（应用数学专业论文）组合分析中若干问题的研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 本文研究组合分析学中的若干问题 具体内容如下 第二章用经典哑运算方法研究了不变序列的性质及满足的恒等式 随后又推广到更 一般的情形 即关于二项式型多项式序列的自反序列和关于s h e f f e r 序列的自反序列 第三章我们利用指数r i o r d a n 阵得到许多关于g e n o c c h i 数 s t i f l i n g 数和c a u c h y 数 的一重及二重和式的封闭形式与渐近值 第四章利用形式n e w t o n 级数得到了复合函数的差商公式 并给出复合函数的一个 矩阵等价形式 从而得到一个反级数的差商公式 第五章我们给出几个算子展开式 从而得到一些级数变换公式 n e w t o n 级数求和公 式和n e w t o n 发生函数 关键词 自反序列 哑运算 二项式型多项式序列 s h e f f e r 序列 l a g u e r r e 多项式 b e r n o u l l i 数 g e n o c c h i 数 s t r i l i n g 数 c a u c h y 数 r i o r d a n 阵 差商 反级数 n e w t o n 级数 符号算子 n e w t o n 发生函数 组合分析中若干问题的研究 s e v e r a lr e s e a r c hp r o b l e m si na n a l y t i c c o m b i n a t o r i c s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s w es t u d ys o m ea s p e c t si na n a l y t i cc o m b i n a t o r i c s s u m m a r i z e da sf o l l o w s i nc h a p t e r2 b yc l a s s i c a lt u n b r a lm e t h o d w eo b t a i ns o m ep r o p e r t i e sa n di d e n t i t i e so f i n v a r i a n ts e q u e n c e s m o r eg e n e r a l l y w es t u d yt h es e l f i n v e r s es e q u e n c e sr e l a t e dt os e q u e n c e s o fp o l y n o m i a l so fb i n o m i a lt y p ea n dt h es e l f i n v e r s es e q u e n c e sr e l a t e dt os h e f f e rs e t s a n dg i v e s o m ei n t e r e s t i n gr e s u l t so ft h e s es e q u e n c e s i nc h a p t e r3 u s i n gg e n e r a t i n gf u n c t i o n sa n dr i o r d a na r r a y s w ee s t a b l i s hs o m ei d e n t i t i e s i n v o l v i n gg e n o c c h in u m b e r s s t i f l i n gn u m b e r sa n dc a n c h yn u m b e r s a n dg i v et h ea s y m p t o t i c s o fs o m ec o m b i n a t o r i a ls u i n 8 i nc h a p t e r4 u s i n gn e w t o ns e r i e s w eo b t a i nad i v i d e dd i f f e r e n c e sf o r m u l ao fc o m p o s i t e f u n c t i o n s a n dg i v eam a t r i xe q u i v a l e n tf o r mo ft h e s ec o m p o s i t ef u n c t i o n s m o r e o v e r w ed e r i v e ad i v i d e dd i f f e r e n c e sf o rt h er e c i p r o c a ls e r i e s w ep r e s e n ts e v e r a ls y m b o l i co p e r a t o re x p a n s i o n si nt h el a s tc h a p t e r f u r t h e r m o r e w eg i v e s o m es e r i e st r a n s f o r mf o r m u l a sa n dn e w t o ng e n e r a t i n gf u n c