（机械设计及理论专业论文）专家信息处理算法实现与机械模糊可靠性设计.pdf

专家信息处理算法实现与机械模糊可靠性设计 摘要 机械模糊可靠性设计自2 0 世纪8 0 年代初期诞生以来，在理论和应用上都 取得了很大的发展虽然人们对一些概念及其应用前景尚有争议，但逐渐形成 了统一的认识，并对与此相关的理论进行了系统的研究，然而有些研究艰深晦 涩，数学表达式复杂，给掌握和应用带来了极大的难度。 本文介绍了机械模糊可靠性设计所涉及的数学工具概率论与数理统计 和模糊数学，分析讨论了机械模糊可靠性设计中关于模糊决策的一个重要的数 学模型基于隶属函数的决策模型，概述了两者相结合所形成的模糊可靠性 分析方法现状及所应解决的关键问题，由浅入深地建立了三个决策模型然后 在这些决策模型的基础上，又讨论了工程实践中关于模糊可靠性设计常见的两 类问题的解决方法鉴于决策模型的表达式复杂，求解解析解比较困难，本文 利用数值计算的方法，开发了专家信息处理系统，实现了其算法实现。最后讨 论了机械模糊可靠性设计的数字仿真问题，将模糊信息转换为当量随机变量后， 通过数字仿真可方便地计算模糊可靠性指标，并针对蒙特卡罗法在某些情况下 计算耗时多，引入了重要抽样法，取得了显著的效果。在计算重要抽样法的设 计参数设计点时，还引入了遗传算法，改善了常规计算方法迭代不能收敛，非 全局寻优等缺陷。采用模糊可靠性分析数字仿真，使得可靠性指标的计算最符 合实际情况，误差最小，不存在原理误差，为机械模糊可靠性设计的工程应用 提供了一种通用的方法 关键字：模糊可靠性专家信息处理隶属函数重要抽样法遗传算法 t h e a l g o r i t h mo fe x p e r ti n f o r m a t i o np r o c e s sa n d m e c h a n i c a lf u z z yr e l i a b i l i t yd e s i g n a b s t r a c t g r e a tp r o g r e s si nm e c h a n i c a lf u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r ya n di t sa p p l i c a t i o nh a v e b e e nm a d es i n c et h ee i g h t i e so ft h et w e n t i e t hc e n t u r y ，b u tt h em e a n i n g so fs o m e i m p o r t a n tc o n c e p t si nf u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r ya r en o ta c c e p t e db ya l lo fp e o p l e a l t h o u g hs o m ec o r r e l a t i v et h e o r yh a v eb e e np r o p o s e d ，m o s to ft h e s et h e o r ya r e o b s c u r e ，a n dt h ee x p r e s s i o n sa r ec o m p l e x ，s oi ti sd i f f i c u l tt op u tt h e mi u t op r a c t i c e f i r s t l y , i nt h i sp a p e rs o m eb a s i c 。m a t hk n o w l e d g ew h i c ha r en e e d e df o rt h e f u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r ya r ed e s c r i b e d ，i n c l u d i n gt h ep r o b a b i l i t yt h e o r y , m a t h e m a t i c s s t a t i s t i c sa n dt h ef u z z ym a t h e m a t i c s s e c o n d l y a ni m p o r t a n tm o d e lo nf u z z y d e c i s i o ni nf u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r yi sd i s c u s s e d ，w h i c hs t a r t sw i t hs o m es u p p o s e s a n dt h r e e d e c i s i o n - m a k i n gm o d e l sa r eg i v e nw i t he x p r e s s i o n s b a s e do nt h e s e m o d e l s ，t h es o l u t i o no ft w ot y