（新课标）高考数学一轮复习 名校尖子生培优大专题 高频考点分析之关于线线、线面及面面平行的问题 新人教A版.doc

三、关于线线、线面及面面平行的问题：典型例题：例1.下列命题正确的是【 】a、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行b、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行c、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行d、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【答案】c。【考点】立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质。【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，也可能相交，所以a错；一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行，故b错；若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；故d错；故选项c正确。故选c。例2.设是直线，是两个不同的平面【 】a. 若，则a b. 若，则c. 若，则 d. 若, ，则【答案】b。【考点】线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定和性质。【解析】利用面面垂直的判定定理可证明b是正确的，对于其它选项，可利用举反例法证明其是错误命题：a，若，则满足题意的两平面可能相交，排除a；b，若，则在平面内存在一条直线垂直于平面，从而两平面垂直，故b正确；c，若，则可能在平面内，排除c；d，若, ，则可能与平行，相交，排除d。故选 b。例3.如图，几何体eabcd是四棱锥，abd为正三角形，cb=cd，ecbd.()求证：be=de；()若bcd=1200，m为线段ae的中点，求证：dm平面bec.【答案】解：()证明：取bd中点为o，连接oc，oe，bc=cd，cobd，又ecbd，coec=c，bd平面oce.。又oe平面oce.，bdoe，即oe是bd的垂直平分线。be=de。()取ab中点n，连接mn，dn，m是ae的中点，mnbe。abd是等边三角形，dnab，abd60。bcd120，bc=cd，cbd30。abc60+3090，即bcab。ndbc。又mnnd=n，bebc=b，平面mnd平面bec。又dm平面mnd，dm平面bec。【考点】线面垂直和平行的证明，线段垂直平分线的判定和性质，等边三角形的性质。【解析】()要证be=de，只要证点e是bd垂直平分线上的点即可。故取bd中点为o，连接oc，oe，由已知证明bdoe即可。 ()要证dm平面bec只要证明dm在一个平行于平面bec的另一个平面上，故取ab中点n，连接mn，dn，证明平面mnd平面bec即可。例4. 如图，在长方体abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e为cd中点（i）求证：b1ead1；（ii）在棱aa1上是否存在一点p，使得dp平面b1ae？若存在，求ap的长；若不存在，说明理由；（iii）若二面角ab1ea1的大小为30，求ab的长【答案】解：（i）如图，以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设aba，则a(0,0,0)，d(0,1,0)，d1(0,1,1)，e，b1(a,0,1)。1(0,1,1)，(a,0,1)，。011(1)10，b1ead1。（ii）假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，此时(0，1，z0)。又设平面b1ae的法向量n(x，y，z)n平面b1ae，n，n，得取x1，得平面b1ae的一个法向量n。要使dp平面b1ae，只要n，即az00，解得z0。又dp平面b1ae，存在点p，满足dp平面b1ae，此时ap。（iii）连接a1d，b1c，由长方体abcda1b1c1d1及aa1ad1，得ad1a1d。b1ca1d，ad1b1c。又由（i）知b1ead1，且b1cb1eb1，ad1平面dcb1a1。是平面a1b1e的一个法向量，此时(0,1,1)。设与n所成的角为，则cos。二面角ab1ea1的大小为30，|cos|cos30，即，解得2，即ab的长为2。【考点】用空间向量求平面间的夹角，空间中直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定。【解析】（）由题意及所给的图形，以a为原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。设aba，给出图形中各点的坐标，可求出向量1和 的坐标，验证其数量积为0即可证出两线段垂直。（ii）由题意，可先假设在棱aa1上存在一点p(0,0，z0)，使得dp平面b1ae，求出平面b1ae法向量，可法向量与直线dp的方向向量内积为0，由此方程解出z0的值，若能解出，则说明存在，若不存在符合条件的z0的值，说明不存在这样的点p满足题意。（iii）由题设条件，可求面夹二面角的两个平面的法向量，利用两平面的夹角为30建立关于的方程，解出的值即可得出ab的长。例5.如图，直三棱柱，=1，点m，n分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式，其中为底面面积，为高）【答案】解：（i）证明：连接，三棱柱为直三棱柱。m为中点。又n为的中点，mnac。又平面，mn平面。 ()连接bn，由题意得，平面平面， 平面。 又， 。【考点】与二面角有关的立体几何综合题，直线与平面平行的判定，棱锥体积的计算，转化思想的应用。【解析】（i）连接，说明三棱柱为直三棱柱，推出mnac，然后证明mn平面。另解：取ab的中点p，连接mp、np。m、n分别为ab、bc的中点，mpaa，npac。mp平面aacc，pn平面aacc。又mpnp=p，平面mpn平面aacc。又mn平面mpn， mn平面aacc。()连接bn，由可求。例6.如图，在直三棱柱中，分别是棱上的点（点 不同于点），且为的中点求证：（1）平面平面； （2）直线平面【答案】证明：（1）是直三棱柱，平面。 又平面，。 又平面，平面。 又平面，平面平面。 （2），为的中点