t i o n s k e y w o r d s s e l f i n v e r s es e q u e n c e s u m b r a lc a l c u l u s s e q u e n c e so fb i n o m i a lt y p e s h e f f e rs e t s l a g u e r r ep o l y n o m i a l s b e r n o u l l in u m b e r s g e n o c c h in u m b e r s s t i f l i n gn u m b e r s c a u c h yn u i n b e t s r i o r d a na r r a y s d i v i d e dd i f f e r e n c e s r e c i p r o c a ls e r i e s n e w t o ns e r i e s s y m b o l i co p e r a t o r n e w t o ng e n e r a t i n gf u n c t i o n s i i 独创性说明 作者郑重声明 本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得研究成果 尽我所知 除了文中特别加以标注和致谢的地方外 论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果 也不包含为获得大连理工大学 或者其他单位的学位或证书所使用过的材料 与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名 立整日期 丝塑 6 璺作者签名 互企日期 丝塑 6 璺 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解 大连理工大学硕士 博士学位论文 版权使用规定靠 同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和电子版 允许论文被查阅和借阅 本人授权大连理工大学可以 将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 也可采用影印 缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 作者签名 导师签名 大连理工大学博士学位论文 1 引言 1 1 选题及国内外研究概况 组合分析是一个既古老又新颖的数学分支 它属于离散数学范畴 粗略说来 它是研 究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置方法的数学 组合分析学中的有些问题 最初是以数学游戏的形式出现的 后来在实际背景的刺激下获得了新的生命力和发展 为许多离散问题提供了数学模型和研究方法 近来 随着计算机科学的不断发展 组合 数学也获得了极大的发展 排列 组合 划分 分类 图论 递归 发生函数 数列变换 等方面的许多问题都是组合数学的研究对象 现今的组合分析学大量应用了抽象代数学 工具和矩阵工具 使问题的提法和处理方法表现出极大的一般性 另一方面 为适应计 算机科学发展的要求 组合分析学又很注重方法的可行性和程序化的研究 组合分析学 不仅对组合学本身有重要意义 在其它科学领域 例如 统计物理学 计算生物学 电子 工程 信息论等 也有很重要的作用 更为重要的是它在算法分析和数据结构中的应用 组合分析学包含的内容十分广泛 我们仅研究以下几个方面 1 1 1 有关哑运算及自反序列的研究 哑运算的历史可以追溯到1 7 世纪 但是直到1 9 世纪后期 随着s y l v e s t e r c a y l e y 和b l i s s a r d 等数学家的工作 参见 4 哑运算才开始兴起 虽然哑运算已被广泛应用 但 人们还是将它看作放下和提升指标的 魔术 参见 4 9 1 哑方法在实际中很好用 但是缺 少一个合适的基础 e t b e l l 5 在1 9 4 0 年曾尝试给出哑运算的一个公理基础 但是没 有成功 虽然数学界仍有人怀疑哑运算 但它仍被广泛应用 例如r i o r d a n 1 0 1 的著名 书籍 a ni n t r o d u c t i o nt oc o m b i n a t o r i a la n a l y s i s 哑运算的第二条历史发展路线是s h e f f e r 多项式理论 关于s h e f f e r 多项式的研究始于 1 8 8 0 年a p p e u 2 研究满足必 n p n 一1 的多项式序列t 如今我们称这种序列为a p p e u 多项式 虽然这一类序列被广泛研究 见综述 2 5 但是直到1 9 3 9 年s h e f f e r 才注意到与这 类似的多项式序列 他把a p p e l l 多项式类推广到t y p ez e r o 多项式f 1 1 6 现在我们称之为 s h e f f e r 序列 虽然s h e f f e r 利用算子研究他的多项式序列 但他的理论主要是基于形式幂 级数的 1 9 4 1 年s t e f f e n s e n 1 2 4 基于形式幂级数也发表了s h e f f e r 多项式理论 