p e so fp r o b l e m so f t e nf o u n di np r a c t i c ei sg i v e n a m e t h o db a s e do i ln u m e r i c a le s t i m a t i o ni su s e dt oc a l c u l a t et h er e l i a b i l i t yb e c a u s eo f c o m p l e x i t yo ft h ee x p r e s s i o n sa n dt h ed i f f i c u l t yo fa n a l y t i ce x p r e s s i o nc a l c u l a t i o n ， a n das o f t - w a r en a m e de x p e r ti n f o r m a t i o np r o c e s si sd e v e l o p e d f i n a l l y , d i g i t a l s i m u l a t i o no ff u z z yr e l i a b i l i t yi sd i s c u s s e d t h em o n t ec a r l om e t h o di su t i l i z e dt o c o m p u t et h er e l i a b i l i t ya f t e rt h ef u z z yv a r i a b l ei st r a n s f o r m e dt ot h ee q u i v a l e n t r a n d o mv a r i a b l e ，b u ti ss u b s t i t u t e db yt h ei m p o r t a n c e s a m p l i n gm e t h o df o ri t s l o w - e f f e c t i v e n e s ss o m e t i m e s t h eg e n e t i ca l g o r i t h mi si n t r o d u c e dt oc a l c u l a t et h e d e s i g np o i n t ，w h i c hi sav e r yi m p o r t a n tp a r a m e t e ro ft h ei m p o r t a n c es a m p l i n g t h e f u z z yr e l i a b i l i t yt h e o r yi sp u ti n t op r a c t i c eb e r e rt h r o u g ht h e s ei m p r o v e dm e t h o d s ， a n dw i i ih a v eag o o dp e r s p e c t i v e k e y w o r d s ：f u z z yr e l i a b i l i t y ：e x p e r ti n f o r m a t i o np r o c e s s | m e m b e r s h i pf u n c t i o n ； i m p o r t a n c es a m p l i n gm e t h o d ；g e n e t i ca l g o r i t h m 图表清单 图2 1 应力强度干涉的干涉区 图3 - 1 分类不确定现象产生示意图 。1 3 图3 2 模型0 l 示意图2 3 图3 3 模型g 2 的示意图2 4 图3 - 4 闯题i 核心算法流程图 图3 5 问题核心算法流程图 图3 - 6 程序主界面 3 1 ：i ：! 图3 - 7 问题i ( 正态分布) 计算界面3 2 图3 8 问题i ( 均匀分布) 计算界面。3 3 图3 - 9 问题i f ( 正态拟合) 计算界面 图3 - l o 保存图片界面3 4 图3 1 l 保存分析数据界面3 4 表4 - l 弓的5 0 个估计值( 蒙特卡罗法，n = - i o ，o o o ) 4 6 表4 - 2 只的5 0 个估计值( 蒙特卡罗法，n = 1 0 0 ，o o o ) 。4 6 表4 - 3b 的5 0 个估计值( 重要抽样法，n = i o ，o o o ) 4 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果据我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得 金腿王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同 工作的同志对本研究所傲的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位做作者签名；引童鲁期：件吲j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金世王些太堂有关保留、使用学位论文的规定。