信号与系统第二章 LTI系统n1.pdf

1 用移位单位抽样信号表示离散时间信号 2 卷积和在离散时间信号LTI系统中的表征 3 卷积和的计算 4 离散时间信号LTI系统的性质 第第2章 线性时不变系统章 线性时不变系统 2 1 离散时间离散时间LTI系统系统 卷积和卷积和 1 用单位抽样信号表示离散时间信号 用单位抽样信号表示离散时间信号 1 1 0 1 1 0 1 1 x nxnxnxnx nx n k x nx kn k 基信号系数 单位抽样信号的筛选性质 假设此系统是线性的 并且定义 为 的响应 k hn nk k n kh n 叠加 k kk x nx kn ky nx k h n x ny n 离散时间系统 2 卷积和表示线性时不变系统的响应 2 卷积和表示线性时不变系统的响应 现在我们假设系统为LTI系统 并且定义单位 抽样响应为 nh n 由时不变性质 nkh nk x ny n 离散时间系统 线性时不变线性时不变 k k x nx kn k y nx k h n k 卷 积 和 k y nx nh nx k h nk k x nx knkx nn 由卷积和的定义可知 x nnx n 即 序列x n 与h n 的卷积和定义为 结论 离散LTI系统的输出y n 是输入x n 与 系统单位抽样响应h n 的卷积和 序列与 序列与 n 做卷积和 结果仍为序列本身 做卷积和 结果仍为序列本身 卷积和的图解法计算步骤如下 卷积和的图解法计算步骤如下 翻褶 翻褶 先将x n 和h n 的变量置换为m 得到x m 和 h m 将h m 以m 0的垂直轴为对称轴翻摺为h m 移位 移位 将h m 沿m轴平移n得到h n m 当n 0时 右 移n位 当n 0时 左移 n 位 相乘 相乘 对给定的某个n值 将h n m 和 x m 相同m值的 对应点相乘 相加 相加 再将以上所有对应点的乘积累加 就可以得到 给定的某n值时的y n 卷积和的运算在图形上可以分成四步 翻褶 移位 相乘 相加翻褶 移位 相乘 相加 3 卷积和的计算 3 卷积和的计算 以和 为例说明卷积 的图解方法 n nn nx 其他0 203 n n nh 其他0 301 h 0 m m 1 h m m 1 x m m 3 2 1 h 1 m m 1 h 1 m m 1 h 2 m m 1 h 6 m m 3 n y n 5 3 66 1 n Nnn nx 其他0 203 1 0 30 1 2 n Nn nh 他其 21 0 0 NNNnmnhmxny n m m m m m m mx mh 0 mh 1 mh 5 mh y 0 x 0 h 0 3 1 3 y 1 x 0 h 1 x 1 h 0 3 1 2 1 5 y 2 x 0 h 2 x 1 h 1 x 2 h 0 6 y 3 x 0 h 3 x 1 h 2 x 2 h 1 x 3 h 0 6 y 4 x 0 h 4 x 1 h 3 x 2 h 2 x 3 h 1 x 4 h 0 3 y 5 x 0 h 5 x 1 h 4 x 2 h 3 x 3 h 2 x 4 h 1 x 5 h 0 3 0 2 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 4 卷积和离散LTI系统的性质 4 卷积和离散LTI系统的性质 i 一个离散一个离散LTI系统的特性完全取决于它的 单位抽样信号响应 系统的特性完全取决于它的 单位抽样信号响应 例1 很多系统有这种对 的响应 n 0 h nnn 只要线性时不变系统有如下对 的响应 n 00 xnnnxnn 0 ynxnn 00 k x nnnx knkn 例2 单位抽样信号响应 n k h nku n n k x nu nx k n kk x nu nx k u nkx k 一个累加器 n k y nx k 注意 ii 交换律 交换律 y nx nh nh nx n s n例子 线性时不变系统中的阶跃响应例子 