s t e f f e n s e n 称s h e l t e r 多项式为 p o w e r o i d 也可参考 1 1 7 1 1 8 1 2 5 1 2 6 但是这些理论发展地并不充 分 比如说 它们没有提供足够的计算工具 组合分析中若干问题的研究 哑运算的第三条历史发展路线是抽象线性算子 关于这方面的研究始于1 9 世纪9 0 年代p i n c h e r l e 的工作 他的早期工作可以参见其专著 9 2 p i n c h e r l e 虽然成功的研究 了泛函分析的情形 但是他的工作缺乏明显的例子 其他人关于这方面的研究可以参见 2 4 2 5 1 3 3 文献 1 1 0 将这三条线路合并 用算子方法揭开了哑运算的神秘性 由文献 1 1 0 中 的思想 作者r o t a 和m u l l i n 在文献 7 6 中结合许多函数 哑方法和算子方法得到了一个 漂亮的理论 但是在这篇文章中他们只考虑了二项式型多项式序列 而后在 1 1 1 中作者 才将结论推广到s h e f f e r 多项式上 后人基于r o t a 的哑运算又做了许多工作 例如 代 替多项式向量空间 f i l l m o r e 和w i l l i a m s o n 3 8 在抽象向量空间中考虑r o t a 的哑运算 z e i l b e r g e r 1 4 1 注意到r o t a 的哑运算和f o u r i e r 分析之间的联系 g a r s i af 4 1 用形式幂级 数语言叙述r o t a 的算子方法 哑运算可以应用到许多领域 b a r n a b e r 3 h o f b a u e r s 3 j o n i 5 5 5 6 n i e d e r h a u s e n 8 9 等人利用哑运算得到l a g r a n g e 反演公式的新的形式 1 9 9 0 年 l o e b 6 6 将哑运算推广 到对称函数 后来 m d n d e z 6 7 6 8 又做了许多与这相关的工作 哑运算的另 个广泛应用 是线性递归和格路计算问题 n i e d e r h a u s e n s 2 s 4 8 6 8 8 9 0 9 1 在这方面做了许多工作 他 的工作是基于下面的事实 若q 是一个d e l t a 算子 则俨q 也是一个d e l t a 算子 因此有一 个基本列 利用这些算子的基本列之间的关系 他将基本列的二项式恒等式推广到s h e f f e r 序列的 般a b e l 型恒等式 w a t a u a b e 1 3 4 1 研究哑运算的一般理论 然后将其具体应用到 格路计算中 r a y 等人 6 3 6 4 9 6 1 0 0 用哑运算研究色多项式问题 哑运算不仅在组合学中 非常有用 在同调代数 统计学 概率论 拓扑学 分析 物理以及不变量理论中都能见到 哑运算的应用 参见 6 1 2 1 3 1 5 1 6 1 8 2 0 2 1 2 6 2 7 3 0 5 7 5 9 6 2 8 5 8 7 9 5 9 7 9 9 1 2 1 1 2 2 1 3 8 1 下面我们介绍一下自反序列 二项式反演关系 争 份七 k 扣 七 0 口七 是最经典的反演关系之一 如果序列 满足关系 扣 七 力口一 则称 为自反的或不变的 许多序列都是自反的 例如 南 一铂川 洲叫吲 都是自反序列 其中r l n 风分别为f i b o n a c c i 数 l u c a s 数和b e r n o u l l i 数 孙智宏 1 2 7 用发生函数方法研究自反序列 得到了许多有趣的例子和自反序列的一 些性质 随后 王毅 1 3 0 用线性变换 差分算子和哑方法研究自反序列 得到自反序列 的许多特性 研究自反序列的共性 可以统一的处理一些特殊组合序列 从而发现它们 2 大连理工大学博士学位论文 所满足的许多有趣的恒等式 王毅 1 3 0 用线性变换方法还研究了更一般的自反序列 即 满足 a n a n k a k 七 的序列 其中矩阵a a 佗 忌 满足a 2 j 但是对于这种更一般的自反序列并没 有得到太多结果 1 1 2 有关r i o r d a n 阵方法及g e n o c c h i 数的研究 r i o r d a n 阵概念是在1 9 9 1 年由s h a p i r o 等人 1 1 5 引入的 他们的目的是要推广r o g e r s 1 0 4 在1 9 7 8 年定义的r e n e w a l 阵概念 他们的基本思想是定义一类无穷下三角阵 而这些 阵与p a s c a l 三角有相似的性质 r i o r d a n 阵在研究组合恒等式和组合和式时非常有用 利 用r i o r d a n 阵我们可以得到许多组合和式的发生函数 从而可以得到和式的封闭形式或 渐近值 r i o r d a n 阵方法在组合分析学中有广泛的应用 在1 9 9 4 年 s p m g n o l i 1 1 9 利用 r i o r d a n 阵研究二项式系数 s t i f l i n g 数及一些游动问题 在1 9 9 5 年 s p r u g n o l i 1 2 0 又用 r i o r d a n 阵方法研究了a b e l 和g o u l d 恒等式 后来 m e r l i n i 等人 6 9 又发现了r i o