有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权盒月b 王些太堂可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手 段保存，汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 撇姗繇弘薹气 签字日期：v 1 年b 月、e l 导师签名：狮 签字日期：印j 7 年z 月i 厂目 | 电话：叼。孕何一脚d 邮编：巧叫 吃 o 、i i 氧 喝 氟喝 i 矗晰撼鼽玲啦弱诎 蒜妒懈确喈 致谢 本文是在导师董玉革教授的精心指导下完成的。在读研期间，导师对我的 学习及论文工作倾注了大量的心血，在生活上给予了无微不至的关怀。导师严 谨的治学态度、求实刨新的开拓精神，诲人不倦、宽以待人的高尚品质给我留 下深刻的印象，这些都将对我以后的学习和工作产生巨大的影响。同时还要衷 心感谢师母倪峥老师在我读研期间给我的关心和帮助l 在此对恩师和倪老师表 示我衷心的谢意! 同时，真诚感谢机械原理及零件教研室的周美立教授、朱家诚教授、吴天 星副教授、王纯贤副教授、吴焱睨副教授、汪进副教授、田杰副教授、王勇副 教授以及朱立红老师、陈奇老师给我各方面的指导和帮助，并创造了许多必要 条件和学习机会! 感谢教研室的其他所有老师在我读研期间给予的诸多帮助。 感谢师兄程学进、高亮，师弟陈加超、赵古田，师妹方俊芳、熊燕、宋智 燕的支持和帮助感谢教研室的黄士伟、赖江丰、余斌、徐致山、顾新春、张 永松、苏学满，娄银庭、李方等同学给予的支持和鼓励。 感谢好友赵汝海、王敏、范习民、戴声良、王玉国、张雷、齐芬、汝艳、 杨兰和等对我的帮助和鼓励，感谢与他们一起度过的快乐时光。 最后，还要深深感谢我的父母对我无微不至的关怀，感谢他们对我的理想 的理解和支持! 感谢哥哥刘建中和刘建平对我的关怀和鼓励感谢所有支持及 帮助过我的亲人、同学和朋友们。谢谢! 作者：刘建峰 2 0 0 7 年5 月2 0 日 1 1 可靠性概述 第一章绪论 按g b 3 1 8 7 8 2 的规定，可靠性是指。产品在规定的条件下和规定的时间内， 完成规定功能的能力。” 可靠性工程是一门跨专业跨部门的横向综合性学科，它研究的内容非常广 泛，最先应用在军事领域，后来逐渐应用于民用产品，应用最多最成功的是电 子产品可靠性工程可分为系统可靠性、结构可靠性、软件可靠性，机械可靠 性、网络可靠性以及人的可靠性等。 1 1 1 常规可靠性 目前，常规可靠性研究已经比较成熟。由于可靠性涉及多学科多领域，因 此各个领域里都有从事可靠性研究的学者，如机械领域、电予领域、通讯领域、 计算机领域、土木水利领域、航空航天领域等，在各个领域中都取得了显著的 成绩。在机械领域中可靠性的研究也很突出，已经出版了很多关于这方面的专 著u , 2 1 在国内有很多知名学者从事可靠性方面的研究。研究的内容包括可靠度 计算、寿命分布、加速寿命实验、故障树分析、数据分析等。可靠性研究的领 域有：相干结构理论、更新理论、可用性理论、极值分布理论、最佳维修方案、 贝叶斯理论、冗余的最优化、多变量寿命分析、蒙特卡罗模拟、随机过程等 1 1 2 机械可靠性 机械可靠性设计又称机械概率设计，是可靠性理论在机械设计中的应用 对机械破坏机理认识的日益加深和机械故障概率资料的逐步积累，以及概率与 统计在机械零件的应力与强度分析方面的应用等，都为机械可靠性设计提供了 理论基础和实践经验，使可靠性理论的应用扩展到结构设计、强度分析、疲劳 研究等方面。 在采用传统的机械设计方法进行设计时，不能预测零、部件在运行中破坏 的概率，这是因为在设计中所采用的载荷，材料性能等数据，是它们的平均值， 没有考虑数据的分散性。为了保证机械产品的可靠性，往往对计算载荷、选用 的强度等分别乘以各种系数，最后还要考虑安全系数。这种传统方法是人们对 这些因素的随机变化所做的经验但不精确的估计，只好将机械的尺寸、重量等 做经验的但又不精确的放大，盲目取用优质材料或加大零件尺寸，形成不必要 的浪费相比之下，采用机械可靠性设计方法，所得结构将更接近于实际情况 在机械可靠性设计中，将载荷、材料性能与强度及零、部件的尺寸，都视 为服从某种概率分布的统计量，应用概率论与数理统计及强度理论，得出在给 定设计条件下零、部件不发生破坏的概率公式，应用这些公式，就可以在给定 可靠度下求出零、部件的尺寸，或给定零部件尺寸下确定其安全寿命机械可 靠性设计的特点，首先是以非确定性随机方法研究，设计机械零件和机械系统， 它采用了可靠度指标来确保机械零件和机械系统的可靠性，而传统机械设计主 要采用许用应力法和安全系数法来保证机械零件和机械系统的可靠性，机械可 靠性设计在设计变量处理方法、设计变量运算方法以及设计准则等方面都与传 统的机械设计法不同其次，机械可靠性设计除引入可靠度指标外，还对安全 系数做了统计分析，这样得出的安全系数比传统机械设计中的安全系数更符合 实际从对机械零件和机械系统安全性的评价来看，传统机械设计只有安全系 数这样一个指标，而机械可靠性设计指标则有可靠度和安全系数。 