线性时不变系统中的阶跃响应 snunhnhnun 阶跃输入 输 入 单位抽样信号 响应的累加 n k s nh k iii 分配律分配律 1212 x nh nh nx nh nx nh n 说明 公式左边对应上图表示的系统 公式右边对应下图表示的并联系统 说明 公式左边对应上图表示的系统 公式右边对应下图表示的并联系统 iv 结合律 2121 xnhnhnxnhnhn 1212 xnhnhnxnhnhn 交换律 说明 说明 1 式右边对应上图表示的级联系统 式右边对应上图表示的级联系统 1 式左边对应中图表示的系统 式左边对应中图表示的系统 2 式右边对应下图表示的级联系统 1 2 式右边对应下图表示的级联系统 1 2 v 线性时不变系统的因果性和稳定性 线性时不变系统的因果性和稳定性 1 因果性 2 稳定性 0h n 0n k h k 证明1 证明1 充分性充分性 若n 0时h n 0 根据卷积和公式 因为式中m 0 所以n m n 这就证明了y n 的值只 取决于x n 在n n 时的值 因此系统是因果的 必要性必要性 根据卷积和公式有 若当mn 即系统在n 时的输出y n 与输入x n 在n n 时的值有关 也就是y n 值与n 以后的x n 有关 所以该系统不是因果 系统 此与假设矛盾 可见要使y n 与n n 时的x n 无关 则必须使 0 000 mm mnxmhmnxmhny 0 0 1 000 mmm mnxmhmnxmhmnxmhny 0 0 nhn 证明2 证明2 充分性 充分性 若系统满足条件 且输入x n 有界 对所有n 此时系统的输出为 两边取绝对值 得 即输出y n 有界 故系统是稳定的 若系统满足条件 且输入x n 有界 对所有n 此时系统的输出为 两边取绝对值 得 即输出y n 有界 故系统是稳定的 必要性 必要性 利用反证法 已知系统稳定 假设 可以找到一个有界的输入 则 即输出无界 因而假设不成立 所以 是稳定的必要条件 利用反证法 已知系统稳定 假设 可以找到一个有界的输入 则 即输出无界 因而假设不成立 所以 是稳定的必要条件 n nh Mnx m mnxmhny mmm mhMmnxmhmnxmhny n nh 0 1 0 1 nh nh nx mmm mhmhmhmxy 0 0 n nh 初始松弛条件 初始松弛条件 若n n 时 x n 0 则n n 时y n 0 一个线性时不变系统的因果性等效于初始松弛条件成立一个线性时不变系统的因果性等效于初始松弛条件成立 事实上 由n 0时 h n 0 有 000 0 000 0 1 1 2 2 mm y nh m x nmh m x nm hx nhx nhx n 这表明y n 的值只取决于x n 在n n 时的值 于是 若n n x n 0 则n n 时 y n 0 注 0000 1 0 1 1 2 2 3 y nhx nhx nhx n 2 2 常系数线性差分方程 常系数线性差分方程 Linear Constant coefficient Difference Equations 离散线性时不变系统的输入输出关系常用常系 数线性差分方程表示 即 或者 若系数中含有n 则称为 变系数 差分方程的阶数等于y n 的变量序号的最高值 与最低值之差 例如上式就是N阶差分方程 线性是指各y n i 项和各x n i 项都只有一次 幂而且不存在它们的相乘项 否则就是非线性 差分方程不能由输入完全表征输出 还要有附加条件 离散线性时不变系统的输入输出关系常用常系 数线性差分方程表示 即 或者 若系数中含有n 则称为 变系数 差分方程的阶数等于y n 的变量序号的最高值 与最低值之差 例如上式就是N阶差分方程 线性是指各y n i 项和各x n i 项都只有一次 幂而且不存在它们的相乘项 否则就是非线性 差分方程不能由输入完全表征输出 还要有附加条件 M i N i ii inyainxbny 01 1 0 00 ainxbinya M i i