r d a n 阵的 些新的特征 最近 m e r l i n i 等人 7 2 又用发生函数方法和r i o r d a n 阵得到c a u c h y 数的许多性质 关于r i o r d a n 阵的更多结果可以参见 7 0 7 1 7 3 1 1 4 1 3 7 下面简单介绍一下g e n o c c h i 数 g e n o c c h i 数由下列发生函数定义 南2 三g 嚼t n l 一 7 it 一一 e t 鼍一 n n 上 d u m o n t 3 1 在1 9 7 4 年给出了g e n o c c h i 数的组合解释 随后 d u m o n t 又和一些合作 者 3 2 3 5 继续研究了g e n o c c h i 数 d u m o n t 已经证明g e n o c c h i 数 一1 n g 2 n 是使得每 一个偶数后面必须有一个更小的数且每一个不在最后的奇数后面必须有一个更大的数的 2 一1 的排列数 最近 又有许多人开始关注g e n o c c h i 数 参见 2 9 3 6 6 0 9 3 1 1 3 有关差商的研究 差商有好几种定义方式 其中一种就像它的名字所描述的那样 而最有效的一种就 是把它看成n e w t o n 形式中的系数 虽然差商的思想确实是由n e w t o n 提出的 见 8 0 8 1 但根据w h i t t a k e r 等人 1 3 5 的记载 差商 这一术语首次出现是在文献 7 5 中 差商 和多项式插值是密不可分的 多项式插值是研究下列问题的 已知f x 在给定的n 1 个结点z o 2 1 z n 处的值y 0 z o 可1 z 1 鼽 0 n 要寻找多项式p z 使 得p 戤 玑 t 0 1 n 当结点x 0 2 1 互异时 我们可以构造出一个次数不 超过n 的l a g r a n g e 插值多项式 并可以证明这样的插值多项式是唯一的 但是当结点的 个数增加时 整个l a g r a u g e 插值公式的结构都要发生变化 这在实际计算中是非常不方 便的 从而人们又引进了n e w t o n 插值公式 n e w t o n 插值公式不要求结点互异 结点两 两互异时其就是l a g r a n g e 插值公式 而当有重结点时就是h e r m i t e 插值公式 函数 在 3 组合分析中若干问题的研究 x 0 z 1 z n 处的h e r m i t e 插值多项式的首项系数 即扩的系数 就是 在z o z 1 处的差商 这一个关于差商的定义是由k o w a l e w s k i 6 1 给出的 差商和导数很相似 导 数具有的一些性质差商也具有 例如 对于乘积函数差商也有相应的l e i b n i z 公式 这一 公式是由p o p o v i c u 9 4 首先给出的 还可以参考 8 1 2 3 差商还有其它的表示方法 例 如 行列式比的形式 b 样条形式 围线积分形式 g e n o c c h i h e r m i t e 形式 关于差商 更详细的论述参见 1 0 差商在数值分析 组合分析中都非常有用 差商和插值是非常重要的解析运算工具 与技巧 它们有着广泛的应用 如在方程求根 求积公式等方面的应用 参见 7 4 5 7 7 7 9 1 3 9 1 4 0 1 4 4 1 4 5 自差商的概念出现以来 人们就没有停止过对它的研究 近来 d e b o o r 9 f l o a t e r 3 9 王兴华等人 1 3 1 用一个函数在另外一组结点的差商来表示这一函 数在给定结点处的差商 随后 f l o a t e r 和l y c h e 4 0 及王兴华等人 1 3 2 又用直接计算的 方式研究复合函数的差商 由此可见当前对差商的研究仍然很活跃 1 1 4 符号算子方法在组合分析学中的应用 符号算子 差分算子 e 移位算子 和d 微分算子 等在有限差分计算中扮演 很重要的角色 它们经常会出现在统计学和数值分析中 由于符号算子方法便于计算机 实现 这在现今的科学计算中尤为重要 j o r d a n 5 8 和m i l n e t h o m s o n 7 8 都曾写过专著 有限差分计算 在他们的书中对符号算子方法做了详细的论述 符号算子方法在组 合分析中也有很重要的应用 例如 第二类s t i r l i n g 数就可以用一个差分等式来表示 而 一个关于数列的k 阶递归关系可以写成一个k 阶差分方程 反之亦然 所以求解计数问 题可以化为求解差分方程 g o u l d 4 6 在他的 组合恒等式 中列举了几种证明组合恒 等式的方法 其中就有有限差分法和差分方程法 p d o r d a n 1 0 2 在他的 组合恒等式 一书中用一章来介绍怎样用差分算子 微分算子等发现和证明恒等式 g r a h a m 等 4 8 在 他们的专著 具体数学 中也介绍了符号算子方法在计算和式方面的应用 可见符号算 子方法对组合分析有很重要的意义 徐利治和欧阳植1 1 4 6 曾用差分等算子研究了一种离 散型多重卷积的计算问题 在口 级数理论中对应的有g 微分算子 r o g e r s 1 0 3 用这一算 子研究了某些含有g 对称多项式的特殊函数 后来陈永川和刘治国等人 1 1 1 9 3 7 6 5 继 续发展与应用这一算子得到了q 一级数中许多经典的公式 近来 