 这里我们规定s 1 l 1 1 又由于 a z z s 名一2 l 一1 日7 z1 z v s z 一2 l 岩一1 名 h z 因此有 a o z 7 s z 一2 l 一1 乜 q z 2 上 一z h 一 根据引理3 1 中的 3 2 式可得 一s 1 l i 1 一q 1 l 1 h 1 0 即q 1 一1 v l l 一i 一1 1 l 1 这就证明了 i i 证毕 注3 6 若f 为偶数 由 i i i 的证明过程可取q z q 1 一1 l 一1 且上引理中的其它条件均不变 则此引理的结论仍成立 下面的引理3 7 说叽具有r l 阶正则指数且满足条件 3 8 的符号函数c z 中的a z 和b 具有什么形式时 符号函数满足条件 3 7 引理3 7 引理3 6 中的多项式s q 和l 具有 23 2 4 的自相关函数的形式 证明由引理3 6 条件 i i 巾的a z 和b z 的表达式可得 p a z a z a z 昂 z p l s p s z 2 玩 z s z b z 霸 尸扩 一z 兄 z 2 1 4 一 三叁 坌皇三垄墨塞 壅竺垫篁 巳 z 岛 一z 磁 z 兄 b z 2 巧 一g 尸宇 r z p 矿 一 z 屁 z b 矿 巧 一 昂 2 疡 2 j 曙 z p l z z 2 其中u 9 2 b z 2 昂 一z 尸备 z z 2 因此条件 3 7 可写成 p 吾0 兄 z u z 2 昂 一z p z 一z u z 2 1 由此可得u z 2 为常数 我们取u z 2 u o 则由引理 3 6 中的条件s 1 1 可 得 u z 2 u 1 b 1 一1 1 p 1 p s 1 1 即 p s z 2 昂 一 昂 z 砀 2 1 f 3 1 6 所以 b 2 一l h 一g 日 一z 一1 z 何 0 1 疡 9 2 一 7 竿 7 竿 醐 一 竿 竿 7 蝴 即为f 2 3 又由 瑶 z 兄 z 0 2 一 吃 一z z 2 一i 及u z 2 l 可得 z r 昂 z r 一 1 f 3 1 7 此方程的解p l z 已在 1 中求得 即为 2 4 证毕 由引理3 1 3 7 可以得出 4 2 和b g 如果满足 2 1 一 2 5 则尺度函数 是r 1 阶正则的且满足正交条件中的 1 7 下面证明符号函数c z u 满足c o h e n 准则 y z 7 验证c o h e n 准则首先叙述一些相关的定义并给出相关引理 定义 孔 r 1 r 一 矿 3 1 8 元正交小波的构造 引理3 8 设p l z 由 2 4 定义 z e 一 则正 s i n 2 等 兄 z 证明由霉的定义知 霉 s i n 2 警 基f r j 0 o1 s i n 2 等 1 半 1 孚 其中一竿 跸 引理3 9 设l 满足 2 4 r 1 则p 备 e 1 l 2 1 p l 2 且等号成立 当且仅当u 1 7 r m o d 2 r 其中z e 证明由 2 4 可得 由于 则 职叫咧 1 2 r 1 j j 1 圳1 j 2 u p h z 扣刊 1 手去 2 巧 一e m s i n 铲茎 咖铲 jsr 一 一 了j j 件 办 巩一 箬 伽蹦 f 1 6 一类非分离二元正交小波的构造 所以由引理 3 8 可得 1 咖等 1 咖铲 由于 s i n 等 2 的每一项系数都为正 即已的系数为正 因此 若要使等号成立当且 仅当ls i n 等i 1 即u 1 2 栅 7 r 也即u 1 1 r m o d 2 7 r 证毕 引理3 1 0 如果h o l 0 2 0 则 l 7 r m o d 2 7 r 证明由引理3 1 可得 h w l u 2 g e e 2 e 2 2 a e e i w l l c l n w 2u e 日 e 1 e a 0 e 1 e 1 e 2 b e 31 9 所以h e 1 0 即e 一1 0 2 1 7 r m o d 2 1 r 或者e 2 a d e e 训e 4 岛 e 她 