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北京学维思教育湘潭分校湘教版七年级下册几何(章)基本知识点与方法总结第三章 平面上直线的位置关系和度量关系一、知识结构图: 二、知识点: 1.线段、直线、射线: 线段的形象描述: 一条拉紧的绳子,一段笔直的铁轨。 特征:两个端点、两个方向。 直线:一条线段向两端无限延伸后的几何图形。 特征:没有端点,有两个方向。 射线:一条线段向某一方向无限延伸后的几何图形。 特征:只有一个端点,一个方向。 点与直线的位置关系:a:点在直线外, b:点在直线上。 两个公理: 直线公理:过两点有且仅有一条直线。 线段公理:连接两点的所有线段中,线段最短。 线段长短的比较:a:度量方法。 b:截取的方法 2.角: 角的定义:一条射线绕它的端点旋转到另一位置时所形成的图形。 角的进制:1=60=3600 角的分类: 锐角 (090) 直角=90 角 钝角 (90180) 平角=180 周角=360 两个角的概念:a. 补角:若 A+B=180,则 A与B互为补角。 b. 余角:若 A+B=90,则 A与B互为余角。 结论:同角或等角的余角相等,同角或等角补角相等。 角的度量与比较:a.用量角器度量之后用数值比较。 B.用截取的方法比较。 角平分线的定义:以一个角的顶点为端点的一条射线,如果把这个角分成两个相 等的角,这条射线叫该角的平分线。 3.同一平面上直线的位置关系: 平行 两直线没有公共点 位置关系: 相交 两直线有且仅有一个公共点 重合 两直线有两个公共点 直线的平行关系的传递性: 设a, b, c 是三条直线,如果 ab,bc,那么ac 平行公理:经过一条直线外的一点有且仅有一条直线和已知直线平行。 两相交直线产生的角:a. 对顶角 结论:对顶角相等 b. 邻补角 结论:邻补角互补 两直线被第三条直线所截所产生的角: 同位角:1与5,3与7等 内错角:4与6,3与5 同旁内角:4与5,3与6 4.图形的平移: 定义:把图形上所有的点都按同一方向移 动相同的距离。 结论:平移不改变图形的形状和大小,但 改变了图形的位置。 5.平行线的性质与判定: 性质:a.两条平行线被第三条直线所截,同位角相等。 b.两条平行线被第三条直线所截,内错角相等。 c.两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补。 判定:a.两条平行线被第三条直线所截,如果有一对同位角相等,那么这两条 直线平行。 b.两条平行线被第三条直线所截,如果有一对内错角相等,那么这两条 直线平行。 c.两条平行线被第三条直线所截,如果有一对同旁内角互补,那么这两 条直线平行。 温馨提示:要注意性质与判定的相互关系,它们是互逆的,在证题时不要混淆。具体 来说,性质是由两线的位置关系到两角的数量关系。 判定是由两角的数量关系到两线的位置关系。 6.垂线的性质与判定: 垂线的定义:两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,这两条直线 互相垂直。 垂线的性质:在平面内,垂直于同一条直线的两直线平行。 数学语言表达:如果ab, cb,那么ac 垂线的判定:在平面内,如果一条直线垂直于两平行线中的一条,那么这条直 线必垂直于另一条。 数学语言表达:若 ac,且 ba,那么bc 点到直线的距离:a.在平面内,通过一点有一条且只有一条直线与已知直线垂 直。 b.直线外一点与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短。 C.两平行线的所有公垂线段都相等。温馨提示:点p到直线a的距离是线段po的长度 点到直线的距离是一个非常重要的知识点,它 的应用在平面几何中非常广泛,希望大家引起 高度的重视。 三、本章基本要求: 1.理解有关概念的含义。 2.灵活运用平行线、垂线的性质和判定,并能熟练的运用到几何证明之中。 3.会进行图形的平移,会画轴对称图形。 4.会进行几何证明的表达与书写。 四、举例示范:例1(教材p76页练习) 如图,MNAB,P,Q为直线MN上的任意两点, PAB和QAB的面积有什么关系?为什么? 解:SPAB=ABh1 SQAB=ABh2 而 h1=h2 (两平行线间的距离相等)所以,SPAB=SQAB 此题也可以描述为:同底等高的两个三角形的面积相等。 例2:如图ABDE,试问B、E、BCE有什么关系? 解:BEBCE 过点C作CFAB,则B=1( 两线平行,内错角相等) 又ABDE,ABCF, DECF(平行线的传递) E2( 两线平行,内错角相等) BE12 (等量代换) 即BEBCE 题后反思:此题过点C做CFAB很重要,利用平行线的性质造内错角是关键。 第五章 轴对称图形 一、知识结构图: 二、知识点: 1.轴对称图形: 轴对称图形的定义:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互 相重合,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫它的对 称轴。 