何天晓等人 5 0 5 1 利用 符号算子展开式研究幂级数求和问题 并得到许多包含特殊组合序列的公式与恒等式 1 2 本文的主要内容 本文主要研究了组合分析中的下列若干内容 在第二章中 我们首先用经典哑运算方法研究关于二项式反演关系的自反序列 得 到了这类自反序列的性质及所满足的一些恒等式 当取特殊的自反序列时 我们就得到 了关于b e r n o u l l i 数的著名的恒等式 用经典哑运算使得我们的论述简单明了 而后我们 4 大连理工大学博士学位论文 又研究了更一般的自反序列 即关于二项式型多项式序列的自反序列和关于s h e f f e r 序列 的自反序列 我们得到了这些自反序列的一些性质和恒等式 并且对于关于s h e l t e r 序列 的自反序列的研究也是关于二项式反演关系的自反序列的直接推广 此外 我们还研究 了更为特殊的关于l a g u e r r e 多项式的自反序列 在第三章中 我们用系数方法和指数p d o r d a n 阵研究g e n o c c h i 数 建立了g e n o c c h i 数与第一类s t i r r i n g 数 第二类s t i r l i n g 数及c a u c h y 数间的联系 并且得到了许多包含 g e n o c c h i 数的一重 二重和式的封闭形式与渐近公式 在第四章中 我们把差商看作是h e r m i t e 插值的首项系数 借助于形式n e w t o n 级数 也称插值级数 的性质 我们得到了复合函数的差商公式 当结点相同时 复合函数的 差商公式就变为f 娩d ib r u n o 公式 而后我们又引进了n e w t o n 级数关于一组序列的迭代 矩阵 从而得到复合函数的一个矩阵等价形式 作为特例 我们得到了反级数的差商公 式 由于符号算子方法在组合分析学中有重要作用 在最后一章中我们首先给出符号算 子 1 e z 的一些展开公式 利用这些算子展开式我们得到许多级数变换公式 n e w t o n 级数求和公式及n e w t o n 发生函数 这些级数变换公式可将收敛速度慢的级数变换为收 敛较快的级数 作为特例 我们给出一些特殊组合数的n e w t o n 发生函数和一个超几何级 数变换公式 5 组合分析中若干问题的研究 2 自反序列 2 1 经典哑运算与自反序列 2 1 1 定义 对于1 9 世纪的哑运算 r o t a 和t a y l o r 1 1 3 用线性泛函给出了 种严格的且简单的 表示 他们称之为 经典哑运算 这使得哑运算有了合理的理论根据 从而我们可以放 一5 的使用哑方法了 关于经典哑运算的研究还可以参见 1 4 3 4 1 1 2 哑运算由下列元素组成 1 一个集合a 称为字母表 a l p h a b e t 其元素通常用希腊字母表示 称为哑元 a m b r a 2 一个交换整环d 其商域特征为零 3 一个定义在多项式环d 上的线性泛函e v a l d 刎 d 使得 a e v a l 1 l 其中1 是d 的单位元 b 若a p y 是不同的哑元 并且i 歹 k 是非负整数 则 e v a l a 7 七 e v a l a e v a l 3 j e v a l 1 七 4 字母表a 中有一个特殊的元素e 它满足 e v a l g n 5 n 0 其中厶 0 是k r o n e c k e r 记号 一个序列a o a l a 2 记为 啦 称为可以由一个哑元q 哑表示 u m b r a l l yr e p r e s e n t e d 如果对于礼 0 1 2 e v a l c t n 多项式环d a 中的元素称为哑多项式 u m b r a lp o l y n o m i a l 现在引进两种不同类型 的 等号 设p 和q 是哑多项式 我们称p 和q 是哑等价的 u m b r a l l ye q u i v a l e n t 记为 p2q 如果e v a l 西 e v a l q 两个哑多项式p 和q 称为可交换的 e x c h a n g e a b l e 记为 p 三q 如果对n 0 1 2 有e v m o n e v a l q n 两个可交换的多项式是哑等价的 反 之不成立 6 大连理工大学博士学位论文 为了对上面的定义有感性认识 先来具体算几个例子 如果序列 n n 可由可交 换的哑元q 和卢哑表示 则 q4 口 2 竺4 0 2 但是 口4 p 2 q 2 i 2 q p 4 p 222 a 2 2 9 因此a 4 p 与2 a 是哑等价的 但是一般地它们不是可交换的 再来看一个关于b e r n o u l l i 数的例子 b e m o u u i 数巩由下列发生函数定义 三巩等 矗 2 1 1 设卢哑表示b e r n o u l l i 数玩 即胪 既 因此得到 扩竺南 旷一1 在 4 3 4 4 5 4 中可以找到许多经典哑运算的应用 下面介绍自反序列的概念 反演关系在组合恒等式的研究中非常有用 参见 1 0 2 最经典的反演关系就是二项式反演关系 i 一1 七 z 靠 lk 一1 知 2 o 七 我们称一个序列 是自反的 s e r f i n v e r s e 或不变的 i n v a r i a n t 如果 荟 1 七 力 七 2 1 2 如果 荟 1 七 加一 2 1 3 则称 