1 1 3 模糊可靠性的提出 常规可靠性理论的基本假设具有局限性 常规可靠性理论包含如下两个基本假设【4 8 1 ： 一是离散有限状态假设。在离散逻辑基础上，将系统指标的取值范围划分 成若干部分，每一部分标志着系统的不同性能水平，即系统的不同状态如在 二值逻辑中，系统就只有二种状态，即系统要么完全正常，要么完全故障( 失效) 。 二是概率假设。系统可靠性行为可以完全用概率方式予以描述。 综观可靠性学科的发展历史，基于以上两点假设的可靠性理论及应用研究 己取得了巨大的成就，但随着科学技术的高速发展以及各种新型复杂系统的建 立和工程项目的实施，常规可靠性理论与工程实践的矛盾日益突出，特别是进 入2 0 世纪8 0 年代以来，严重的工程事故时有发生，人们逐渐认识到常规可靠 性存在不足 在常规可靠性中，对系统状态做二值状态假设，从而使系统性能指标的取 值范围被划分为截然不同的两部分，然后根据系统的实际指标值落入哪一部分 判断系统故障与否显然这种划分在多数情况下是不符合工程实际的。尽管在 多值逻辑下，可将系统指标的取值范围划分为许多部分，从而使得对系统性能 的描述变得更为细致，但在本质上，多值逻辑与二值逻辑是相同的，它不能区 别同一部分内不同指标间的差异，而不同部分交界处的相邻指标点间并无性能 上的本质差异，却被分别划属于不同的状态，这是极不合理的，也不符合人们 的思维特点和对客观事物的认识。 实践表明，在工程实际中，任何一种设计准则所限制的约束边界，从安全 到失效，从可用到不可用，均存在一个从量变到质变的连续过渡过程，具有一 个模糊的边界范围。此时离散有限状态假设不成立，而应以模糊状态假设代替。 所谓模糊状态假设是指故障判据是模糊的，即在任一时刻，系统在某种程度上 2 处于模糊正常状态，又在某种程度上处于模糊故障状态。 常规可靠性理论的另一基本假设为概率假设，即系统可靠性行为可以完全 在概率范畴内得以描述，但概率不是可靠性的唯一度量方法可靠度与可靠性 这两个概念应区别开来 此外，应用概率方法处理实际问题必须满足四个前提： ( 1 ) 事件定义明确： ( 2 ) 大量样本存在； ( 3 ) 样本具有概率重复性并具有较好的分布规律； ( 4 ) 不受人为因素影响 但在实际工程问题中，这四个条件往往并不满足如“正常使用”、。正常 维护”就是人人皆能体会而又很难确切加以定义的概念( 模糊概念) 。又如对电 站、化工、冶金等大型成套机械设备以及故障发生频率很低的设备就无法获得 大量的数据。对全新开发的产品，由于无使用先例，无法获得失效数据而这 类问题又是工业界和学术界所关注并致力取得突破的问题，因这类设备一旦发 生事故，经济损失十分巨大，有时可能还会带来严重的社会影响然而时至今 日，对这类问题尚无一个令人满意的理论模型。许多系统即使有了大样本，也 不一定能找到统计规律，即使有了统计规律也不一定是典型的，而非典型的过 程( 如非平稳、非高斯分布、非自噪声等) 在数学上是难以处理的。 工程系统内部结构和机理的复杂性以及认识上的局限性是不确定性的主要 来源，这些不确定性对系统的可靠性评估也有影响，有时甚至比变量本身固有 的随机性带来的影响更为突出但由于这些不确定性有许多是未知的、无法量 化的或变化规律不清楚的，人们常常把这些不确定性都归结为随机性，利用统 计的方法进行研究。但这些不确定性在很多方面并不具有随机的性质，而是纯 主观的认识问题。因此利用常规可靠性理论和方法对其进行描述是非常困难的， 甚至是不可能的要解决这些问题，必须借助新的工具，建立新的可靠性观念 和方法，以摆脱目前的困境。 1 9 6 5 年，美国控制论专家z a d e h 提出的模糊数学为解决不确定性问题提供 了一种新的方法，人们开始将模糊数学与常规可靠性理论相结合，建立了一门 全新的学科模糊可靠性。引入模糊数学方法不是为了把可靠性问题模糊化， 而是把实际问题中的模糊事件等用精确的数学表达式表示，使问题精确化 1 2 课题来源及背景、必要性 本课题来自国家自然科学基金项目“基于模糊变量向随机变量变换的可靠 性分析及应用研究”( 项目号5 0 3 7 5 0 4 2 ) 。 模糊可靠性设计自诞生以来，已经取得了长足的进步睁1 3 ，3 3 。1 1 隶属函数是模糊可靠性设计应用的关键，它的确定目前还没有一套成熟有 效的方法，大多数系统的确定方法还停留在经验和实验的基础上隶属函数的 确定也包含了人的主观因素，由于人们认识事物的局限性，也只能建立近似的 隶属度，从而也只能得到大致的隶属函数，而隶属函数的建立又是所有与模糊 数学打交道的领域都必须面对的问题，因此关于这方面的研究很多。从目前的 文献来看，确定隶属函数的方法主要有以下几个特点： ( 1 ) 基于专家经验的隶属度确定方法 1 6 , 2 4 1 和基于随机集的模糊统计方法【3 2 】 继续发展。 ( 2 ) 用多项式插值等数值方法 2 6 】更为方便实际。 ( 3 ) 用人工神经网络【2 、遗传算法1 2 3 l 等具有良好柔性的智能算法来确定隶 属函数的方法，显现出良好的应用前景。 ( 4 ) 多维数的隶属函数的研究1 2 5 1 ，能满足某些特殊的模糊理论的应用 ( 5 ) 隶属函数类型的选择日益简单，确定隶属函数的方法和选用的隶属函 数分布形式的领域特征日益明显通过分析评价对象属性的主要特征建立隶属 函数并在实践中检验修正的方法【2 们，+ 更具应用价值。 ( 6 ) 基于样本紧密度的隶属函数确定方法1 1 9 1 ，有效反映样本不确定性，模 糊分类性能较强，应用效果较好 ( 7 ) 从目前来看，在许多问题中对隶属函数分布参数敏感性的理论分析还 较少见于各类文献中涉及专家经验和知识，对数据意义进行深入发掘求取模 糊分布类型或参数的方法也还未见到。 总的来看，关于隶属函数的确定方法，目前呈现的趋势是应用领域不再追 求发现一种统一的确定隶属函数的方法，而是真正从领域应用的需要出发，在 实践中寻找最适合本领域的隶属函数。反馈、逼近与优化是主流的思想，即先 选型，再检验，再简化和优化。就模糊可靠性领域而言，涉及的隶属函数的形 状和参数主要是靠经验直接选取的。而选取的形状和参数对分析结果的影响， 以及如何深入发掘经验数据、优化形状和参数的选择，还较少见于其他相关文 献中。 在各自应用领域内充分挖掘专家的有用信息，建立隶属函数是目前有效的 方法但是如何使专家提供更加靠近客观的信息，这是一个难点。目前已经有 不少学者在进行这方面的研究，其中高亮在文献 3 2 】中提出了基于“内省”的 决策模型，该模型在一定程度上比较接近客观，具有较强的应用前景，然而该 模型的理论计算比较复杂，难以直接应用于实际，也失去了实践检验的机会 如何简化该模型的计算，并通过计算机数值模拟，使其应用于实践并接受检验， 是很有实际意义的。 另外，在机械模糊可靠性设计中，通常需要知道失效概率的大小有很多 计算失效概率的方法，其中，蒙特卡罗模拟因简单精确而得到了广泛应用。然 而有些遗憾的是，在某些情况下该方法计算效率较低，尤其当模拟变量增多时， 4 其计算效率将会急剧降低。如何提高蒙特卡罗法的效率，也是一个非常值得关 注的问题 本文正是致力于解决以上所述的机械模糊可靠性设计领域内的不足而展开 研究的 1 3 论文体系及内容安排 本文综合微积分、概率论与数理统计和机械模糊可靠性等理论知识，针对 目前机械模糊可靠性设计中存在的若干问题，进行了较为深入的研究：( 1 ) 专家 经验数据处理的理论依据不够坚实：( 2 ) 专家信息处理理论算法复杂；( 3 ) 抽样模 拟可靠度的计算效率不高。 本文的主要内容有：对机械模糊可靠性设计中专家信息处理的问题进行了 较深入的研究，讨论了其面向工程应用的难点及相应的解决方法，同时提供了 算法实现，此外还在机械模糊可靠性设计中引入了改进的m o n t ec a r l o 抽样法， 即重要抽样( i m p o r t a n c es a m p l i n g ) 法，该方法的引进较明显地提高了抽样计算失 效概率的效率本文对这两种方法进行了较详细的理论分析，并通过一个实例 同m o n t ec a r l o 方法进行了比较，验证了算法的有效性 具体内容和结构安排如下： 第一章：通过介绍国内外机械模糊可靠性设计的发展和应用现状，阐述本 课题研究的意义和必要性 第二章：介绍了模糊可靠性设计涉及到的重要的基本数学理论，包括概率 论与数理统计和模糊数学同时还介绍了常规可靠性设计的局限性，模糊可靠 性设计的必要性，最后对模糊可靠性设计方法进行了概述。 第三章；介绍了专家经验知识以及讨论了专家在模糊可靠性设计基于隶属 函数的决策模型，建立了专家信息处理的理论基础分析了模糊可靠性设计两 类问题的解决方法，给出了算法实现，并实现了专家信息处理系统的简单雏形。 第四章；首先介绍了m o n t ec a r l o 方法的基本原理，给出了模糊可靠性的 m o n t ec a r l o 方法，讨论了m o n t ec a r l o 方法的不足，然后引入了重要抽样法和 遗传算法，并对抽样参数的选取作了较为深入的探讨，然后给出实例，与m o n t e c a r l o 法进行了对比，验证算法的有效性 第五章：对本文的主要工作成果进行了总结，并对今后进一步的研究进行 了展望。 2 1 数学理论基础 第二章模糊可靠性设计基础理论 模糊可靠性设计的数学基础包括概率论与数理统计和模糊数学概率论与 数理统计是常规可靠性设计的基础，而模糊数学是将模糊性引入可靠性设计的 重要手段。本节将简单介绍其中一些基础而又重要的理论知识 2 1 1 概率论与数理统计 ( 1 ) 概率论基本概念 事件是概率论研究的对象。事件可分为必然事件、不可能事件、随机事件。 必然事件与不可能事件分别用u 、y 表示。 概率是概率论中最基本的概念。事件a 的概率是4 发生可能性大小的度量， 记为p ( a ) 概率的统计定义进行大量重复试验时，事件a 发生的频率具有稳定性 频率的稳定性p 称为事件4 的概率，记作p 印) 。 条件概率若p ( 国 0 ，则称在事件丑发生的条件下事件a 发生的概率为事 件a 对事件b 的条件概率，记作p c x i 丑) 其公式为 酬岛= 等 在条件概率中有三个重要公式： 概率乘法公式若p ) 0 ，则p 研= p ( b ) p ( a l 两； 全概率公式若事件尽，马，e 为两两不相容事件完备组，且 p ( 且) 0 ( i = 1 , 2 ，帕则 以彳) = p ( b j ) p ( a 马) 贝叶斯公式在全概率公式所加条件下，再另加条件| p ( 么) 0 ，则 p ( 且i a ) ：筝型：! 