N i i 求解差分方程有如下几种方法 递推法 时域 经典法 卷积法 变换域法 递推法 时域 经典法 卷积法 变换域法等等 递推解法比较简单 适合计算机求解 时域经 典法和微分方程的解法比较类似 比较麻烦 卷积 法必须知道系统的单位抽样响应h n 这样利用卷 积和就能得到任意输入时的输出响应 变换域法是 利用Z变换的方法求解差分方程 当系统的初始状态为零 单位抽样响应h n 就 能完全代表系统 那么对于线性时不变系统 任意 输入下的系统输出就可以利用卷积和求得 差分方程在给定输入和边界条件下 可用迭代 的方法求系统的响应 当输入为 n 时 输出 响应 就是单位抽样响应h n 例 常系数差分方程 初始条件为n 0时 y n 0 求其单位抽样响应 初始条件为n 0时 y n 0 求其单位抽样响应 解 设 且 必有 依次迭代 所以单位抽样响应为 1 2 1 nynxny nnx 0 1 1 hy 0 0 nnhny 101 1 2 1 0 0 0 yhy 2 1 2 1 0 0 2 1 1 1 1 yhy 2 2 1 2 1 2 1 0 1 2 1 2 2 2 yhy nn nynnhny 2 1 2 1 0 1 2 1 00 0 2 1 2 1 n n nunh n n 设 由初始条件知 必有 将原式该写为另一种递推关系 则 所以单位抽样响应为 由本例看出 差分方程相同 但是初始条件不同 得到 的单位抽样响应不同 也就是对应着不同的系统 nnx 0 0 nnhny 2 1 nxnyny 2 10 2 0 0 2 1 1 yhy 2 2 02 2 1 1 2 2 2 yhy 32 2 02 2 3 3 hy nn nhny 2 1 2 00 0 2 1 1 2 1 n n nunh n n 1 由单位脉冲时移的表示连续时间信号 2 连续时间LTI系统的卷积积分表示 3 性质及举例 1 由单位脉冲时移的表示连续时间信号 2 连续时间LTI系统的卷积积分表示 3 性质及举例 2 3 连续时间连续时间LTI系统系统 1 连续时间信号表示 任何一个输入x t 可用脉冲的伸缩平移的和来近似 任何一个输入x t 可用脉冲的伸缩平移的和来近似 单位脉冲的筛选性质 tht 2 一个连续时间LTI系统的响应 CT LTI x ty t y kk x tx ktktx kh tk th t t x txtdyxh td 卷积积分 0 脉冲响应 取极限 连续时间LTI系统的响应y t 是输入 x t 与 系统的冲击响应 h t 的卷积 积分 y tx th txh td 卷积 积分 的运算参见 3 性质及举例 1 交换性 x t h t h t x t 2 筛选性质 3 一个积分器 因此如果输入 输出y t h t 即 4 阶跃响应 00 x tttx tt x tt t h tdu t t y tx th tx tu txd t s tu th th tu thd x ttx t t y txd 分配律 结合律 交换性质 212 th ty tx th th t 1 x t h 212 th ty tx th th t 1 x t h 121 th ty tx th th t 2 x t h 121 th ty tx th th t 2 x t h 因果性 连续时间LTI系统是因果的因果性 连续时间LTI系统是因果的 稳定性 连续时间LTI系统是稳定的稳定性 连续时间LTI系统是稳定的 0 0h tt hd 2 4 常系数线性微分方程 常系数线性微分方程 Linear Constant coefficient Differential Equations 连续线性时不变系统的输入输出关系常用常系 数线性微分方程表示 即 微分方程的阶数是指出现在方程中的y t 的最 高阶导数 一般只涉及到一阶和二阶微分方程 差分方程不能由输入完全表征输出 还要有附加条件 经典解法在 高等数学 讲过了 变换解法在 复变 函数与积分变换 讲过 本课程以后还要涉及