是负不变的序列 由定义易知 是负不变的当且仅当a o 0 且 业n 1 是不 变的或 n 一1 是不变的 有痒多组各序列都是不变的 例如 皓 n n 南 n 剑和 盟l j n n 都是不变 序列 设死 z c o s a r c c o s x 是他1 介t c h e b y s h e v 多项式 则 群 n n 是不变序列 序列 一1 n 鼠 n n 和 贮垫若字丑纽 n n 都是不变的 其中玩是b e r n 1 1 m 数 序 列 n r 一1 n n 和 嘞 n n 冬不变的 其中r 和l n 分别表示f i b o n a c c i 数和l u c a s 数 若z 0 i 2 则 镑 竹 n 是不变的 等等 我们研究自反序列的性质 可以统一地 处理一批组合序列 7 组合分析中若干问题的研究 孙智宏 1 2 7 用发生函数方法研究自反序列 得到许多有趣的结果 后来 王毅 1 3 0 又用线性变换方法和差分算子来研究自反序列 并用哑方法得到下列恒等式 薹 厶一c 一1 n 一七塞 厶 一七 c 2 1 4 其中 n 是任一序列 是一个不变序列 在2 1 2 节中 我们用经典哑运算方法研究自反序列的性质 虽然这一节中的一些结 果孙智宏 1 2 7 和王毅 1 3 0 已经得到了 但是我们可以看到用哑方法来处理更简单明了 在2 1 3 节中 我们用经典哑方法得到孙智宏 1 2 7 和王毅 1 3 0 并没有发现的一些有趣的 恒等式 这些恒等式与b e r n o u l l i 数满足的恒等式有些相似 2 1 2 自反序列的性质 我们称形式幂级数 墨o z n 为序列 的普通发生函数 记为a 计d z 黯oa n x n 类似地 我们称形式幂级数 甚oa n n r 为序列 的指数发生函数 记为a 唧 z 甚o 簪 下面两个定理表明不变序列的发生函数的关系 定理2 1 1 f 1 2 7 t h e o r e m3 1 是一个不变序列 或负不变序列 当且仅当如d 矗 卜z 如d z 或如d 刍 一 卜z 如d z 证明 设口n 皇a n 则 薹 加 k a k 铮 妒一n 骨a 计d 仁 2 口n z n 型 1 i q n z n 1 2 f 而 另外 我们有 这就完成了证明 如d 刍 竺薹a n 南 高每 定理2 1 2 1 2 7 t h e o r e m3 2 是一个不变序列 或负不变序列 当且仅当a 印 z e 一盖是一个偶函数 或奇函数 8 大连理工大学博士学位论文 1 一口 n 竺士q n 钿 竺r 主l o q n 等皇薹 1 刊n 等 竹 0 e 凹2 1 士e 1 一q a 印 z e 一詈竺e a 净竺士e 一口如2 土a e z p 一z e 詈 下面给出不变序列的一个等价形式 定理2 1 3 1 3 0 t h e o r e m2 4 序列 满足 n u n 甩 1 七鲰 土 当且仅当存在一个 序列 h 使得 薹 1 七 抄垴 2 一1 七 k 士h 2 1 5 南 0 证明 设q n 竺 假设 琶o 譬 一1 七 七 士 则 1 一q n 竺士q n 我们记h 胪型l o t n 则我们有 薹 抄矿互1 q 七士三q n 司11 叫气1 口n 一1 2 a 1 2 q n n 反过来 我们有 1 o t n i 0 1 咆 妻i 0 扣 嬉 扣即哪 i 0 孑 一1 1 一卢 士 1 一 一p n 士 1 一卢 n 直接利用经典哑方法可以重新得到孙智宏 1 2 7 的一些变换公式 9 甘 铮 一 铺 士 则 o 2 i x n n 忌 口 设n 脚 明证 组合分析中若干问题的研究 定理2 1 4 1 2 7 t h e o r e m5 1 设 6 n 和 为三个非零序列 并且满足 一击 翟o a k b n 一七 n 0 1 如果 是一个不变序列 则 k 也是一个不变序列的 充分必要条件是序列 c r i 是不变的 证明 设q n 竺a n 伊竺b n 且矿 c n 假设 k 是一个不变序列 则我们有 1 一q n 竺口n 和 1 一卢 n 竺矿 所以 进而得到 恤南薹却础 而1 等 c 1 刊n 型妻i 0 0c 叫 南 芋 击姜 等芋 而而喜 卅j 1 瑚 一 一 ii iyi 门y n oi n 1 q 一卢 鲁 叫 叫 丽1 n 一 l 佗珊瑚 一 一 i iy if h 一n l n 1 歹 叫旷 叫 1 1 一p n 1 一 1 一q n 1 1 一 二 二 二 一 一一 礼 1 1 一p 一 1 一q 一n 1掣7 n 口一q 反过来 若 c n 是一个不变序列 则 1 7 n 型7 n 此时我们有 j l 竺 竺二 二旦2 二 二 二竺 扎 1p 一口 一 n 1 1 一 一 1 一q j 二 二壁 l 二竺二 一7 7 1 1 一p 一q 对n 进行归纳 我们可以得到 1 一卢 n 1 伊 1 定理2 1 5 1 2 7 t h e o r e m5 2 设 k 和 c n 是三个非零序列 且满足白 击 楚o n a 忌k 一七m 0 1 如果 是一个不变序列 则 k 也是一个不变序列 的充分必要条件是序列 是不变的 证明 设q n2a n 伊竺k 且7 n 竺c n 则 一7 n2 刍妻k 0 垆 刍c q 删n 1 0 大连理工大学博士学位论文 假设 k 是一个不变序列 则 1 7 n 壹i 0 1 刍 q 州叫1 一半 