盟i - 1 ，如，雄 p ( 蜀) p ( 彳i 易) 随机变量在随机试验中，若存在一个变量，它依试验结果的改变取不同 的数值，则称此变量为随机变量。 设有随机变量z 对任一实数善，令 f ( x ) = 以石s 工) 6 则称f ( 曲为x 的分布函数。 ( 2 ) 一些常见的概率分布 离散型： 二项分布 分布列为a = ，x = 0 = 一q “o = o ，1 ，帕，记作b ( n ，p ) 。 泊松分布分布列为p l = p x = f ) = 冬口4 0 = o 1 ，2 ，一) ，名 0 ，记作尸 连续型； 均匀分布分布密度函数为 l 击， 6 ，( 功= 10 ，其他 其中口 0 ，正态分布记作为姐，盯2 ) 。n ( o ，1 ) 称为标准正态分布。 随机变量的数学期望表示多次试验的理论平均值，也是概率分布的中心。 随机变量的方差和标准差表示概率分布对数学期望的分散程度，方差也 表示多次试验的试验值对数学期望的平均平方偏差 ( 3 ) 数理统计 母体及个体所研究对象的全体元素组成的集合，称为母体或总体。母体 中每一个元素称为个体。 子样从母体中取得一部分个体，母体中的这一部分个体被称为子样或样 本。取得子样的过程称为抽样。一个子样中每一个个体称为样品。子样中个体 的个数称为子样容量在数理统计中，采用的抽样方法是随机抽样法，即子样 中每一个个体是从母体中被随意地取出来的。 统计推断依据母体中取得的一个简单随机子样对母体进行分析和推断。 统计推断分为两大部分，一是参数估计，另一是假设检验。所谓参数估计就是 7 由子样值对母体的( 未知) 参数做出估计参数估计又分为点估计与区间估计两 种所谓假设检验是指在母体上做某项假设，从母体中随机地抽取一个子样， 用它检验此项假设是否成立在母体上的假设可以分为两类，因而相应的假设 检验亦可以分为两类：( 1 ) 对母体分布中参数做某项假设，一般是对母体的数字 特征做一项假设，用母体中子样检验此项假设是否成立，称这一类为参数假设 检验( 2 ) 对母体分布做某项假设，用母体中予样检验此项是否成立，称这一类 为分布假设检验。 2 1 2 模糊数学 ( 1 ) 基本概念 工程设计中的许多现象和过程除了具有随机性外，有时还具有模糊性随 机性和模糊性都反映了事物的不确定性，但随机不确定性是由于对因果规律的 掌握不够造成的，或者说，随机性是由于对事件发生的条件无法控制，以致一 些偶然因素使实验结果产生的不确定性，而模糊性是指存在现实中的不分明现 象，如“长”和“短”之间、“光滑“和“粗糙”之间、“安全”和。失效”之 间并没有明显的界限。模糊性这一概念指出了从差异的一方面过渡到另一方面， 中间要经历一个从量变到质变的连续过渡过程。随机性是由于因果律遭到破坏 所造成的不确定性，即事物的外延是明确的，但内涵是不确定的，而模糊性是 由于排中律遭到破坏所造成的不确定性，即事物的内涵是明确的，但外延是不 确定的模糊性在工程中是大量存在的，但工程中的某些因素和信息本身可能 是随机的或确定的，而由于条件所限，人们对它认识不清，无法用随机量或确 定量来表示，这时可以将其用模糊量来表示有着本质区别的随机性和模糊性 通常是共存的。机械设计中在遇到随机性问题的同时，还会遇到大量的模糊性 问题。 1 9 6 5 年美国控制论专家l z a d e h 首次提出了模糊集合的概念，从而开创了 模糊数学这门数学分支。模糊集合把普通集合中“非此即彼”的性质拓展到“亦 此亦彼”的概念，扩大了普通集合的应用范围。概率论与数理统计将数学的应 用从必然现象扩大到随机现象的领域；模糊数学将数学的应用从清晰现象扩大 到模糊现象的领域；而模糊可靠性理论的研究将可靠性理论扩大到能同时处理 工程设计中随机现象和模糊现象。 设论域为u ，彳为其普通子集，对【，中的某一元素，i , 4 ，或者“萑彳， 非此即彼。这样，就定义了从u 到 o ，l 的映射 ( ，斗 o ，1 ，删咖佗麓三 式中4 ) 一一普通子集彳的特征函数，也可记做c ( ) 。 设在论域u 上定义了从u 到【0 ，l 】的一个映射如 8 均：u 一 0 ，l ，u i - + a ( u ) 【o 1 】 则称j 为u 上的模糊集，称j ( ”) 为彳的隶属函数，也可以记做u ：( ) ，它 称作砧关于彳的隶属度。表示”属于4 的程度 当儿 ) 仅取o 或1 时，模糊集合j 就退化为普通集合a ，而： ) 就是a 的特征函数可见，普通集合仅是模糊集合的特例，模糊集合可以包含普通集 合由模糊集合的定义知，模糊集合五由其隶属函数： ) 唯一确定，因此， 模糊集合和其隶属函数可以看成等同的隶属程度的思想反映了模糊性中的中 间过渡过程，是贯穿整个模糊数学及应用模糊数学进行工程设计的基本思想。 ( 2 ) 隶属函数 在工程设计中，欲用模糊设计方法处理问题，首先得确定模糊集的隶属函 数。有了隶属函数，人们才能在工程设计中进行定量的分析，处理用定性的方 式表达的模糊信息，所以确定隶属函数是极其重要的前提。