0 得出i a o z i b 0 z 即p a g p 日o g 由 3 1 2 31 3 3 1 6 及q 1 一1 1 l 1 可得 n z 见 z b z 2 p l 1 一p 吾 z 昂 疡 矿 场 2 o z 2 q z 2 q 2 1 l 2 一1 因此 z 吃 z 1 一 一 巧 z l 2 一1 l 3 2 0 b z 兄 一2 p 2 p 寄 一g 兄 一z l 2 一1 昂 一 巧 一 32 1 由于 z 一f z 所以 p c z 1 一巧 一 p b l 2 一1 一 p l 一 l 2 一1 昂 一 一z 兄 昂 一 玮 s l 2 一1 兄 十尸 一z l 2 一1 昂 一 霸 一g 曙 一z l 2 一1 隔 兄 z p 吾 一z 兄 一z j 因此 由 3 1 7 可得p l 2 巧 z n 2 一1 此式即为引理3 9 中等号成立的情形 由引理3 9 可得 1 m o d 2 证毕 j 1 一2 2 r r n n j象承卟喇 二元正交小波的构造 下面验证 满足c o h e n 准则 根据定义1 2 我们首先构造紧集 然后验证 满足定义1 2 的三个条件 证得 愚 u 满足c o h e n 准则 设r 2 中区域n 一 州2 上的点 一 7 r 一7 r 分别为a b 用a b 分别表示 点d b 的充分小邻域与n 的交 现将0 e 平行于y 轴向下平移2 个单位 得到的区 域的闭包记为嚷1 a 平移后变为a 1 一 一7 r 将b 平行于y 轴向上平移2 7 r 个单位 得到的区域的闭包记为6 b 平移后变为6 1 构造紧集k 见图1 为 k q o u6 u n u6 k o u k 显然 k 满足定义1 2 中的 i 和 咄现考察 是否也满足 i i i 对于k o 由于w k o 区域上每一点 0 2 1 叻 都有一7 r u l 故u l 7 r m o d 2 由引理3 1 0 可得 u l 地 0 所以h w 1 u 在k o 上不为0 又w 凰 上点 忱 都有一 u 且 w2 k o w3 k o w j 1 o j 2 故v u l 忱 w j k o 均有u l r m o d 2 7 i 由引理3 1 0 可得九 l u 2 0 所以在 o 上 h w 一 0 坳 n 对于 我们先考察 由于 当j 2 m 一1 时 胪 击 书击 当j 2 m 时 击 1 w j a l 一扣斟 其中m l 2 w a 故对任意j l 有w j a l 的横坐标u l 7 r m o d 2 7 r 由引理3 1 0 得h w j a l 0 又a 是包括a 1 的充分小的区域且h 是连续的 故h w 一 0 v u o j 1 同理 可类似地得出h w 一 u 在b 上也不为 零 所以在k l 上 h w j u 0 坳 i v 因此 得出对v j n h w j u 在 k uk 1 上不为零 故 满足定义1 2 的 i i i 所以 满足c o h e n 准则 1 7 1 8 一类非分离二元正交小波的构造 v n r 一 a 凰 0 0 k 1 一 j b 将a b 平移 图l f 7 r n 0 丌 茹 7 b仕w 作用r 图2 噬厂 一 k 0 0 0 1 在上述验证过程中 本文之所以如此构造紧集k 是考虑到n 一7 r 2 在 1 作用下 即 1 q 只有a b 两点作用后其坐标有 7 r m o d 2 7 r h p u 0 其 中a 变为a 0 r o b 变为6 0 一 o 见图2 其余的点均有6 0 1 7 r m o d 2 r 且n 上 的所有的点包括a b 在w v j22 作用后 均有一7 r u 1 0 使得 d o 妒 z 一d l c i x 一9 i 对于所有的z y 琏2 成立 如果存在某一常数c 0 和 0 使得 的f o u r i e r 变换虱u 满足 万 u l c 1 i u l 一1 一 1 i u 2 i 一1 一 4 1 则妒 z e c 8 