n 2 1 0 一三二掣 n 刍 q 卢 n 2 7 n 反过来 若 是一个不变序列 则 1 7 n p 此时我们有 x r n 竺 1 一字 n 1 一半 n 2 砉 q 1 一卢 仃2 y n2 素 q 卢 n 对佗进行归纳 我们可以得到 1 一 n 竺伊 2 1 3 自反序列满足的恒等式 本节将利用经典哑方法得到一些关于自反序列的恒等式 这些恒等式并没有被孙智 宏 1 2 7 和王毅 1 3 0 1 发现 当取不变序列为 一1 n 晶 时 我们可以得到关于b e m o u u i 数的著名的恒等式 设o t n 1 一q n 且 z 为一单变量多项式或为一形式幂级数 显然我们有 q 型 1 一q 通过选择不同的 z 我们可以得到下列公式 定理2 1 6 如果 是一个不变序列 则 薹 加 砉 加 仁 证明 设 z z 仇 一1 n 且q n 型a n 则 1 一q n 竺a n 且f 1 一a p 凼此 拢1 j 有 m 叫 1 a 薹 0 口户 和 弛净呻 1 n 一姜 0 矿咆卅t 从而有 薹 c 一1 n f q n f 竺薹 0 c 一1 n 一 q m t 孙智伟 1 2 8 用其它方法也得到了这个恒等式 根据定理2 1 6 可以建立下列关于b e m o u u i 数玩的恒等式 1 1 组合分析中若干问题的研究 推论2 1 7 妻i 0 晶 t 2 c 一1 仇 nj 壹 o 笏 q c 2 工7 证明 由于 一1 n 风 是不变序列 由定理2 1 6 立即可得 2 1 7 推论2 1 8 姜c 叫i 2 2 m 0 习 麓 专 娄c 一1 炮2 俨 0 2 m m 2 t 7 c 2 工8 证明 由于 0 有 c 一1 仉薹 m 1 m 七 1 岛 k c 一1 n 壹k 0 n 去1 c m 七 1 枷c 2 工1 1 证明 在定理2 1 1 0 中取a n 1 n 风并注意到当k 1 有岛七 1 0 就可以得到 2 1 1 1 如果在定理2 1 1 0 中取m n 则下列等式成立 推论2 1 1 2 薹 佗斗州卅 m o 协u 2 对于b e r n o u l l i 数我们有 推论2 1 1 3 壹k 0 n 珊n 陬剐 仁u 3 类似地 对于负不变序列我们有下列定理 定理2 1 1 4 如果序列 是负不变的 则下列恒等式成立 萎 礼丹 晰 帅 蓦 m 珊叫 c n l i 肌 仁 4 t 0 扛0 2 2 关于二项式型多项式序列的自反序列 在上一节中我们研究了关于二项式反演对的自反序列的性质 这一节中我们将讨论 1 3 组合分析中若干问题的研究 更一般的情形 对于一般自反关系对 i a 礼 k b k 室 2 2 1 1 k 登a n 七 毗 一 无穷维下三角矩阵a 似 死 老 础0 0 o 满足a 2 i j 为无穷维单位矩阵 如果序列 满足 口n a n k a k o 2 2 2 其中a a n 南 是一个无穷维下三角矩阵并满足a 2 j 则称序列 为一般自反序 列 截取矩阵a 的前m 行前佗列 记 a n 七 2 七 o 则有熊 其中k 为m 阶单位矩阵 从而对所有m 0 有 i a m l 2 a i 一1 2 1 2 i 1 扛 0 由此可以看到矩阵a 的对角线上的元素都是非零的 对n 0 设 p n z a n k z 七 2 2 3 则陬 z 是n 阶多项式 由自反关系对 2 2 1 有 矿 a n k p k x 2 2 4 k o 如果q m x z q m 七矿是另一个m 阶多项式 则记q m p x 嚣南q m 知m z 在此 记号下 对所有礼 0 由 2 2 4 定义的多项式序列p n x 满足p n p x 扩 在2 2 2 节我们先研究当由 2 2 4 定义的多项式序列p n x 为二项式型多项式序列时 满足关系式 2 2 3 的自反序列 口礼 的性质 在2 2 3 节我们将研究更为特殊的情形 即 关于l a g u e r r e 多项式序列的自反序列 2 2 1 预备知识 定义2 2 1 对于n 0 1 2 称一列多项式p n x 为一个多项式序列 如果对所有n 0 p n x 是礼阶多项式 定义2 2 2 一个多项式序列p n x 称为是二项式型的 如果它满足下面一系列卷积恒等 式 陬 可 妻k o 0 m z 陬一七 可 n 0 1 2 2 2 5 1 4 大连理工大学博士学位论文 许多多项式序列都是二项式型的 最平凡的就是序列扩 降阶乘多项式序列 z n 也 是二项式型的 其中 z n z 一1 一n 1 在这一节中我们将以引理的形式列出有关二项式型多项式序列的一些主要结论 这 些结论将在以后的章节中用到 关于这些结论读者还可以参考 7 6 1 0 5 1 0 9 1 1 1 e a 为移位算子 它满足e 口p x p x o 定义2 2 3 如果一个线性算子t 可以与所有移位算子交换 即t 酽 俨t 则称其为移 位不变算子 定义2 2 4 我们通常用字母q 表示d e l t a 算子 它是一个移位不变算子并且满足q z 为 一非零常数 导算子d 和差分算子 都是d e l t a 算子 从 1 1 1 中可以看到d e l t a 算子与导算子d 有许多相似的性质 定义2 2 5 设q 为一个d e l t a 算子 一个多项式序列陬 称为是q 的基本多项式序列 简称基本列 如果 1 p 0 1 2 砌 o 