确定隶属函数的方 法通常有模糊统计法、三分法、专家打分法等 模糊统计法和概率统计法有相似性又有本质区别：它们都是用确定性手段 研究不确定性的问题。概率统计的每次试验中，事件的发生或者不发生是确定 的，即事件是确定的，论域中的元素是随机变动的；模糊统计的每次试验中， 元素是固定的，集合是随机变动的可以形象地把概率统计比喻为“圈子固定， 点点在动”，把模糊统计比喻为“点点固定，圈子在动”。三分法也是利用随机 区间的思想来处理模糊性的试验模型，确定三相隶属函数。即如何在论域中确 定三个模糊概念的隶属函数。每次模糊实验都确定一次论域的划分，每次划分 确定一次三个模糊概念的分界点组成一数对，确定了数对即可确定了映射，从 而使模糊概念明确化了。由于每次划分的数对是随机变量，所以数对服从正态 分布的特性由概率论理论可以首先求得论域上二端的模糊概念的隶属函数， 进而求得第三个模糊概念的隶属函数。专家打分法是直接利用有经验的专家或 工程技术人员打分，然后进行处理的方法，这也是一种经常采用的方法。 分析隶属函数时，首先需确定模糊集合的论域。选择适当的论域，将降低 后续工作的复杂程度和算法工作量确定论域时，一方面，要求所确定的论域 要紧密结合可靠性问题的实际背景并要完全映射所研究的变量范围；另一方面， 又要求在有限论域内利用尽可能少的论域元素未表征客体的模糊特性，以降低 算法的复杂程度。论域确定后，必须重视隶属度为l 的论域元素集合、隶属度 为0 的论域元素集合以及隶属度为0 5 的论域元素的确定。 隶属度为l 的论域元素：在模糊数学中，对于正规模糊集，隶属为l 的论域元素集合被称为“主值区间”，或称为模糊集的“核”。通过分析论证， 如果可知论域中某部分元素将肯定属于所讨论的模糊集合，也即这部分元素是 对应模糊概念的确定内涵，那么这部分元素的隶属度即可被赋予1 ，所有这样 的点的集合即构成主值区间。在函数形式上，主值区间的大小将直接影响隶属 9 函数曲线的顶部形状 隶属度为0 的论域元素：通过分析论证，如果论域中某部分元素肯定 不属于所讨论的模糊集合，那么这都分元素的隶属度即可被赋予0 。在函数形 式上，临界的隶属度为0 的论域元素和隶属度为l 的元素一起决定了过渡带的 范围。 隶属度为o 5 的点：在模糊数学中，由于隶属度为o 5 的论域元素的归属 最难确定，因此被称为“最模糊点”，有时也称之为“跨越点”通过分析论证， 如果论域中某部分元素最无法肯定是否属于模糊集合，即它们的不确定性最大， 那么这部分元素的隶属度即可被赋予o 5 ，这些论域元素就是模糊集合中的最 模糊点与此相反，上面所述的隶属度为0 和l 的元素是论域中的“最清晰点”， 或习惯称之为“显著状态”、“确定态”。实际应用中，最模糊点可以通过两种方 式确定：一种是分析应用背景，确定一个最大的不确定性点作为最模糊点；另 一种方法是在存在多相模糊集时使用，即如果有相邻的两相，则以这两相的中 间值作为最模糊点。其物理意义是；对两个相接近的模糊概念进行区分时，如 果两方的不确定性相当，那么两个概念外延的中间部分应该是最难确定归属的， 所以说中间部分的隶属程度最模糊。在过渡带中。起点和终点是论域上隶属度 为o ( 或1 ) 的元素和隶属度为l ( 或0 ) 的元素，隶属度为o 5 的元素正位于其中。 所以，有了隶属度为0 和l 的元素对应的两点，就可以试探地确定过渡带。如 果想进一步更确切地确定过渡带形式，就要使用隶属度为o 5 的最模糊点了。 例如，如果这3 点大致呈线性关系，则隶属函数形式就可选择三角型或梯型分 布等具有线性过渡带的隶属函数分布：如果这3 点呈非线性关系，则隶属函数形 式可选择正态型、蛉型、r 型及柯西型分布等具有非线性过渡带的隶属函数。 ( 3 ) 常用的隶属函数 在实际应用模糊数学时，可根据所讨论对象的特点选择隶属函数形式，再 由经验或试验数据确定比较符合实际的参数，从而获得隶属函数的数学表达式。 在客观事物中，最常见的是以实数域r 为论域，通常把实数域r 上模糊集 妒集) 的隶属函数称为模糊分布( f 分布) 。几种主要的模糊分布有：半梯形与梯 形分布、正态分布、柯西分布、抛物型分布等。 ( 4 ) 重要概念及定理 在后文中，以下概念及定理会用到，现简单介绍如下： a 水平截集 分解定理是联系普通集合和模糊集合的桥梁，而模糊集合的截集是建立这 种桥梁的工具，截集和分解定理在模糊集合理论和应用中占有极为重要的地位。 设j 为论域u 上的模糊集，对任意五【0 ，l 】，记 以= x i x u ，p i ( 力名 称互为j 的a 截集，或五水平截集，称五为置信水平或阈值。互为一普通 1 0 集合，称 以= x i x u ，j ( 力 m 为j 的五开截集或五强截集 分解定理 设j 为论域u 上的模糊集合，则庙也为一模糊集合，其隶属函数为 p a = x p 套南 设j 为论域u 上的模糊集合，五是彳的五水平截集，则模糊集合彳用普通 集合表示为 彳= u 臧 j q o ，玎 这就是模糊数学中的分解定理。分解定理揭示的是这样一个事实：任何模 糊集合都可以用普通集合来表示分解定理说明了模糊集合和普通集合有着密 切的联系，模糊数学与经典数学不应分割开来 模糊数 一个模糊集彳是实数域震上的f 集，且对童盂，存在鳓= l ，则称7 4 为 正规f 集 一个模糊集j 是实数域r 上的正规f 集，且对任意名【o ，l 】，彳为一闭区间， 即 以= 【吼，屯】 则称j 为一个f 实数。