由于通常对尺度函数咖 的光滑性的判断是困难的 因此本文在此只考虑它是 否满足光滑的充分条件 4 1 由 1 2 及 3 1 9 可得 故 所以 o f 氟 i fi ih w 一 l h e 1 e i m u 2 a o e 1 e l w z e i r 0 2 b o e 1 h 7 u q u o o0 0 虱u l 1 日 一 u l i q w 一 u l 4 2 j 1 t 下面我们对 4 2 式右边的两项分别进行估计 在 4 2 右边第一项中 因为且 为h a a r 小波的符号函数 令g g u 日 z 1 巩则 1 成为h a a r 尺度函数卸 俨的两尺度方程 即 州班p 当 甄 水1 时 f0 其他情形 1 9 2 0 一类非分离二元正交小波的构造 其中 x l x 2 所以 乒日 u 咖h c a l 2 1 加锄 z 出 心一t 如 几一 锄 o o e w 2 一1 乱 2 日 u 1 砂日 u 2 由 1 2 可得 鲫州粕小掣 掣 这里h h c 0 1 u 2 h e t 因此存在一个常数c 0 使得 j h h w 一 u jsc 1 一1 1 4 3 对于 4 2 右边第二项 固定r n 由 31 9 有 h w l u 2 日7 e 1 c l i n 9 0 2 a o e 1 e e b o e 1 定义 q w l u 2 e i a o e 1 e w l i e i n w 2 口0 e i w l l w 1 j a o e 1 l i 口o e 1 1 显然q 1 u 2 曼z u f 面对f 进行估计 引理4 10 s 1 一巧 一 巧 z 三2 一1 1 对于所有的 1 成立 证明令l z l 1 由引理3 9 及 31 7 可得 0 l 一巧 一z 巧 z l 2 一1 曼巧 境 z l 一 一z 兄 一 当i i 1 时 尸与 一 吃 一g 20 所以0s1 一尸自 一 尸5 g l 2 一1 l 证毕 引理4 2 l a d 1 f 2 d s i n 2 等 l b 0 2 曼正 s i n 2 等 等号成立当且仅 当u l r o o d 2 元正交小波的光滑性的讨论 证明由引理31 0 证明过程 辛的 3 2 0 3 2 1 可得 p a p l z 1 一昂 一z z l 2 一1 p 8 0 吃 一g l 2 一1 p 吾 一z p 吾 一 由引理4 1 及引理3 8 可得 i a o e 1 2 r e 1 s 吃 z 1 一t s i n 2 等 由引理3 9 知 等号成立当且仅当u l m o d 2 又由引理3 9 由根据 31 7 得到 的0 p 一g 兄 z 1 及引理3 8 可得 i b o e i 1 2 p b o e f 2 一e 1 兄 8 一8 i 兰兄 e l t s i n 2 要 根据引理3 9 知 等号成立当且仅当u l i r m o d 2 7 r 证毕 引理4 d 1 9 令坼 i l g 耳 则 t s i n 2 竽 s 耳 如果l u l i 2 7 卫 s i n 2u 耳 s i n 2 等 砰 如果荨 0 和e 0 使得 0 0 炉 u z 剑u z r l 其中蛳 j l 证明由引理4 2 可得 2 1 i a o e 讪 l i b o e 1 i 2 l a o e 1 i2 j b o e 1 1 2 2 a o e ij b o e t l r a o z hi 玩 m l 2 幽竺监坐丛塑 9 4 卫 s i n 2 竽 又由引理4 3 可得 如果f u l j 等则 f 2 4 霉 s i n 2 等 s4 乃 2 1 一类非分离二元正吏小波的构造 进而可得j 2 弘i 4 t d s i n 2u 1 所以 f 2 u f 2 2 u 4 2 正 s i n 2u 1 霉 s i n 2 等 4 2 碍 z 7 1 此时了 0 使得 f 2 u 兰c 6 j l w 2 2 1 灯 旷 f iq 2 1 u n