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3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【重点难点】空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示【学习过程】一、自主预习（预习教材p92-96找出疑惑之处）复习1：平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量，是平面上两个 向量，总是存在 实数对，使得向量可以用来表示，表达式为 ，其中叫做 . 若，则称向量正交分解. 复习2：平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的 向量作为基底，对平面上任意向量，有且只有一对实数x，y，使得，则称有序对为向量的 ，即 .二、合作探究归纳展示探究任务一：空间向量的正交分解问题：对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向量？这几个向量有何位置关系？三、讨论交流 点拨提升新知：1 空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.反思：空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系o-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .设a，b，则 .向量的直角坐标运算：设a，b，则ab；ab；a；ab.试试：1. 设，则向量的坐标为 .2. 若a，b，则 .3. 已知a，b，求ab，ab，8a，ab四、学能展示 课堂闯关例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？变式：已知o,a,b,c为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点o,a,b,c是否共面？小结：判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是：这三个向量一定不共面.例2 如图，m,n分别是四面体qabc的边oa,bc的中点，p,q是mn的三等分点，用表示和. 变式：已知平行六面体，点g是侧面的中心，且，试用向量表示下列向量: . 动手试试练1. 已知，求：； .练2. 正方体的棱长为2，以a为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，则点，的坐标分别是 ， ， .五、学后反思1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理；2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前，一定要验证三条轴的垂直关系，若图中没有建系的环境，则根据已知条件，通过作辅助线来创造建系的图形. 【课后作业】： 1.
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