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文档简介
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示【学习目标】1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示;2. 掌握空间向量的坐标运算的规律;【重点难点】空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示【学习过程】一、自主预习(预习教材p92-96找出疑惑之处)复习1:平面向量基本定理:对平面上的任意一个向量,是平面上两个 向量,总是存在 实数对,使得向量可以用来表示,表达式为 ,其中叫做 . 若,则称向量正交分解. 复习2:平面向量的坐标表示:平面直角坐标系中,分别取x轴和y轴上的 向量作为基底,对平面上任意向量,有且只有一对实数x,y,使得,则称有序对为向量的 ,即 .二、合作探究归纳展示探究任务一:空间向量的正交分解问题:对空间的任意向量,能否用空间的几个向量唯一表示?如果能,那需要几个向量?这几个向量有何位置关系?三、讨论交流 点拨提升新知:1 空间向量的正交分解:空间的任意向量,均可分解为不共面的三个向量、,使. 如果两两 ,这种分解就是空间向量的正交分解.(2)空间向量基本定理:如果三个向量 ,对空间任一向量,存在有序实数组,使得. 把 的一个基底,都叫做基向量.反思:空间任意一个向量的基底有 个.单位正交分解:如果空间一个基底的三个基向量互相 ,长度都为 ,则这个基底叫做单位正交基底,通常用i,j,k表示.空间向量的坐标表示:给定一个空间直角坐标系o-xyz和向量a,且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量,则存在有序实数组,使得,则称有序实数组为向量a的坐标,记着 .设a,b,则 .向量的直角坐标运算:设a,b,则ab;ab;a;ab.试试:1. 设,则向量的坐标为 .2. 若a,b,则 .3. 已知a,b,求ab,ab,8a,ab四、学能展示 课堂闯关例1 已知向量是空间的一个基底,从向量中选哪一个向量,一定可以与向量 构成空间的另一个基底?变式:已知o,a,b,c为空间四点,且向量不构成空间的一个基底,那么点o,a,b,c是否共面?小结:判定空间三个向量是否构成空间的一个基底的方法是:这三个向量一定不共面.例2 如图,m,n分别是四面体qabc的边oa,bc的中点,p,q是mn的三等分点,用表示和. 变式:已知平行六面体,点g是侧面的中心,且,试用向量表示下列向量: . 动手试试练1. 已知,求:; .练2. 正方体的棱长为2,以a为坐标原点,以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系,则点,的坐标分别是 , , .五、学后反思1. 空间向量的正交分解及空间向量基本定理;2. 空间向量坐标表示及其运算 知识拓展建立空间直角坐标系前,一定要验证三条轴的垂直关系,若图中没有建系的环境,则根据已知条件,通过作辅助线来创造建系的图形. 【课后作业】: 1.
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