简称为f 数，或模糊数。 显然，实数域r 上的一个模糊数是r 上的一个模糊子集。众所周知，随机 变量是用概率论来定义的，它的数据是客观的，而模糊数是一个主观数据，它 是人们针对实际存在的模糊现象根据经验所做出的一种估计，却不是一个度量 结果。 区间数是实数轴上的一个闭区间。模糊数可以视为区间数的推广，区间数 可以视为模糊数的特例 三盂模糊数 如果模糊数彳的隶属函数满足 f 1 a 吾x b j ( x ) = 工( 曲 童 b 式中三o ) 增函数，右连续，0 s ( 力 l ，l i m 工( = 0 ； 且( z ) 减函数，左连续，0 矗( x ) l ，l i r a 皿( = 0 。 则称模糊数j 为三r 型模糊数 工程中，模糊数隶属度为1 的数通常只取一点，因此可用三元组伽，口，历表 示l - r 型模糊数m 对应隶属度为1 的数，也称为模糊数的均值；口，称为模 糊数的左、右分布l - r 型模糊数的正( x ) 、r ( 功称为模糊数的左、右参照函数 2 2 常规可靠性设计 2 2 1 应力强度干涉理论 通常，可将作用于零件或产品上的物理量，如应力、压力、位移、变形、 磨损等，统称为零件或产品所受的广义应力，用s 表示；而将零件或产品承受 这种应力的能力，统称为零件或产品的广义强度，用r 表示。为简单起见，分 别简称为应力和强度。 b i m b a u m 所提出的失效概率( 或可靠度) 的计算方法，实际上反映了零件或 产品在给定的设计和运行条件下对抗失效的能力或者说，零件或产品的基本 设计目标应是在一定可靠度( 或失效概率) 下，保证零件或产品危险位置的最小 强度( 抗力) 不低于最大应力，否则，零件或产品将由于未满足可靠性要求而导 致失效 根据b i r n b a u m 的理论和方法，若零件或产品的应力s 大于其强度，则零 件或产品将不能完成规定的功能，处于失效状态；若零件或产品，不小于应力 j ，则零件或产品处于安全状态。因此，零件的不可靠度( 失效概率) f 与可靠度( 安 全概率) 丑可分别用式2 1 或2 2 表示。 f = p = p ( r j ) ( 2 一1 ) 五= p ，= p ( r j )( 2 - 2 ) 机械设计中，应力s 和强度，本身就是某些变量的函数，如果把设计基本 变量毛，x 2 ，按其结构属性归并为应力j 和强度，两个基本变量，即 j = j ( t l ，2 ，工_ ) ( 2 - 3 ) ，= ，似i ，x r 2 ，勤) ( 2 - 4 ) 式中卜一影响随机应力的因素总数； 卜影响随机强度的因素总数，f t ，- 一 工程设计中，常用的分布函数的概率密度曲线都是以横坐标为渐进线的， 所以，应力的概率密度函数必定有相交的区域该区域就是零件可能出现失效 的区域，称之为干涉区。图2 1 所示的干涉区，仅表示干涉的可能性，如图中 应力 大于强度r 2 ，引起干涉，零件失效；强度吒大于应力岛，尽管它们在于涉 区内，但不会导致零件失效。 z o z 0 0 图2 - 1 应力强度干涉的干涉区 2 2 2 干涉概率的计算方法 ( 1 ) 概率密度函数联合积分法 零件的失效概率为 f - = p f = 尸o r ) = j d 乃= c f ( r ) 厂z ( s ) d j 】d ，( 2 - 7 ) r - - p r - - p ( s 0 ，零件处于安全状态；z 0 ，零件 处于失效状态：z = 0 ，零件处于极限状态。因此，零件的失效概率和可靠度 分别为 ，2 p ，= p ( z o ) = j 二左( z ) d z ( 2 - 9 ) 矗= b = ，( z o ) = f 五( z ) d z ( 2 - 1 0 ) 2 2 3 可靠度计算的仿真方法 机械可靠性设计中，由于组成机械系统的各个子系统在性质上的不确定性， 造成了系统本身的不确定性，而系统与子系统之间的关系，在数学上需用复杂 的非线性方程来描述，通常不能用一种简单的、可获得解析解的形式描述，因 此很难直接求解事实上，即使对于某一子系统或零件，如果应力和强度不是 服从某些特殊的分布形式，也很难直接求得零件的失效概率和可靠度。此时， 需要一种用来模拟和求解复杂随机现象的有力工具，而蒙特卡罗方法正符合这 种实际情况 蒙特卡罗方法是在建立数学模型的基础上，应用计算机进行大量的统计模 拟试验，因此亦可称为计算机数字仿真在实施蒙特卡罗方法时，由计算机对 代表整个系统或零部件的函数关系式中的每个随机变量进行抽样，然后代入函 数关系式得到一个解，这样经过多次抽样就可获得整个系统或零部件的函数关 系式的统计特征，从而可得到零件或系统的失效概率和可靠度 2 3 模糊可靠性设计 可靠性设计存在随机现象的同时，还存在大量的模糊现象，一些模型本身 在概念上就是不清晰的，相互之间并没有绝对的界限随着各种新型复杂系统 的建立和工程项目的实施，常规可靠性理论与工程实践的矛盾日益突出人们 认识到设计中除了存在随机现象外，还存在大量的、不可避免的模糊现象