轴对称图形定义的理解:只是对一个图形而言。判定一个图形是否是轴对称图 形,就要看它是否有对称轴。 轴反射的定义:如果一个图形关于某一条直线翻折,能够与另一个图形重合, 那么就说这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形轴 对称,这条直线也叫作对称轴。 轴反射定义的理解:是对两个图形而言,判定两个图形是否是轴对称图形,就 要看它们对折是否完全重合。 轴反射的性质:轴反射不改变图形的形状与大小。 2.线段的垂直平分线: 线段的垂直平分线的定义:我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的 垂直平分线。 线段的垂直平分线的性质:线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点的距 离相等。 线段的垂直平分线的判定:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 性质与判定的理解:a.性质:先有垂直平分线,然后才有垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等。 b.判定:先有某一点到线段的两端的距离相等,然后才 有这一点在线段的垂直平分线上,要把条件和结论认真的区分。 线段的垂直平分线的画法: 作法:a.分别以点A和B为圆心, 以大于AB的长为半径作弧, 两弧相交于点C和D; b.作直线CD. 则CD为所作。 注意:用圆规作图时一定要体现出弧线 3.角平分线: 角平分线的定义:以一个角的顶点为端点 的一条射线,如果把这个角分成两个相 等的角,这条射线叫该角的平分线。 角平分线的性质:角平分线上的点到角的 两边的距离相等。 角平分线的判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 注意:“距离”的理解,是角平分线上的点到角的两边(线)的垂线段的长度 在证题书写的过程中不要忘记了垂直的条件。 示范:OC平分AOB、且PDOA、PEOB PD=PE 角平分线的画法:如图 4.三角形: 三角形边的不等关系: a.三角形任意两边的和大于第三边. b.三角形任意两边的差小于第三边。 注意:以上两点是三条线段能否构成三角形所必须满足的条件,且两点必须同时 满足。 三角形中角的关系: a.三角形的内角和: 三角形的内角和等于180( 即 A+B+C=180) b.直角三角形的两锐角互余 ( RtABC中,C=90,则 A+B=90) c.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 d.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。 e.三角形的外角和等于360 三角形中的特殊线段: a.高线:三角形中的某一顶点向对边所做的垂线段。 b.中线: 三角形中的某一顶点与对边中点的连线。 c.角平分线: 三角形中的某一内角的平分线。 三角形中的边与角的关系:等边对等角、等角对等边。 5.等腰三角形: 等腰三角形的定义:两边相等的三角形。 等腰三角形的性质: a.等腰三角形的顶角的平分线也是底边上的中线和底边上的高.(“三线合一”) b.等腰三角形关于底边上的垂直平分线成轴对称,所以它是轴对称图形。 c.等腰三角形的两底角相等。 等腰三角形的判定: a.定义判定: 即两边相等的三角形是等腰三角形。 b.判定定理:有两个角相等的三角形是等腰三角形。 6.等边三角形: 等边三角形的定义:三边相等的三角形。 等边三角形的性质:等边三角形的三内角均为60 等边三角形的判定: a.定义判定: 即三边相等的三角形为等边三角形。 b.判定定理: (1) 三个角都是60的三角形是等边三角形。 (2) 有一个角为60的等腰三角形。 三、本章基本要求: 1.理解有关概念的含义。 2.灵活运用线段的垂直平分线的性质与判定。 3.理解三角形的边、角、以及边和角一些定理,并能运用。 4.会画线段的垂直平分线、角平分线 5.掌握两个特殊的三角形,并能简单运用。 6.用所学知识点解决实际问题。 四、举例示范: 例1: 如图,在ABC中,AB=AC,D为CA的 延长线上一点,DEBC,垂足为F, 试说明AD=AE 分析:线段AD,AE在ADE中,根据等角对 等边,只要证D=AED即可。 解:AB=AC (已知) B=C (等边对等角) DFBC (已知) C+D=90 (直角三角形中两锐角互余)OAB B+BEF=90 (直角三角形中两锐角互余)例2图 C+D=B+BEF (等量代换) D=BEF 而,BEF=AED (对顶角相等) D=AED (等量代换) AD=AE (等角对等边) 题后反思:观察两线段所在的三角形。 利用等腰三角形的判定(有两个角相等的三角形是等腰三角形。) 例2:如上图示,有分别过A、B两个加油站的公路、相交于
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