0m o 3 q p n z n p n 一1 z 每一个d e l t a 算子有且只有一个基本列 参见 7 6 1 例如 导算子d 的基本列是z n 差分算子 的基本列是 z n 下面我们列出一些引理 参见 7 6 1 1 1 引理2 2 6 1 如果序列砌 z 是某一d e l t a 算子q 的基本列 则它也是一个二项式型多 项式序列 2 如果p n 是一个二项式型多项式序列 则它一定也是某一d e l t a 算子的基本列 引理2 2 7 算子展开定理 设t 为一移位不变算子 且设d e l t a 算子q 的基本列为 肌 z 则 t 酱矿 2 2 6 七 0 其中a k 砌七 z z 0 例如 移位算子酽可以展开成 酽 警萨 厶l 0 引理2 2 8 设p 是域k 上的多项式环 是p 上的移位不变算子环 又设q 是一个 1 5 组合分析中若干问题的研究 d e l t a 算子 f 是域k 上关于t 的形式幂级数环 则由f 到 存在一个同构映射 它把 邢 2 篆k 1 0 口若 映成 丝k 纱t m 岛一 引理2 2 9 设d e l t a 算子q 的基本列为肌0 且设g d q 记虿 t 为q t 的复合逆形 式幂级数 更 l g d f l z f 篆学吩印 2 2 7 引理2 2 1 0 设d e l t a 算子 p 和q 的基本列分别为p n 0 和g n z 且有算子展开式p p d 和q g d 则r n x 加 q 是d e l t a 算子r p g d 的基本多项式序列 引理2 2 1 1 设q g d 为一d e l t a 算子 且有基本列 骱 z k x 七 n 1 则g 一f 其中 弛 2 黔 两t k 引理2 2 1 2 如果p n z 是d e l t a 算予q d p 的基本多项式序列 则 1 p n x q 7 p n 一1 z n 2 p n z p n z n 一 尸一n 7 n 一1 3 p n x x p l z 矿1 4 p n z z q 7 一1 骱一1 z 2 2 2 关于二项式型多项式序列的自反序列的性质 定义2 2 1 3 对t 0 设 l 肌 z a n 七 z 七 k 0 是一个二项式型多项式序列并且陬 p z 矿 如果一个序列 满足 n a n 七 o 七 k o 称 为一个关于二项式型多项式序列p n x 的自反序列 1 6 2 2 8 2 2 9 大连理工大学博士学位论文 由引理2 2 6 知道p n x 一定是某一d e l t a 算子q 的基本列 又由引理2 2 7 和引理 2 2 3 我们可以记q g d 其中 如 2 篆弛两t k 七加 是一个形式幂级数 其系数为吼 q z 惫k o 显然q o 0 由d e l t a 算子的定义可知q 1 0 因此g t 有唯一的复合逆形式幂级数虿 t 根据引理2 2 1 1 我们有 荆 a 圳丽t k 2 2 1 0 七 1 由引理2 2 1 0 可知p n p x 扩是d e l t a 算子g q d 的基本列 但我们已知扩是导算 子d 的基本列 从而可以得到g q t t 即q t 虿 t 根据引理2 2 9 我们知道p n x 有下列指数发生函数 y p n z 五t n 沙 剐 2 2 i i 由公式 2 2 8 和 2 2 1 1 有 篆s 薹a c 啪矿2 篆z 七妻a c 啪 丽t l r l 2 轰矿学 n o七 0七 0n 七 七 0 因此 a n 尼 有下列发生函数 吼 a 礼 丽t l l 利1 t 七 2 2 1 2 现在可以给出关于二项式型多项式序列的自反序列的一些性质了 对任一序列 设其指数发生函数为 a z 等 则有l 足埋2 2 1 4 t 走关亍厅夕up n x 的目反厅歹u 的无分必要条仟是a z a g z 证明 妻a 礼 七 钆 骨a z 等 a n 七 口七 口七 a n 后 等 n 0 k 0七 0 t i 七 5 篆钒掣训圳 1 7 组合分析中若干问题的研究 推论2 2 1 5 若 是关于p n z 的自反序列 则对m 0 有 口m 茎 a c m z l 毫 卸问 c 2 2 1 3 删 磊晰嘉 另一方面 讹 删 帅学 y l a 1 n 署 n 0 z o 吾鲁砉口n z a c z 扎 篆a c 七 1 蔷 等量 7 a m l 1 1 壹a x a f 小 岛m 2 鲁 l 一7 名 一吖 由定理2 2 1 4 立即可得公式f 2 2 1 3 显然 如果 和 k 都是关于p n x 的自反序列 则 o t a n 鼬n 也是关于p n x 的自反序列 这里q 和p 是任意给定的常数 孙智宏 1 2 7 给出不变序列的一些变换公式 类似地 对于关于二项式型多项式序列 的自反序列 我们有下列定理 足埋2 2 1 6 给足三个序列t k 及 岛 设 是关于p n x 的自反序列 并且 c n 妻 扎 k o 7 则 c n 也是关于加 的自反序列的 充分必要条件是 k 是关于p n x 的自反序列 证明 设 c 2 磊c n 等 和 刖2 篆k 等 n 州 大连理工大学博士学位论文 则 c z 2 篆 k 箬薹 禹叫榔 七 0n 七 7 因为a z 4 口 z 所有我们有 c c 口 车 争b z b 口 z 下面将给出一些构造关于 z 的自反序列的方法 定理2 2 1 7 o 壹1 0 扯z 扣 等 磊